2021学年第七章 三角函数本章综合与测试课时作业

专题强化练5　函数y=Asin(ωx+φ)的图像变换的应用

一、单项选择题　　　　　 　　　　　 　　　　　

1.(2019广东佛山一中高三期中,★★☆)函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π,若其图像向左平移个单位后得到的图像对应的函数为奇函数,则函数f(x)的图像(　　)

A.关于点对称        B.关于点对称

C.关于直线x=对称     D.关于直线x=对称

2.(2019山东淄博实验中学高三模拟,★★☆)若将函数f(x)=2sin(0<φ<π)的图像向左平移个单位后得到的图像关于点对称,则函数g(x)=cos(x+φ)在上的最小值是(　　)

A.-     B.-       C.       D.

二、填空题

3.(2019广东中山一中高一下段考,★★☆)将函数y=2sin图像上各点的横坐标变为原来的2倍,再将所得函数的图像向右平移π个单位,所得图像对应的函数解析式为　　　　　　　　. 

三、解答题

4.(2019河北石家庄二中高一月考,★★☆)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)0<φ<的部分图像如图,该图像与y轴交于点A(0,),与x轴交于点B,C,D为图像的最高点,且△BCD的面积为.

(1)求f(x)的解析式及其单调递增区间;

(2)若x0∈,,且f(x0)=1,求x0的值;

(3)若将f(x)的图像向右平移个单位,再将所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图像.试求关于x的方程g(x)=a(-1<a<0)在x∈[0,4π]内所有根的和.

5.(★★☆)已知函数f(x)=sin(ω>0),其图像与x轴的相邻两个交点之间的距离为.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)若将f(x)的图像向左平移m(m>0)个单位后得到函数g(x)的图像,其恰好经过点,求当m取得最小值时,g(x)在上的单调递增区间.

答案全解全析

一、单项选择题

1.C　因为函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π,所以ω=2. f(x)的图像向左平移个单位后得到y=sin的图像,由对应的函数是奇函数可得+φ=kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=-,所以f(x)=sin2x-.令2x-=kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z,故A,B均不正确;令2x-=kπ+,得x=+,k∈Z,当k=0时,得x=,故C正确,D不正确.故选C.

2.C　将函数f(x)的图像向左平移个单位后,所得图像对应的解析式为

y=2sin2x++φ+=2sin.

因为平移后的图像关于点对称,

所以2×+φ+=φ+=kπ,k∈Z,

故φ=-+kπ,k∈Z.

又0<φ<π,所以φ=.

所以g(x)=cos.

由-≤x≤得-≤x+≤,

所以当x+=或x+=-,

即x=或x=-时,函数g(x)取得最小值,最小值为.

二、填空题

3.答案　y=2sinx

解析　将函数y=2sin图像上各点的横坐标变为原来的2倍后,所得图像对应的解析式为y=2sin=2sin+,再把所得函数的图像向右平移π个单位,所得图像对应的函数解析式为y=2sin=2sinx.

三、解答题

4.解析　(1)∵函数f(x)=2sin(ωx+φ)0<φ<的最大值为2,故△BCD的面积S=×BC×2=,∴BC=,∴函数f(x)的周期T=π,即ω=2,由函数f(x)的图像与y轴交于点A(0,),得f(0)=2sin φ=,∴sin φ=.∵0<φ<,∴φ=,∴f(x)=2sin2x+.令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,f(x)的单调递增区间为(k∈Z).

(2)∵f(x0)=1,∴sin=.

又∵x0∈,,∴2x0+∈[π,3π],∴2x0+=或2x0+=,∴x0=或x0=.

(3)由题意易知g(x)=2sinx+,画出y=g(x)的图像,如图所示.

则方程g(x)=a(-1<a<0)在x∈[0,4π]有四个根,由函数图像的对称性得四个根的和为2×+=.

5.解析　(1)由已知得函数f(x)的周期T=π,即=π,解得ω=1,

∴f(x)=sin.

(2)将f(x)的图像向左平移m(m>0)个单位后,得到g(x)=sin2x+2m+的图像,

又函数g(x)的图像经过点,

∴sin=0,即sin=0,∴2m-=kπ,k∈Z,∴m=+,k∈Z.

∵m>0,∴当k=0时,m取得最小值,即mmin=,

此时g(x)=sin.又-≤x≤,∴≤2x+≤.

当≤2x+≤,即-≤x≤-时,函数g(x)单调递增;

当≤2x+≤,即≤x≤时,g(x)单调递增.

∴g(x)在上的单调递增区间为,.