初中数学人教版八年级上册12.3 角的平分线的性质优秀习题

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专训12.3.1 角平分线的性质+判定
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是_______．

【答案】30
【分析】
作于E，如图，利用基本作图得到AP平分∠BAC，根据角平分线的性质得，然后根据三角形面积公式．
【详解】
解：作于E，如图，

由作法得AP平分∠BAC，
∴，
∴△ABD的面积=．
故答案为：30．
【点睛】
本题考查了基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
2．如图，是的角平分线，点是上一点，于点，点是射线上的一个动点，若，则的最小值为______．

【答案】6
【分析】
根据垂线段最短可得PN⊥OA时，PN最短，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PM=PN，从而得解．
【详解】
当PN⊥OA时，PN的值最小，
∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，
∴PM=PN，
∵PM=6，
∴PN的最小值为6．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．
3．如图，在中，为的平分线，于点，于点．若的面积是，，，则____．

【答案】2
【分析】
先根据角平分线的性质得出DE=DF，再根据三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】
解：在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF，
∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=AB•DE+AC•DF，
∵△ABC面积是28cm2，AB=20cm，AC=8cm，
∴×20DE+×8DF=10DE+4DF=14DE=28，
解得DE=2cm．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
4．如图，在中，，平分，过点作于，若，的周长为11，则______．

【答案】8
【分析】
利用角平分线的性质推出，再根据三角形的周长计算得出答案．
【详解】
解：∵平分，过点作于，，
∴
∴的周长，
∴．
故答案为：8
【点睛】
此题考查角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，熟记定理是解题的关键．
5．如图所示，AD是△ABC的平分钱，DF⊥AB于点F，DE＝DG，若S△DEF＝2，S△ADG＝9：则△ADE的面积为________．

【答案】5
【分析】
过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线的性质得到DH＝DF，进而证明Rt△DEF≌Rt△DGH，根据全等三角形的性质得到△DEF的面积＝△DGH的面积=2，同理：△ADF的面积＝△ADH的面积=7，进而即可求解．
【详解】
解：过点D作DH⊥AC于H，

∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，
∴DH＝DF，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，
∵，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴△DEF的面积＝△DGH的面积=2，
同理可证，Rt△ADF≌Rt△ADH，
∴△ADF的面积＝△ADH的面积=9-2=7，
∴△ADE的面积=7-2=5．
故答案是：5．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，作辅助线构造出全等三角形并利用角平分线的性质是解题的关键．
6．如图，在中，是的角平分线，，垂足为E，若_______．

【答案】2
【分析】
根据角平分线的性质定理即可完成．
【详解】
∵AD平分∠CAB，且∠C=90°，
∴DE=CD=2
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质定理，关键是清楚定理的条件：一是角平分线，二是经过角平分线的点的直线，且这两条直线垂直角的两边，即要有两个垂直，具体在有些题目中，往往缺少一个或两个垂直，这时要作一个垂直或两个垂直．
7．如图在中，，平分，于，如果，那么________．

【答案】3
【分析】
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CE=DE，然后求出AC=AE+DE．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB，
∴CE=DE，
∴AC=AE+CE=AE+DE=3．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
8．如图，在中，，是的平分线，若，，则的面积是________．

【答案】6
【分析】
设点到的距离为，根据角平分线的性质即可求解
【详解】
设点到的距离为，
是的平分线，，
，


故答案为：6
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，熟悉角平分线的性质是解题的关键．
9．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，点D是OB上的动点，若PC＝1cm，则PD的长的最小值为 ___．

【答案】
【分析】
根据垂线段最短可知，当时最短，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，从而得解．
【详解】
解：垂线段最短，
当时最短，
是的平分线，，
，
，
，
即长度最小为1．
故答案为：．

【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，垂线段最短的性质，解题的关键是：确定出最小时的位置是解题的关键．
10．如图，，，交的角平分线于点，．则______．

