2023八年级数学下册第十七章勾股定理测试卷（人教版附解析）
展开勾股定理
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.如图,每个小正方形的边长为1,△ABC的三边a,b,c的大小关系是( )
A.a<c<b B.
a<b<
c
C.c<a<b D.c<b<a
2.(2013·南京中考)设边长为3的正方形的对角线长为a,下列关于a的四种说法:①a是无理数;②a可以用数轴上的一个点来表示;③3<a<4;④a是18的算术平方根.其中,所有正确说法的序号是( )
A.①④ B.②③
C.①②
④ D.①③④
3.如图中的螺旋由一系列直角三角形组成,则第n个三角形的面积为( )
A.n B.
C.
D.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.如图所示,数轴上点A所表示的数为a,则a的值是 .
5.(2013·吉林中考)如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(-6,0),(0,8).以点A为圆心,以AB长为半径画弧,交x正半轴于点C,则点C的坐标为 .
6.如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”.只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出
长度为
的线段 条.
三、解答题(共26分)
7.(8分)在同一直角坐标系中分别描出点A(-3,0),B(2,0),C(1,3),再用线段将这三点首尾顺次连接起来,求△ABC的面积与周长.
8.(8分)如图所示,在有24个边长为1的小正三角形的网格中,点P是正六边形的一个顶点,以点P为直角顶点作格点直角三角形,(即顶点均在格点上的三角形),请你写出所有可能的直角三角形斜边的长.
【拓展延伸】
9.(10分)勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系,其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值.如图所示,是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定规律长成的勾股树,树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为S1,第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为S2,…,第n个正方形和第n个直角三角形的面积之和为Sn.设第一个正方形的边长为1.
请解答下列问题:
(1)S1= .
(2)通过探究,用含n的式子表示Sn,则Sn= .
答案解析
1.【解析】选C.∵AC=
=5=
,BC=
=
,AB=4=
,
∴b>a>c,即c<a<b.
2.【解析】选C.由勾股定理得,正方形的对角线长为a=
=
=3
,且4<a<5.所以③错误,其他都正确.
3.【解析】选D.根据勾股定理:
在第一个三角形中:O
=1+1,S1=1×1÷2
.
在第二个三角形中:O
=O+1=1+1+1,
S2=OA1×1÷2=
×1÷2.
在第三个三角形中:O
=O+1=1+1+1+1,
S3=OA2×1÷2=
×1÷2;
…
在第n个三角形中:Sn=×1÷2=.
4.【解析】图中的直角三角形的两直角边为1和2,所以斜边长为
=,所以-1到点A的距离是,那么点A所表示的数为-1.
答案:-1
5.【解析】∵点A,B的坐标分别为(-6,0),(0,8),∴AO=6,BO=8,
∴AB=
=10,
∵以点A为圆心,以AB长为半径画弧,
∴AB=AC=10,∴OC=AC-AO=4,
∵交x正半轴于点C,∴点C的坐标为(4,0).
答案:(4,0)
6.【解析】如图,由于每个小正方形的边长都为1,那么根据勾股定理容易得到长度为的线段,然后可以找出所有这样的线段.如图,所有长度为的线段全部画出,共有8条.
答案:8
7.【解析】如图,利用勾股定理得,AC=
=5,BC=
=
,
AB=2-(-3)=5,
∴△ABC的周长为A
C+BC+AB=5++5=10+,面积为
×5×3=
.
8.【解析】通过作图知,以点P为直角的三角形有八种情况,如图,△PCB,△PCA,△PDB,△PDA,△PC'B',△PC'A',△PD'B',△PD'A',均是以点P为直角的直角三角形,且△PCB≌△PC'B',△PCA≌△PC'A',△PDB≌△PD'B',△PDA≌△PD'A',故:
在Rt△PCB中,BC=
=
=2=B'C';
在Rt△PCA中,AC=
=
=
=A'C';
在Rt△PDB中,BD=
=
=
=B'D';
在Rt△PDA中,AD=
=
=4=A'D'.
故所有可能的直角三角形斜边的长为4,2,,.
9.【解析】(1)∵第一个正方形的边长为1,
∴正方形的面积为1,
又∵直角三角形一个角为30°,
∴三角形的一条直角边为,另一条直角边就是
=
,
∴三角形的面积为×÷2=
,∴S1=1+.
(2)∵第二个正方形的边长为,它的面积就是
,也就是第一个正方形面积的,
同理,第二个三角形的面积也是第一个三角形的面积的,
∴S2=
·,依此类推,S3=··,即S3=·
,
所以Sn=·
(n为整数).
