高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.3.5 已知三角函数值求角导学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.3.5 已知三角函数值求角导学案，共6页。学案主要包含了学习过程等内容，欢迎下载使用。

【学习过程】
一、初试身手
1．下列说法中错误的是（ ）。
A．arcsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)))＝－eq \f(π,4)B．arcsin 0＝0
C．arcsin（－1）＝eq \f(3,2)πD．arcsin 1＝eq \f(π,2)
2．已知α是三角形的内角，且sin α＝eq \f(\r(3),2)，则α＝（ ）。
A．eq \f(π,6)B．eq \f(π,3)
C．eq \f(π,6)或eq \f(5π,6)D．eq \f(π,3)或eq \f(2π,3)
3．已知tan 2x＝－eq \f(\r(3),3)且x∈[0，π]，则x＝________。
二、合作探究
类型一：已知正弦值求角
【例1】已知sin x＝eq \f(\r(3),2)。
（1）当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))时，求x的取值集合；
（2）当x∈[0，2π]时，求x的取值集合；
（3）当x ∈ R时，求x的取值集合。
[思路探究]尝试借助正弦曲线及所给角的范围求解。
类型二：已知余弦值求角
【例2】已知cs x＝－eq \f(1,3)，
（1）当x∈[0，π]时，求值x；
（2）当x ∈ R时，求x的取值集合。
[思路探究]解答本题可先求出定义arccs a的范围的角x，然后再根据题目要求，利用诱导公式求出相应的角x的集合。
类型三：已知正切值求角
【例3】已知tan α＝－3．
（1）若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，求角α；
（2）若α∈R，求角α。
[思路探究]尝试由arctan α的范围及给值求角的步骤求解。
三、学习小结
1．已知正弦值，求角
对于正弦函数y＝sin x，如果已知函数值y（y∈[－1，1]），那么在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上有唯一的x值和它对应，记为x＝
arcsin_yeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中－1≤y≤1，－\f(π,2)≤x≤\f(π,2)))。
2．已知余弦值，求角
对于余弦函数y＝cs x，如果已知函数值y（y∈[－1，1]），那么在[0，π]上有唯一的x值和它对应，记为x＝arccs_y（其中－1≤y≤1，0≤x≤π）。
3．已知正切值，求角
一般地，如果y＝tan x（y ∈ R）且x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，那么对每一个正切值y，在开区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))内，有且只有一个角x，使tan x＝y，记为x＝arctan_yeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＜x＜\f(π,2)))。
四、精炼反馈
1．已知cs x＝－eq \f(\r(2),2)，π＜x＜2π，则x＝（ ）。
A．eq \f(3π,2)B．eq \f(5π,4)
C．eq \f(4π,3)D．eq \f(7π,4)
2．函数y＝eq \r(3－2x)＋π－arccs（2x－3）的定义域是________。
3．等腰三角形的一个底角为α，且sin α＝eq \f(3,5)，用含符号arcsin x的关系式表示顶角β＝________。
4．求值：eq \f(arcsin \f(\r(3),2)－arccs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))),arctan－\r(3))。
答案解析
一、初试身手
1．【答案】C
【解析】根据已知正弦值求角的定义知arcsin（－1）＝－eq \f(π,2)，故C项错误。
2．【答案】D因为α是三角形的内角，所以α∈（0，π），当sin α＝eq \f(\r(3),2)时，α＝eq \f(π,3)或eq \f(2π,3)，故选D。
3．【答案】eq \f(5π,12)或eq \f(11π,12)
【解析】∵x∈[0，π]
∴2x∈[0，2π]。
∵tan 2x＝－eq \f(\r(3),3)，
∴2x＝eq \f(5π,6)或2x＝eq \f(11π,6)，
∴x＝eq \f(5π,12)或eq \f(11π,12)。
二、合作探究
例1．【答案】（1）∵y＝sin x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是增函数，且sin eq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2)，∴x＝eq \f(π,3)，∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))是所求集合。
（2）∵sin x＝eq \f(\r(3),2)＞0，∴x为第一或第二象限的角，且sin eq \f(π,3)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,3)))＝eq \f(\r(3),2)，
∴在[0，2π]上符合条件的角有x＝eq \f(π,3)或x＝eq \f(2,3)π，
∴x的取值集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(2π,3)))。
（3）当x ∈ R时，x的取值集合为
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2kπ＋\f(π,3)))，或x＝2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z))。
例2．【解】（1）∵cs x＝－eq \f(1,3)且x∈[0，π]，
∴x＝arccseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))。
（2）当x ∈ R时，先求出x在[0，2π]上的解。
∵cs x＝－eq \f(1,3)，故x是第二或第三象限角。
由（1）知x＝arccseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))是第二象限角，
又cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2π－arccs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))))
＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(arccs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))))＝－eq \f(1,3)，
且2π－arccseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3,2)π))，
所以，由余弦函数的周期性知，
当x＝arccseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＋2kπ或
x＝2π－arccseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＋2kπ（k ∈ Z）时，
cs x＝－eq \f(1,3)，即所求x值的集合是
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2kπ±arccs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))))，k∈Z))。
例3．【解】（1）由正切函数在开区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是增函数可知，符合条件tan α＝－3的角只有一个，即α＝arctan（－3）。
（2）α＝kπ＋arctan（－3）（k ∈ Z）。
四、精炼反馈
1．【答案】B
【解析】因为x∈（π，2π）且cs x＝－eq \f(\r(2),2)，∴x＝eq \f(5π,4)。
2．【答案】eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))
【解析】由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－2x≥0,－1≤2x－3≤1))，
解得1≤x≤eq \f(3,2)，所以函数的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))。
3．【答案】π－2arcsineq \f(3,5)
【解析】由题意，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，又sin α＝eq \f(3,5)，
所以eq \f(π,6)<α所以β＝π－2arcsineq \f(3,5)。
4．【答案】∵arcsineq \f(\r(3),2)＝eq \f(π,3)，arccseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝eq \f(2π,3)，
arctan（－eq \r(3)）＝－eq \f(π,3)，
∴原式＝eq \f(\f(π,3)－\f(2π,3),－\f(π,3))＝1．
学习目标
核心素养
1．掌握已知三角函数值求角的方法，会由已知的三角函数值求角，并会用符号arcsin x，arccs x，arctan x表示角。（难点）
2．熟记一些比较常见的三角函数值及其在区间[－2π，2π]上对应的角。（重点）
通过已知三角函数值求角的学习，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养。