【答案】
【分析】
根据，求出，由对顶角相等及角平分线性质求出，最后根据三角形的外角性质求出即可．
【详解】
解：，
，
，
是的角平分线，
，
为三角形的外角，
，
，
故答案是：．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、对顶角、角平分线的性质、三角形的外角，解题的关键是掌握相关的性质，灵活运用．
11．如图，是的角平分线．若，则点D到的距离是_________．

【答案】
【分析】
根据角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等，即可求得．
【详解】
如图，过D作，则D到的距离为DE


平分，，

点D到的距离为．
故答案为．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，点到直线的距离等知识，理解点到直线的距离的定义，熟知角平分线的性质是解题关键．
12．如图，在中，，平分交于点，，垂足为，若，，则的长为______．

【答案】
【分析】
先根据角平分线的性质可得，再根据线段的和差即可得．
【详解】
解：平分，，，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．
13．如图，在ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，EF∥BC交BD于点G，若∠BEG＝130°，则∠DGF＝_____°．

【答案】25
【分析】
根据角平分线的定义得到∠EBG＝∠CBG，根据平行线的性质得到∠EGB＝∠CBG，等量代换得到∠EBG＝∠EGB，再根据三角形的内角和定理和对顶角的性质于是得到结论．
【详解】
解：∵EF∥BC，
∴∠EGB＝∠CBG，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBG＝∠CBG，
∴∠EBG＝∠EGB，
∵∠BEG＝130°，
∴∠EGB＝＝25°，
∴∠DGF＝∠EGB＝25°．
故答案为：25．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握这些性质是解题的关键．
14．如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点．已知，，则点到的距离为________．

【答案】6
【分析】
如图，过点E作ET⊥AB于T．证明ET=EC，可得结论．
【详解】
解：如图，过点E作ET⊥AB于T．

∵BC=14，BE=8，
∴EC=BCBE=6，
由作图可知，AE平分⊥CAB，
∵EC⊥AC，ET⊥AB，
∴ET=EC=6，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查作图——复杂作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15．判断正误：三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三顶点的距离相等__．
【答案】
【分析】
根据三角形角平分线的性质分析，即可得到答案．
【详解】
由角平分线性质可知：三角形的三条角平分线交于一点，这点到三角形的三边的距离相等；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了三角形角平分线的知识；解题的关键是熟练掌握三角形角平分线的性质，从而完成求解．
16．如图，在和中，，，，，连接、交于点，连接．下列结论：①，②，③平分，④平分．其中正确的结论是______（填序号）．

【答案】①②④
【分析】
由SAS证明△AOC≌△BOD得出， 得出∠OAC＝∠OBD，由扇形内角和：∠AMB=180-∠OBD-∠MGB＝180°-∠OAC-∠OGA=∠AOC=36°，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，①正确；由△AOC≌△BOD得出AC＝BD，②正确；作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示：则∠OGA＝∠OHB＝90°，利用全等三角形对应边上的高相等，得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠AMD，④正确；假设MO平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，由全等三角形的判定定理可得△AMO≌△DMO，得AO＝OD，而OC＝OD，所以OA＝OC，而OA＜OC，故③错误；即可得出结论．
【详解】
解：设AC与OB交于G
∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OAC＝∠OBD，
∵∠OGA＝∠MGB，
∴∠AMB=180-∠OBD-∠MGB＝180°-∠OAC-∠OGA=∠AOC=36°，
∴∠AMB＝∠AOB＝36°，故①正确；
∵△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC=BD，故②，
作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，

则∠OGA＝∠OHB＝90°，
∵△AOC≌△BOD，
∴S△OAC=S△OBD，即AC·OG=BD·OH，
∵AC＝BD，
∴OG＝OH，
∴MO平分∠AMD，故④正确；
假设MO平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，
在△AMO与△DMO中，
，
∴△AMO≌△DMO（ASA），
∴AO＝OD，
∵OC＝OD，
∴OA＝OC，
而OA＜OC，
∴假设不正确，不能平分
故③错误；
正确的序号有①②④．
故答案为①②④．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的内角和性质、角平分线的判定与性质，反证法等知识；掌握全等三角形的判定与性质、三角形的内角和性质、角平分线的判定与性质，反证法等知识，证明三角形全等是解题的关键．
17．如图，已知中，，点在上，，点为垂足，且，联结，则的大小为___________．

