新教材2023版高中数学第七章三角函数7.3三角函数的性质与图象7.3.1正弦函数的性质与图象课件新人教B版必修第三册

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7．3.1　正弦函数的性质与图象新知初探·自主学习课堂探究·素养提升【课程标准】1.借助单位圆能画出这些正弦函数的图象．2．了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大 (小)值．3．借助图象理解正弦函数在 [0，2π]上的性质．新知初探·自主学习教 材 要 点知识点一　正弦函数的图象(1)利用正弦线可以作出y＝sin x，x∈[0，2π]的图象，要想得到y＝sin x(x∈R)的图象，只需将y＝sin x，x∈[0，2π]的图象_____________________即可，此时的图象叫做正弦曲线．(2)“五点法”作y＝sin x，x∈[0，2π]的图象时，所取的五点分别是(0，0)，____________，(π，0)，____________和(2π，0)．沿x轴平移±2π，±4π，…  知识点二　正弦函数的性质(1)函数的周期性①周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个________，使得定义域内的________x值，都满足__________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．②最小正周期：对于一个____________函数f(x)，如果在它的__________存在一个__________，那么这个__________就叫做它的最小正周期．非零常数T每一个f(x＋T)＝f(x)周期所有周期中最小的正数最小的正数(2)正弦函数的性质2π     基 础 自 测1．以下对于正弦函数y＝sin x的图象描述不正确的是(　　)A．在x∈[2kπ，2kπ＋2π]，k∈Z上的图象形状相同，只是位置不同B．关于x轴对称C．介于直线y＝1和y＝－1之间D．与y轴仅有一个交点答案：B解析：观察y＝sin x图象可知A，C，D项正确，且关于原点中心对称，故选B.2．下列图象中，符合y＝－sin x在[0，2π]上的图象的是(　　)答案：B解析：观察y＝sin x图象可知A，C，D项正确，且关于原点中心对称，故选B. 答案：C 4．若sin x＝2m＋1且x∈R，则m的取值范围是________．[－1，0]解析：因为－1≤sin x≤1，sin x＝2m＋1，所以－1≤2m＋1≤1，解得－1≤m≤0.课堂探究·素养提升题型1　正弦函数的图象例1　作函数y＝sin x，x∈[0，2π]与函数y＝－1＋sin x，x∈[0，2π]的简图，并研究它们之间的关系．可以用“五点法”原理在同一坐标系中作出两函数的图象，然后比较它们的关系．【解析】　按五个关键点列表：利用正弦函数的性质描点作图，如图：由图象可以发现，把y＝sin x，x∈[0，2π]的图象向下平移1个单位长度即可得y＝－1＋sin x，x∈[0，2π]的图象．  解析：取值列表如下：描点，并将它们用光滑的曲线连接起来．(如图) 先化为同一单调区间上的同名函数，然后利用单调性来比较函数值的大小．  (2)函数y＝－2sin x－1的单调减区间是______________________.   方法归纳(1)求正弦函数的单调区间和最值时要联系正弦函数的图象，同时注意三角函数的周期性．(2)比较三角函数值的大小时，需要把角化为同一单调区间上的同名三角函数，然后用三角函数的单调性即可，如果角不在同一单调区间上，一般用诱导公式进行转化，然后再比较．跟踪训练2　(1)下列关系式中正确的是(　　)A．sin 11°0时最大值为A＋b，若A<0时最大值应为－A＋b.例3　(1)函数y＝a sin x＋1的最大值是3，则它的最小值是(　　)A．0 B．1C．－1 D．与a有关【答案】　C【解析】　设sin x＝t∈[－1，1]，当a＝0时，不满足条件．当a>0时，y＝at＋1，当t＝1时，y有最大值3，即a＋1＝3，则a＝2，则当t＝－1时，y有最小值－1；当a<0时， y＝at＋1，当t＝－1时，y有最大值3，即－a＋1＝3，则a＝－2，则当t＝1时，y有最小值－1.综上，y＝a sin x＋1的最小值是－1.  状元随笔　(2)用|sin α|≤1构建关于y的不等式，从而求得y的取值范围．(3)用t代替sin x，然后写出关于t的函数，再利用二次函数的性质及|t |≤1即可求出y的取值范围．方法归纳(1)换元法，旨在三角问题代数化，要防止破坏等价性．(2)将复合函数转化成一个函数，要注意不要一见sin x就有－1≤sin x≤1，要根据x的范围确定．   教材反思(1)“几何法”和“五点法”画正弦函数图象的优缺点①“几何法”就是利用单位圆中正弦线作出正弦函数图象的方法．该方法作图较精确，但较为繁琐．②“五点法”是画三角函数图象的基本方法，在要求精度不高的情况下常用此法．(2)正弦函数周期性的释疑由正弦函数的图象和周期函数的定义可得：正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期为2π.(3)正弦函数的奇偶性①正弦函数是奇函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点O对称．②正弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．(4)正弦函数单调性的说明①正弦函数在定义域R上不是单调函数，但存在单调区间．②求解(或判断)正弦函数的单调区间(或单调性)是求值域(或最值)的关键一步．③确定含有正弦函数的较复杂的函数单调性时，要注意使用复合函数的判断方法来判断．(5)正弦函数最值的释疑①明确正弦函数的有界性，即|sin x|≤1.②对有些正弦函数，其最值不一定是1或－1，要根据函数定义域来决定．