人教版八年级上册第十二章 全等三角形12.3 角的平分线的性质教学课件ppt

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12.3.2 角的平分线的判定
人教版数学八年级上册
1.理解角平分线的判定定理.(难点）2.掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题.（重点）3.学会判断一个点是否在一个角的平分线上.
文字语言：角平分线上的点到角的两边的距离相等.
角平分线的性质
几何语言：
∵点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA，PE⊥OB.∴PD=PE
P到OA的距离
P到OB的距离
角平分线上的点
我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？
猜想：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即1.明确命题中的已知和求证；2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
已知，如图，P为∠AOB内部一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线上
猜想：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
证明：经过点P作射线OC. ∵PD⊥OA，PE⊥OB ∴∠PDO=∠PEO=90° 在Rt△PDO和Rt△PEO中， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO (HL) ∴∠POD=∠POE即点P在∠AOB的平分线上.
文字语言：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
※角的平分线的判定
几何语言：
∵ PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE，∴点P 在∠AOB的平分线上.(或∠1=∠2)
【点睛】应用所具备的条件:(1) 位置关系：点在角的内部;(1)数量关系：该点到角两边的距离相等.定理的作用：判断点是否在角平分线上.
如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500米. 这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为1:20000)？
D
O
C
解：作夹角的角平分线OC，
截取OD=2.5cm ，D即为所求.
【点睛】根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点.
如图，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等.
则：点P为所求.
P
例1.已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
想一想，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
【归纳】三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
例2.如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为(　　) A．110° B．120° C．130° D．140°
A
 
例3.如图，PA、PC分别是△ABC外角∠MAC与∠NCA的平分线,它们交于点P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F.求证:BP为∠MBN的平分线.
证明:过P作PE⊥AC于E.∵PA平分∠MAC，且PD⊥BM，PE⊥AC∴PD=PE∵PC平分∠NCA，且PF⊥BN，PE⊥AC∴PF=PE∴PD=PF∵PD⊥BM,PF⊥BN∴P在∠MBN的平分线上即BP为∠MBN的平分线.
如图，△ABC的∠ABC的外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相交于点P. 求证：点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等.
证明：过P点做PF⊥AC，PG⊥BC，PH⊥AB，垂足分别是F，G，H.∵BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的外角的平分线 ∴PG=PH，PF=PG ∴PF=PG=PH即点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等.
例4.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证:(1)AM平分∠DAB;(2)AD=AB+CD.
证明:(1)作MN⊥AD于N.∵DM平分∠ADC，且MC⊥CD，MN⊥AD∴CM=MN∵M是BC的中点∴CM=MB∴MN=MB∵MB⊥BA，MN⊥AD，且MN=MB∴AM平分∠DAB
例4.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证:(1)AM平分∠DAB;(2)AD=AB+CD.
1.如图，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=6cm，当PE=____cm时,点P在∠AOB的平分线上.2.如图,已知PA⊥ON于A,PB⊥OM于B,且PA=PB,∠MON=50°,∠OPC=30°,则∠PCA=______.
6
55°
3.如图，直线l1，l2，l3表示三条两两相互交叉的公路，现在拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有____处.4.如图所示，已知△ABC的周长是10，OC、OB分别平分∠ABC和∠ACB，OD上BC于D，且OD=1，则△ABC的面积是_______.
4
5
5.如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在绿地中建一小亭供人小憩，使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭的中心位置.
解：点P为所求.
6.如图，有一块三角形的闲地，其三边长分别为30m、40m、50m，现要把它分成面积比为3:4:5的三部分，分别种植不同的花，请你设计一种方案，并简要说明理由.
解:点P即为所求，即△ABC分为△ABP、△ACP、△BCP三个小三角形，即可符合面积比为3:4:5.
7.如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC．求证:AD是∠BAC的平分线.