【答案】112.5°
【分析】
首先根据角平分线的判定方法判定AD是∠BAC的平分线，然后利用外角性质求∠ADB的度数即可.
【详解】
解：∵∠C＝90°，DE⊥AB
∴∠C=∠AED=90°，
在Rt∆ACD和Rt∆AED中
，
∴Rt∆ACD≌Rt∆AED，
∴∠CAD=∠EAD，
∴AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAC，
∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠B＝∠CAB＝45°，
∴∠CAD＝22.5°，
∴∠ADB=∠CAD＋∠C＝112.5°.
故答案为：112.5°．
【点睛】
本题考查了角平分线的判定方法以及三角形外角的性质，角平分线的判定方法是：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
18．如图，△ABC中，∠ACB=90°，点D在边AC 上，DE⊥AB于点E，DC=DE，∠A=32°，则∠BDC的度数为________．

【答案】61°
【分析】
首先利用直角三角形的性质求得∠ABC的度数，然后利用角平分线的判定方法得到BD为∠ABC的平分线，再求出∠ABD的度数，根据三角形外角的性质进而求得结论．
【详解】
解：∵∠A=32°，∠ACB=90°，
∴∠CBA=58°，
∵DE⊥AB，DC⊥BC，DC=DE，
∴BD为∠ABC的平分线，
∴∠CBD=∠EBD，
∴∠CBD=∠CBA=×58°=29°,
∴∠BDC=∠A+∠ABD=32°+29°=61°．
故答案为：61°．
【点睛】
本题考查了角平分线的判定与性质，解题的关键是根据已知条件得到BD为∠ABC的平分线，难度不大．
19．数学课上，同学们兴致勃勃地尝试着利用不同画图工具画一个角的平分线．小明用直尺画角平分线的方法如下：
（1）用直尺的一边贴在∠AOB 的OA边上，沿着直尺的另一条边画直线m；
（2）再用直尺的一边贴在∠AOB 的OB边上，沿着直尺的另一条边画直线n，直线m与直线n交于点D；
（3）作射线OD．射线OD是∠AOB的平分线．
请回答：小明的画图依据是____________________．

【答案】角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
【分析】
根据角平分线的判定定理即可得出答案．
【详解】
∵作图时使用同一把尺子，尺子的宽度是一致的，
∴点D到OA和OB的距离是一样的，
∴射线OD是∠AOB的平分线（角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．
故答案为：角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
【点睛】
本题考查了角平分线的判定定理，熟练掌握角平分线判定定理是解题关键．
20．如图，中，、的角平分线、交于点P，延长、，则下列结论中正确的有_______．（将所有正确序号填在横线上）
①平分；②，③；④若，，则．

【答案】①②③④
【分析】
①作PD⊥AC于D．由角平分线的性质得出PM=PN，PM=PD，得出PM=PN=PD，即可得出①正确；②首先证出∠ABC+∠MPN=180°，证明Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），得出∠APM=∠APD，同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），得出∠CPD=∠CPN，即可得出②正确；③由角平分线和三角形的外角性质得出∠CAE=∠ABC+∠ACB，∠PAM=∠ABC+∠APB，得出∠ACB=2∠APB，③正确；④由全等三角形的性质得出AD=AM，CD=CN，即可得出④正确；即可得出答案．
【详解】
解：①作PD⊥AC于D．

∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，
∴PM=PN，PM=PD，
∴PM=PN=PD，
∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°，
∴∠ABC+∠MPN=180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴∠APM=∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴∠CPD=∠CPN，
∴∠MPN=2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC=180°，②正确；
③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，
∴∠CAE=2∠PAM，
∵∠CAE=∠ABC+∠ACB，∠PAM=∠ABC+∠APB，
∴∠ACB=2∠APB，③正确；
④∵Rt△PAM≌Rt△PAD（已证），
∴AD=AM，
∵Rt△PCD≌Rt△PCN（已证），
∴CD=CN，
∴AM+CN=AD+CD=AC，④正确；
故答案为：①②③④．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质定理和判定定理，全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，有一定综合性，但难度不大，只要仔细分析便不难求解．
21．如图，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，垂足为E．若AD＝DE且∠C＝50°，则∠ABD＝_____°．

【答案】
【分析】
利用三角形的内角和定理先求解，再利用角平分线的性质定理的逆定理证明：平分 从而可得答案．
【详解】
解：


平分

故答案为：
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理，角平分线的定义及性质定理的逆定理，掌握角平分线的性质定理的逆定理是解题的关键．
22．如图，BD⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB=DC，∠BAC=60°，∠ADG=120°，则∠DGF= _____________

【答案】150°
【分析】
先根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上得到AD是∠BAC的平分线，求出∠CAD的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求解．
【详解】
解：∵BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，
∴AD是∠BAC的平分线，
∵∠BAC=60°，
∴∠CAD=∠BAC=30°，
∴∠DGF=∠CAD+∠ADG=30°+120°=150°．
故答案为：150°．
【点睛】
本题考查了角平分线的判定与三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，仔细分析图形是解题的关键．
23．如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB，BC，CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝80°，则∠BOC的度数为_________．

【答案】130°
【分析】
根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出点O是三角形三条角平分线的交点，再根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，然后求出∠OBC+∠OCB，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【详解】
解：∵O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE，
∴点O是三角形三条角平分线的交点，
∵∠BAC=80°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=×100°=50°，
在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-50°=130°．
故答案为：130°．
【点睛】
本题考查了到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，三角形的内角和定理，要注意整体思想的利用．
24．如图，中，，AB>AC，两内角的平分线CD、BE交于点O，平分交BC于F，（1）；（2）连AO，则AO平分；（3）A、O、F三点在同一直线上；（4）OD=OE；（5）BD+CE=BC． 其中正确的结论是__________．（填序号）

【答案】①②④⑤．
【分析】
根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB度数，求出∠EBC+∠DCB度数，根据三角形内角和定理求出∠BOC即可判断①，过O作OM⊥AB于M，OQ⊥AC于Q，ON⊥BC于N， 根据角平分线性质求出OQ=OM=ON，根据角平分线性质求出AO平分∠BAC即可判断②；假设三点共线，利用三角形的外角的性质逆推可得：与已知条件AB>AC，得＞，互相矛盾，可判断③，证，即可推出OD=OE，从而判断④，通过全等求出BM=BN，CN=CQ，代入即可求出BD+CE=BC，从而判断⑤．
【详解】
解：∵∠A=60°，
∴
∴
∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴
∴
∴
∴①正确；
过O作OM⊥AB于M，OQ⊥AC于Q，ON⊥BC于N，

∵O是∠ABC和∠ACB的角平分线交点，
∴OM=ON，ON=OQ，
∴OQ=OM，
∴O在∠A平分线上，
∴②正确；
如图，若三点共线，





∵AB＞AC，
∴∠ABC＜∠ACB，
所以：A、O、F不在同一直线上，
∴③错误；
∵
∴
OM⊥AB，OQ⊥AC，ON⊥BC，
∴∠AMO=∠AQO=90°，
∵∠A=60°，
∴∠MOQ=120°，
∴∠DOM=∠EOQ，
在和中，

∴（AAS），
∴OE=OD，
∴④正确；
在与中，

∴，

同理，，

∴，
∵DM=EQ，
∴BC=BD+CE，
∴⑤正确；
故答案为：①②④⑤．
【点睛】
本题考查了角平分线性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，全等三角形的性质和判定的应用，掌握以上知识是解题的关键．
25．如图，已知OQ平分∠AOB，且PM⊥OA，PN⊥OB，根据角平分线的性质，则有___________； 反之如果PM=PN，且___________，那么OP平分∠AOB．

