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初中数学人教版九年级上册第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径评优课ppt课件
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这是一份初中数学人教版九年级上册第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径评优课ppt课件，共41页。
(1)能通过折纸探究圆的对称性，能证明圆是轴对称图形。(2)能由圆的轴对称性推导垂径定理及其推论。(3)能利用垂径定理解决相应问题。
如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦长)是 37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.2 m，求赵州桥主桥拱的半径(精确到 0.1 m)。
你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
在折的过程中你有何发现？
（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什 么？你能找到多少条对称轴？
（2）你是怎么得出结论的？
圆的对称性： 圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴．
问题：如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB，垂足为E．你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧? 为什么?
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧．
∵ CD是直径，CD⊥AB，
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理，三种语言要相互转化，形成整体，才能运用自如．
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
不是，因为CD没有过圆心
垂径定理的几个基本图形：
例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10 cm，OE=6 cm，则AB= cm．
解析：连接OA，∵ OE⊥AB，
∴ AB=2AE=16 cm．
例2 如图，⊙O的弦AB＝8 cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2 cm，求半径OC的长．
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D，
设OC=x cm，则OA=x，OD=(x－2) cm.在Rt△OAD中，根据勾股定理，得
即半径OC的长为5 cm.
x2=42+(x-2)2，
如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦；④平分弦所对的优弧； ⑤平分弦所对的劣弧．上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？
举例证明其中一种组合方法已知:求证：
② CD⊥AB，垂足为E
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.（1）CD⊥AB吗？为什么？（2）
AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？
解：（1）连接AO，BO，则AO=BO.
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE (SSS).
∴∠AEO=∠BEO=90°.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
注意：为什么这里强调弦不是直径？
一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直。因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立。
上述五个条件中的任意2个条件都可以推出其他3个结论。
证明：作直径MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.则AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）. ∴AM－CM＝BM－DM.∴AC＝BD.
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
1. 如图， ⊙ O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.
设OC=x cm，则OD= x-2,根据勾股定理，得
即半径OC的长为5cm.
2.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．
∴ 四边形ADOE为正方形.
证明：∵OE⊥AC，OD⊥AB，AB⊥AC
∴∠OEA=∠EAD=∠ODA=90°
∴四边形ADOE为矩形，AE= AC,AD= AB
试一试：根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?
经过圆心O作弦AB的垂线OC，垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.
∴ AB=37 m，CD=7.23 m.
解得R≈27.3(m).
即主桥拱半径约为27.3 m.
练一练：如图a、b,一弓形弦长为 cm，弓形所在的圆的半径为7 cm，则弓形的高分别为＿＿ ＿____＿.
2 cm和12 cm
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
d+h=r
3. 如图a、b,一弓形弦长为 cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿ ＿ ＿＿.
2cm或12cm
2．【中考·湖州】已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D(如图)．
(1)求证：AC＝BD；
证明：如图，过点O作OE⊥AB于点E，则CE＝DE，AE＝BE.∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.
1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为 .
2.⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= .
3.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 .
4.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．
∴四边形ADOE为矩形，
5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE. ∴ AE－CE＝BE－DE 即 AC＝BD.
注意：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法．
6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.
∴这段弯路的半径约为545m.
7．如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80 m处有一所学校A.当重型运输卡车P沿公路ON方向行驶时，在以P为圆心，50 m长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若该重型运输卡车P沿公路ON方向行驶的速度为18 km/h.
(1)求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；
解：如图，过点A作AD⊥ON于点D.∵∠NOM＝30°，AO＝80 m，∴AD＝40 m，即对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离为40 m.
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其他三个结论（“知二推三”）
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧
两条辅助线：连半径，作弦心距
构造Rt△,利用勾股定理计算或建立方程
(1)能通过折纸探究圆的对称性，能证明圆是轴对称图形。(2)能由圆的轴对称性推导垂径定理及其推论。(3)能利用垂径定理解决相应问题。
如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦长)是 37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.2 m，求赵州桥主桥拱的半径(精确到 0.1 m)。
你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
在折的过程中你有何发现？
（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什 么？你能找到多少条对称轴？
（2）你是怎么得出结论的？
圆的对称性： 圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴．
问题：如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB，垂足为E．你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧? 为什么?
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧．
∵ CD是直径，CD⊥AB，
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理，三种语言要相互转化，形成整体，才能运用自如．
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
不是，因为CD没有过圆心
垂径定理的几个基本图形：
例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10 cm，OE=6 cm，则AB= cm．
解析：连接OA，∵ OE⊥AB，
∴ AB=2AE=16 cm．
例2 如图，⊙O的弦AB＝8 cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2 cm，求半径OC的长．
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D，
设OC=x cm，则OA=x，OD=(x－2) cm.在Rt△OAD中，根据勾股定理，得
即半径OC的长为5 cm.
x2=42+(x-2)2，
如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦；④平分弦所对的优弧； ⑤平分弦所对的劣弧．上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？
举例证明其中一种组合方法已知:求证：
② CD⊥AB，垂足为E
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.（1）CD⊥AB吗？为什么？（2）
AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？
解：（1）连接AO，BO，则AO=BO.
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE (SSS).
∴∠AEO=∠BEO=90°.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
注意：为什么这里强调弦不是直径？
一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直。因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立。
上述五个条件中的任意2个条件都可以推出其他3个结论。
证明：作直径MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.则AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）. ∴AM－CM＝BM－DM.∴AC＝BD.
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
1. 如图， ⊙ O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.
设OC=x cm，则OD= x-2,根据勾股定理，得
即半径OC的长为5cm.
2.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．
∴ 四边形ADOE为正方形.
证明：∵OE⊥AC，OD⊥AB，AB⊥AC
∴∠OEA=∠EAD=∠ODA=90°
∴四边形ADOE为矩形，AE= AC,AD= AB
试一试：根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?
经过圆心O作弦AB的垂线OC，垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.
∴ AB=37 m，CD=7.23 m.
解得R≈27.3(m).
即主桥拱半径约为27.3 m.
练一练：如图a、b,一弓形弦长为 cm，弓形所在的圆的半径为7 cm，则弓形的高分别为＿＿ ＿____＿.
2 cm和12 cm
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
d+h=r
3. 如图a、b,一弓形弦长为 cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿ ＿ ＿＿.
2cm或12cm
2．【中考·湖州】已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D(如图)．
(1)求证：AC＝BD；
证明：如图，过点O作OE⊥AB于点E，则CE＝DE，AE＝BE.∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.
1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为 .
2.⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= .
3.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 .
4.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．
∴四边形ADOE为矩形，
5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE. ∴ AE－CE＝BE－DE 即 AC＝BD.
注意：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法．
6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.
∴这段弯路的半径约为545m.
7．如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80 m处有一所学校A.当重型运输卡车P沿公路ON方向行驶时，在以P为圆心，50 m长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若该重型运输卡车P沿公路ON方向行驶的速度为18 km/h.
(1)求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；
解：如图，过点A作AD⊥ON于点D.∵∠NOM＝30°，AO＝80 m，∴AD＝40 m，即对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离为40 m.
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其他三个结论（“知二推三”）
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧
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