人教B版高中数学必修第三册第7章章末综合提升课件学案

类型1　三角函数的定义

高考对三角函数定义的考查主要是利用三角函数定义求三角函数值，利用三角函数线比较大小，判断三角函数的符号，利用三角函数线求定义域．既单独考查，也常与单位圆、实际问题、三角变换求值相结合考查．解决此类问题的关键是利用三角函数定义求出三角函数值：

1．已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：

(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值．

(2)在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r＞0).则sin α＝，cos α＝.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．

2．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．

【例1】　已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝________．

－8　[r＝＝，且sin θ＝－，

所以sin θ＝＝＝－，所以θ为第四象限角，解得y＝－8.]

1．若角α的终边在直线y＝3x上，且sin α＜0，又P(m，n)是α终边上一点，且|OP|＝，求sin α，cos α，tan α.

[解]　因为sin α＜0，且角α的终边在直线y＝3x上，所以角α的终边在第三象限，又因为P(m，n)为终边上一点，所以m＜0，n＜0.

又因为所以

所以sin α＝＝－＝－，

cos α＝＝＝－，

tan α＝＝＝3.

类型2　同角三角函数的基本关系式及诱导公式的应用

牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧，同时要体会数学思想方法如数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想及函数与方程思想的应用．

诱导公式可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指的奇数倍或偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称变为相应的异名函数(即正余互变)；若是偶数倍，则函数名称不变．符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号．

【例2】　已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(0，2π).求：

(1)＋；

(2)m的值；

(3)方程的两根及此时θ的值．

[解]　由根与系数的关系得：

sin θ＋cos θ＝，sin θcos θ＝.

(1)原式＝＋

＝＋

＝－

＝sin  θ＋cos θ＝.

(2)由sin θ＋cos θ＝，

两边平方可得：

1＋2sin θcos θ＝，

1＋2×＝1＋，

所以m＝.

(3)由m＝可解方程：

2x2－(＋1)x＋＝0，

得两根和.

所以 或

因为θ∈(0，2π)，

所以θ＝或.

2．已知f(α)＝.

(1)化简f(α)；

(2)若f(α)＝，且<α<，求cos α－sin α的值；

(3)若α＝－，求f(α)的值．

[解]　(1)f(α)＝＝sin α·cos α.

(2)由f(α)＝sin α·cos α＝可知，

(cos α－sin α)2＝cos2α－2sinα·cos α＋sin2α

＝1－2sinα·cos α＝1－2×＝，

又因为<α<，所以cos α<sin α，即cos α－sin α<0，

所以cos α－sin α＝－.

(3)因为α＝－π＝－6×2π＋，所以f＝

cos ·sin ＝cos ·sin

＝cos ·sin ＝×＝.

类型3　三角函数的图像及变换

三角函数的图像是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图像的变换和解析式的确定，以及通过对图像的描绘、观察来讨论函数的有关性质．具体要求：

(1)用“五点法”作y＝A sin (ωx＋φ)的图像时，确定五个关键点的方法是分别令ωx＋φ＝0，，π，，2π.

(2)对于y＝A sin (ωx＋φ)＋b的图像变换，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别．

(3)由已知函数图像求函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的解析式时，常用的解题方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定A，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ，但由图像求得的y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的解析式一般不是唯一的，只有限定φ的取值范围，才能得出唯一的解，否则φ的值不确定，解析式也就不唯一．

【例3】　某同学用“ 五点法” 画函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：

(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；

(2)将y＝f(x)图像上所有点向左平行移动个单位长度，得到y＝g(x)图像，求y＝g(x)的图像离原点O最近的对称中心．

[解]　(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：

且函数表达式为f(x)＝5sin .

(2)由(1)知f(x)＝5sin ，

因此，g(x)＝5sin ＝5sin .

令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z.

即y＝g(x)图像的对称中心为，k∈Z，其中离原点O最近的对称中心为.

3．已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)，x∈R，其中A>0，ω>0，0<φ< 的周期为π，且图像上一个最高点为M．

(1)求f(x)的解析式；

(2)当x∈时，求f(x)的最值，并写出相应的x值．

[解]　(1)因为T＝π，所以＝π，所以ω＝2.

又因为图像上一个最高点为M，

所以A＝2.

且2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，0<φ<，φ＝，

所以f(x)＝2sin .

(2)因为0≤x≤，

所以≤2x＋≤，

所以≤sin ≤1.

1≤f(x)≤2.

当2x＋＝，即x＝0时，f(x)最小值为1；

当2x＋＝，即x＝ 时，f(x)最大值为2.

类型4　三角函数的性质

三角函数的性质，重点应掌握y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数y＝A sin (ωx＋φ)，y＝A cos (ωx＋φ)及y＝A tan (ωx＋φ)的相关性质．在研究其相关性质时，将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．

【例4】　已知函数f(x)＝2sin ＋a＋1(其中a为常数).