【答案】PM=PN PM⊥OA，PN⊥OB
【分析】
依据角平分线的定理和逆定理可知．
【详解】
解：OQ平分∠AOB，且PM⊥OA，PN⊥OB，



反之
PM=PN，且PM⊥OA，PN⊥OB，



OP平分∠AOB
故答案为：PM=PN；PM⊥OA，PN⊥OB
【点睛】
本题考查角平分线性质及其逆定理、全等三角形的判定与性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
26．如图，已知点D是△ABC的两外角平分线的交点，下列说法：
（1） AD=CD；（2）D到AB、BC的距离相等；（3） D到△ABC的三边的距离相等；（4） 点D在∠B的平分线上； 其中正确的说法的序号是________________.

【答案】（2）,（3）,（4）
【解析】
试题解析：如图，过点D作交BA的延长线于E，作交BC的延长线于F，作于G，

∵点D是的两外角平分线的交点，
故正确；
故正确；
∴点在的平分线上，故正确；
只有时，
，故错误.
综上所述，说法正确的是.
故答案为.
点睛:角平分线上的点到角两边的距离相等.
27．如图，为中点，平分若则的度是__________．

【答案】
【分析】
根据已知条件以及直角三角形两锐角互余、角平分线的定义、四边形的内角和是可求出，再根据角平分线的判定和性质即可求得答案．
【详解】
解:过点作于点，如图：

∵,
∴
∵平分
∴
∵
∴在四边形中，
∵，，平分
∴
∵为中点
∴
∴
∵，
∴平分
∴
故答案是：
【点睛】
本题重点考查了角平分线的定义、判定和性质，涉及到的知识点有直角三角形的两锐角互余和四边形的内角和，其中证得是解题的关键．
28．如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接，下列结论：①；②；③平分；④平分，其中正确的序号是__________．

【答案】①②④
【分析】
由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA=∠ODB，AC=BD，①正确；
由全等三角形的性质得出∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，得出∠AMB=∠AOB=40°，②正确；
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示：则∠OGC=∠OHD=90°，由AAS证明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG=OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠BMC，④正确；
先假设OM平分∠AOD，推出OA=OC与条件中相矛盾，推出③错误．
【详解】
解：∵∠AOB=∠COD=40，
∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD，
即∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC△BOD，
∴∠OCA=∠ODB，AC=BD，①正确；
∵△AOC△BOD
∴∠OAC=∠OBD，
由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，
∴∠AMB=∠AOB=40，
∴∠CMD=∠AMB=40，②正确；
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图2所示：

则∠OGC=∠OHD=90，
在△OCG和△ODH中，
，
∴△OCG△ODH，
∴OG=OH，
∵OG⊥MC，OH⊥MB
∴MO平分∠BMC，④正确；
∵∠AOB=∠COD，
假设OM平分∠AOD，
∵OM平分∠AOD，
∴∠AOM=∠DOM，
∵△AOC≌△BOD，
∴∠COM=∠BOM，
∵MO平分∠BMC，
∴∠CMO=∠BMO，
在△COM和△BOM中，
∴△COM≌△BOM(ASA)，
∴OB=OC，
∵OA=OB，
∴OA=OC，
与OA>OC矛盾，
故假设不成立，OM不平分∠AOD
∴③错误；
故答案为：①②④
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
29．如图，，是、的角平分线交点，是、外角平分线交点，则______，_____，联结，则______，点____（选填“在”、“不在”或“不一定在”）直线上．

【答案】116 64 26 在
【分析】
∠ABC+∠ACB=180°-∠A，∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）, ∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB），据此可求∠BOC的度数；
∠BCP= ∠BCE= （∠A+∠ABC），∠PBC= ∠CBF= （∠A+∠ACB），由三角形内角和定理得：∠BPC=180°-∠BCP-∠PBC，据此可求∠BPC的度数；
作PG⊥AB于G，PH⊥AC于H，PK⊥BC于K，利用角平分线的性质定理可证明PG=PH，于是可证得AP平分∠BAC，据此可求∠PAB的度数；
同理可证OA平分∠BAC，故点在直线上．
【详解】
解：∵O点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，
∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）
= （180°-∠A）
=90°- ∠A，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°-90°+ ∠A
=90°+ ∠A
=90°+26°
=116°；
如图，

