必修 第一册2.2 全称量词与存在量词教案

《全称量词与存在量词（1）》教学设计

1. 通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义.

2. 会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它的真假.

3. 通过对全称量词与存在量词、全称量词命题和存在量词命题的学习，增强数学抽

象、逻辑推理的核心素养.

重点：会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它的真假.

难点：能正确判断全称量词命题或存在量词命题的真假．

一、新课导入

情境问题：观察下列语句，回答下列问题．

（1）；（2）是整数；（3）对所有的；（4）存在一个是整数．问题：比较（1）和（3），（2）和（4），它们之间有何关系？

分析：语句（1）无法判断真假，不是命题；语句（3）在语句（1）的基础上增加了“所有的”，可以判断真假，是命题，语句（1）是命题（3）中的一部分．语句（2）无法判断真假，不是命题﹔语句（4）在语句（2）的基础上增加了“存在一个”，可以判断真假，是命题．语句（2）是命题（4）中的一部分．

思考：常见的量词有哪些？

提示：常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”“凡是”等．常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某个”“有的”等．

今天，我们将学习全称量词与存在量词（1）.

设计意图：通过情境问题进行引入，激发学生思考常见的量词，为顺利引出本节内容做铺垫.

二、新知探究

探究一：全称量词命题与全称量词

问题1：观察下列命题，分析它们的共同点：

（1）所有正方形都是矩形； 

（2）每一个有理数都能写成分数的形式；

（3）对于任意的正实数的增大而增大；

（4）空集是任何集合的子集；

（5）一切三角形的内角和都等于.

分析：以上命题中，“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”都是在指定范围内表示整体或全部的含义．

知识点：（1）在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题.

（2）在命题中，诸如：“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“”表示，读作“对任意的”．例如“对于任意的实数，都有”可表示为“，有”.

探究二：存在量词命题与存在量词

问题2：观察下列命题，分析它们的共同点：

（1）有些三角形是直角三角形；

（2）在素数中，有一个是偶数；

（3）存在实数，使得

分析：以上命题中，“有些”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义．

知识点：（1）在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题．

（2）在命题中，诸如“有些”“有一个”存在这样的词叫作存在量词，用符“”表示，读作“存在”．例如“存在实数，使得”可表示为“，使”.

思考：（1）全称量词和存在量词的含义分别是什么?

分析：全称量词表示整体或全部；存在量词表示个别或一部分．

（2）在全称量词命题和存在量词命题中，量词是否可以省略?

分析：在存在量词命题中，量词不可以省略﹔在有些全称量词命题中，量词可以省略．例如，“所有的正方形都是矩形”，可以简写为“正方形是矩形”.

探究三：全称量词命题或存在量词命题的判断

分析：

设计意图：在三次探究活动中，以抛出问题的形式让学生进行发现、总结，归纳出概念，帮助学生更好的理解理解全称量词命题和存在量词命题的概念和判别方法．

三、应用举例

例1 判断下列命题是不是全称量词命题，如果是，指出其中的全称量词：

（1）所有的正方形都是平行四边形；

（2）能被5整除的整数末尾数字为0.

分析：一般可以直接通过命题中的量词判断命题是不是全称量词命题，如果命题中没有量词，应当考虑命题中量词被省略的情况．

解：（1）“所有的正方形都是平行四边形”是全称量词命题，“所有”是全称量词；

（2）“能被5整除的整数末尾数字为0”可以表述为“所有能被5整除的整数，

末尾数字都为0”，它是全称量词命题，其中省略了全称量词“所有”．

例2 判断下列命题是不是存在量词命题，如果是，指出其中的存在量词：

（1）存在一个无理数，是也是无理数；

（2），使．

分析：一般可以直接通过命题中的量词判断命题是不是存在量词命题．  

解：（1）“存在一个无理数，是也是无理数”是存在量词命题，“存在”是存在

量词；

（2）“，使”是存在量词命题，“（即存在）”是存在量词；

例3 判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题：

（1）有一个实数x，x不能取倒数；

（2）所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径；

（3）圆内接四边形，其对角互补；

（4）若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．

解：（1）含有存在量词“有一个”，故为存在量词命题．

（2）含有全称量词“所有”，故为全称量词命题．

（3）可改写为“所有圆内接四边形的对角互补”，故为全称量词命题．

（4）若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题．

设计意图：从让学生学会通过归纳得出概念，经理数学抽象的过程，并在概念中准确地找到关键词，加深对概念的理解．通过对全称量词命题和存在量词命题中常见量词一个归纳来复习两种命题的基本概念，让学生对两种命题有一个系统性的认识．

四、课堂练习

1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”．

（1）命题“任意一个自然数都是正整数”是全称量词命题．( )

（2）命题“四边形的内角和是360”是全称量词命题．( )

（3）命题“存在一个菱形，它的四条边不相等”是存在量词命题．( )

（4）命题“有的无理数的平方不是有理数”是存在量词命题． ( )

2．将命题“”改写为全称量词命题为(  )．

3．下列语句中，全称量词命题有_____，存在量词命题有_____﹒(填序号)

（1）有一个实数a，a不能作为分数的分母；

（2）所有不等式的解集A都满足；

（3）四边形都是平行四边形吗?

（4）有的四边形不是矩形﹔

（5）自然数的平方是正数﹒

4．用全称量词把下列语句写成全称量词命题，并判断真假．

（1）；

（2）负数都没有对数；

（3）非负实数有两个偶次方根．

参考答案：

1．（1）√（2）√（3）√（4）√

解析：由全称量词命题和存在量词命题理解得知．

2． 对任意的，都有成立．

解析：命题“”是指对任意，都有成立，故命题“”改写成全称量词命题为:对任意的，都有成立．

3．（2）（5）、（1）（4）

解析：因为（1）（4）中含有存在量词，所以命题（1）（4）为存在量词命题；因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”，所以（2）（5）中均含有全称量词，故为全称量词命题；（3）不是命题．综上所述，（1）（4）为存在量词命题，（2）（5）为全称量词命题，（3）不是命题．

4．（1）． 它是真命题（2）所有的负数都没有对数．它是真命题．（3）所有的非负实数都有两个偶次方根．它是假命题．

解析：（1）， ．因为，所以它是真命题．

（2）所有的负数都没有对数．它是真命题．

（3）所有的非负实数都有两个偶次方根．它是假命题．

五、课堂小结

1．全称量词命题：在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题．

全称量词：在命题中，诸如：“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“”表示，读作“对任意的”．

2．存在量词命题：在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题．

存在量词：命题中，诸如“有些”“有一个”存在这样的词叫作存在量词，用符“”表示，读作“存在”．

3．全称量词命题或存在量词命题的判断：

六、布置作业

教材第20页练习1、2题．