初中数学人教版九年级上册第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径精品习题

2023年人教版数学九年级上册

《24.1.2 垂直于弦的直径》同步精炼

一              、选择题

1.如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON＝(    )

A.5              B.7              C.9               D.11

2.如图，弦CD垂直于⊙O直径AB，垂足为H，且CD＝2，BD＝，则AB长为(  )

A.2                     B.3                      C.4                        D.5

3.过⊙O内一点M的最长弦为10 cm，最短弦长为8cm，则OM的长为(      )

A.9cm          B.6cm          C.3cm         D.cm

4.下列命题中，正确的是(     )

A.平分一条直径的弦必垂直于这条直径 

B.平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦

C.弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 

D.在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心

5.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠OAC＝22.5°，OC＝4，则CD长为(     )

A.2                     B.4                      C.4                      D.8

6.已知⊙O半径为5，弦AB长为8，M是弦AB上一个动点，则线段OM长最小值为(  )

A.2         B.3           C.4          D.5

7.如图，已知AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于E，CD＝6，AE＝1，则⊙O直径为(  )

A.6         B.8         C.10          D.12

8.如图，⊙O直径为10，弦AB长为6，M是弦AB上的一动点，则线段OM的长的取值范围是(      )

A.3≤OM≤5              B.4≤OM≤5        C.3＜OM＜5      D.4＜OM＜5

9.如图，A，B是⊙O上两点，若四边形ACBO是菱形，⊙O半径为r，则点A与点B之间的距离为(      )

A.r         B.r           C.r              D.2r

10.已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，则BC边上的高为(     )

A.2              B.8             C.2或8              D.3

二              、填空题

11.已知⊙O的直径为10，弦AB＝6，P是弦AB上一动点，则OP的取值范围是          .

12.过⊙O内一点M的最长的弦长为6cm，最短的弦长为4cm，则OM长等于    cm.

13.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，连接OC，AD，若BH：CO＝1：2，AD＝4，则⊙O周长等于　　    . 

14.⊙O的直径为10，弦AB＝6，P是弦AB上一动点，则OP的取值范围是　   　.

15.如图，在以AB为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正方形CDEF，则以AC和BC的长为两根的二次项为1的一元二次方程是　            　.

16.如图，在圆O中有折线ABCO，BC＝6，CO＝4，∠B＝∠C＝60°，则弦AB的长为　　.

三              、解答题

17.如图是某风景区的一个圆拱形门，路面AB宽为2米，净高5米，求圆拱形门所在圆的半径是多少米.

18.如图所示，残缺的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线CD交圆形轮片于点C，垂足为点D，解答下列问题：

(1)用尺规作图找出圆形轮片的圆心O的位置并将圆形轮片所在的圆补全；(要求：保留作图痕迹，不写作法)

(2)若弦AB＝8，CD＝3，求圆形轮片所在圆的半径R.

19.如图，已知AB是⊙O的弦，点C在线段AB上，OC＝AC＝4，CB＝8.求⊙O的半径．

20.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝BC.延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE.

(1)求证：∠B＝∠D；

(2)若AB＝13，BC﹣AC＝7，求CE的长.

21.如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，弧BA=弧AF，BF与AD交于E.

(1)求证：AE＝BE；

(2)若A，F把半圆三等分，BC＝12，求AE的长.

22.如图，公路MN与公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160 m.假设拖拉机行驶时，周围100 m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否受到噪音影响？说明理由；如果受影响，且知拖拉机的速度为18 km/h，那么学校受影响的时间是多少秒？

答案

1.A

2.B.

3.C

4.D

5.C

6.B

7.C

8.B

9.B.

10.C

11.答案为：4≤OP≤5.

12.答案为： .

13.答案为：8π.

14.答案为：4≤OP≤5.

15.答案为：x2﹣x＋1＝0.

16.答案为：10.

17.解：连接OA.

∵CD⊥AB，且CD过圆心O，

∴AD＝AB＝1米，∠CDA＝90°.

设⊙O的半径为R，则

OA＝OC＝R，OD＝5－R.

在Rt△OAD中，由勾股定理，得

OA2＝OD2＋AD2，即

R2＝(5－R)2＋12，解得R＝2.6.

∴圆拱形门所在圆的半径为2.6米.

18.解：(1)图略.

(2)连结OA.∵CD是弦AB的垂直平分线，AB＝8，

∴AD＝AB＝4.

在Rt△ADO中，AO＝R，AD＝4，DO＝R－3，

根据勾股定理，

得R2＝16＋(R－3)2，解得R＝.　

19.解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D.

∵AC＝4，CB＝8，∴AB＝12.

∵OD⊥AB，∴AD＝DB＝6，

∴CD＝2.

在Rt△CDO中，∠CDO＝90°，

∴OD＝＝2.

在Rt△ADO中，∠ADO＝90°，

由勾股定理，得OA＝＝4，

即⊙O的半径是4.

20.证明：(1)∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴AC⊥BC，
又∵DC＝CB，

∴AD＝AB，

∴∠B＝∠D

(2)解：设BC＝x，则AC＝x﹣7，  
在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2， 即(x﹣7)2＋x2＝132，

解得：x1＝12，x2＝﹣5(舍去)，
∵∠B＝∠E，∠B＝∠D，

∴∠D＝∠E，

∴CD＝CE，
∵CD＝CB，

∴CE＝CB＝12

21.解：(1)连AC，如图，

∵BC为⊙O的直径，

∴∠BAC＝90°，

又∵AD⊥BC，

∴∠BAD＝∠ACB，

又∵弧BA=弧AF，

∴∠ACB＝∠ABF，

∴∠ABE＝∠BAE，

∴AE＝BE；

(2)∵A，F把半圆三等分，

∴∠ACB＝∠CBF＝∠ABF＝30°，

∴∠BAD＝30°，

在Rt△ABC中，BC＝12，所以AB＝BC＝6，

在Rt△ABD中，AB＝6，所以BD＝AB＝3，

Rt△BDE中，∠CBF＝30°，BD＝3，

∴DE＝，

∴BE＝2，

所以AE＝2.

22.解：学校受到噪音影响.理由如下：作AH⊥MN于点H，如图.

∵PA＝160 m，∠QPN＝30°，

∴AH＝PA＝80 m.

而80 m＜100 m，

∴拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校受到噪音影响.

以点A为圆心，100 m为半径作⊙A交MN于B、C，连结AB，如图.

∵AH⊥BC，

∴BH＝CH.

在Rt△ABH中，AB＝100 m，AH＝80 m，

∴BH＝＝60 m，

∴BC＝2BH＝120 m.

∵拖拉机的速度＝18 km/h＝5 m/s，

∴拖拉机在BC段行驶所需要的时间＝＝24(秒)，

∴学校受影响的时间为24秒.