∵BP、CP为△ABC两外角的平分线，
∴∠BCP= ∠BCE= （∠A+∠ABC），
∠PBC= ∠CBF= （∠A+∠ACB），
由三角形内角和定理得：
∠BPC=180°-∠BCP-∠PBC
=180°- [∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]
=180°- （∠A+180°）
=90°- ∠A
=90°-26°
=64°．
如图，作PG⊥AB于G，PH⊥AC于H，PK⊥BC于K，连接AP，

∵BP、CP为△ABC两外角的平分线，PG⊥AB，PH⊥AC，PK⊥BC，
∴PG=PK，PK=PH，
∴PG=PH，
∴AP平分∠BAC，
∴26°
同理可证OA平分∠BAC，
点在直线上．
故答案是：(1) 116 ；(2) 64；(3) 26；(4) 在.
【点睛】
此题主要考查了角平分线的性质定理和判定定理及三角形内角和定理，熟知定理并正确作出辅助线是解题关键．
30．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是__

【答案】在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上
【分析】
根据角平分线的性质即可证明.
【详解】
因为直尺的宽度一样，故点P到AO与BO的距离相等，故可知PO为角平行线.
【点睛】
此题主要考查角平行线的性质，解题的关键是熟知角平分线的性质.
31．如图,在平面直角坐标系xOy中,点A、B分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴上移动,点M在第二象限，且MA平分∠BAO，做射线MB，若∠1=∠2，则∠M的度数是_______。

【答案】
【解析】
【分析】
根据三角形内角与外角的关系可得
由角平分线的性质可得
根据三角形内角和定理可得
易得∠M的度数。
【详解】
在中，是的外角
∴
由三角形内角和定理可得
∵
∴
∵平分
∴
由三角形内角与外角的关系可得
∵
∴
又∵
∴
∴


【点睛】
本题考查三角形外角的性质，即三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和。
32．如图所示，I是△ABC三内角平分线的交点，IE⊥BC于E，AI延长线交BC于D，CI的延长线交AB于F，下列结论：①∠BIE=∠CID；②S△ABC=IE（AB+BC+AC）；③BE=（AB+BC﹣AC）；④AC=AF+DC．其中正确的结论是_____．

【答案】①②③．
【详解】
①∵I为△ABC三条角平分线的交点，IE⊥BC于E，
∴∠ABI=∠IBD，
∵∠DIC=∠DAC+∠ACI=（∠BAC+∠ACB），∠ABI=∠ABC，
∴∠CID+∠ABI=90°，
∵IE⊥BC于E，
∴∠BIE+∠IBE=90°，
∵∠ABI=∠IBE，
∴∠BIE=∠CID；
即①成立；
②∵I是△ABC三内角平分线的交点，
∴点I到△ABC三边的距离相等，
∴S△ABC=S△ABI+S△BCI+S△ACI=•AB•IE+BC•IE+AC•IE=IE（AB+BC+AC），
即②成立；
③如图，过I作IH⊥AB于H，IG⊥AC于G，

∵I是△ABC三内角平分线的交点，
∴IE=IH=IG，
在Rt△AHI与Rt△AGI中，
，
∴Rt△AHT≌Rt△AGI（HL），
∴AH=AG，同理BE=BH，CE=CG，
∴BE+BH=AB+BC﹣AH﹣CE=AB+BC﹣AC，
∴BE=（AB+BC﹣AC）；
即③成立；
④由③证得IH=IE，
∵∠FHI=∠IED=90°，
∴△IHF与△DEI不一定全等，
∴HF不一定等于DE，
∴AC=AG+CG=AH+CE≠AF+CD，
即④错误．
故答案为①②③．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解答此类题目的关键是要熟练掌握三角形内角与外角的关系．