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值；

(3)求f(x)取最大值时x的取值集合．

[解]　(1)由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，

解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，

解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

所以函数f(x)的单调增区间为(k∈Z)，单调减区间为(k∈Z).

(2)因为0≤x≤，所以≤2x＋≤，

所以－≤sin ≤1，

所以f(x)的最大值为2＋a＋1＝4，所以a＝1.

(3)当f(x)取最大值时，2x＋＝＋2kπ，

所以x＝＋kπ，k∈Z，

所以当f(x)取最大值时，x的取值集合是{x|x＝＋kπ，k∈Z}．

4．在下列给出的函数中，以π为周期且在内是增函数的是(　　)

A．y＝sin   B．y＝cos 2x

C．y＝sin 　 D．y＝tan

D　[由函数周期为π可排除选项A.x∈时，2x∈(0，π)，2x＋ ∈，此时B，C项中函数均不是增函数．故选D.]

1．(2020·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝sin x＋，则(　　)

A．f(x)的最小值为2

B．f(x)的图像关于y轴对称

C．f(x)的图像关于直线x＝π对称

D．f(x)的图像关于直线x＝对称

D　[由题意得sin x∈[－1，0)∪(0，1].对于A，当sin x∈(0，1]时，f(x)＝sin x＋≥2＝2，当且仅当sin x＝1时取等号；当sin x∈[－1，0)时，f(x)＝sin x＋＝－≤－2＝－2，当且仅当sin x＝－1时取等号，所以A错误．对于B，f(－x)＝sin (－x)＋＝－＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，图像关于原点对称，所以B错误．对于C，f(x＋π)＝sin (x＋π)＋＝－(sin x＋)，f(π－x)＝sin (π－x)＋＝sin x＋，则f(x＋π)≠f(π－x)，f(x)的图像不关于直线x＝π对称，所以C错误．对于D，f＝sin ＋＝cos x＋，f＝sin ＋＝cos x＋，所以f＝f，f(x)的图像关于直线x＝对称，所以D正确．故选D.]

2．(2019·全国卷Ⅰ)关于函数f(x)＝sin |x|＋|sin x|有下述四个结论：

①f(x)是偶函数；②f(x)在区间单调递增；③f(x)在[－π，π]有4个零点；④f(x)的最大值为2.

其中所有正确结论的编号是(　　)

A．①②④ B．②④　　

C．①④ D．①③

C　[法一：f(－x)＝sin |－x|＋|sin (－x)|＝sin |x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故①正确；当＜x＜π时，f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x，∴f(x)在单调递减，故②不正确；f(x)在[－π，π]的图象如图所示，由图可知函数f(x)在[－π，π]只有3个零点，故③不正确；∵y＝sin |x|与y＝|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，∴f(x)可以取到最大值2，故④正确．综上，正确结论的序号是①④.故选C.

法二：∵f(－x)＝sin |－x|＋|sin (－x)|＝sin |x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故①正确，排除B；当＜x＜π时，f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x，∴f(x)在单调递减，故②不正确，排除A；∵y＝sin |x|与y＝|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，∴f(x)的最大值为2，故④正确．故选C.]

3．(2020·新高考全国卷Ⅰ)右图是函数y＝sin (ωx＋φ)的部分图像，则sin (ωx＋φ)＝(　　)

A．sin

B．sin

C．cos

D．cos

BC　[由题图可知，函数的最小正周期T＝2＝π，∴＝π，ω＝±2.当ω＝2时，y＝sin (2x＋φ)，将点代入得，sin ＝0，∴2×＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z，故y＝sin .由于y＝sin ＝sin [π－(2x＋)]＝sin ，故选项B正确；y＝sin (－2x)＝cos [－(－2x)]＝cos (2x＋)，选项C正确；对于选项A，当x＝时，sin (＋)＝1≠0，错误；对于选项D，当x＝＝时，cos (－2×)＝1≠－1，错误．当ω＝－2时，y＝sin (－2x＋φ)，将代入，得sin ＝0，结合函数图像，知－2×＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，得φ＝＋2kπ，k∈Z，∴y＝sin ，但当x＝0时，y＝sin (－2x＋)＝－<0，与图像不符合，舍去．综上，故选BC.]

4．(2020·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝cos 在[－π，π]的图像大致如图，则f(x)的最小正周期为(　　)

A． B．  

C． D．

C　[由题图知，f＝0，

∴－ω＋＝＋kπ(k∈Z)，

解得ω＝－(k∈Z).

设f(x)的最小正周期为T，易知T<2π<2T，

∴<2π<，

∴1<|ω|<2，当且仅当k＝－1时，符合题意，

此时ω＝，

∴T＝＝.故选C.]