高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.2 全称量词与存在量词第1课时综合训练题

第1课时　全称量词命题与存在量词命题

1.下列命题中全称量词命题的个数为(　　)

①平行四边形的对角线互相平分；

②梯形有两边平行；

③存在一个菱形，它的四条边不相等．

A．0  B．1

C．2  D．3

2．试判断下列全称量词命题的真假：

(1)∀x∈R，x2＋2＞0；

(2)∀x∈N，x4≥1；

(3)∀x∈R，x2＋1≥2.

3.下列命题中，存在量词命题的个数是(　　)

①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④任意x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.

A．0  B．1

C．2  D．3

4．判断下列存在量词命题的真假：

(1)有的集合中不含有任何元素．

(2)存在对角线不互相垂直的菱形．

(3)∃x∈R，满足3x2＋2>0.

(4)有些整数只有两个正因数．

5.已知命题p：“∀x∈R，mx2≥0”是真命题，则实数m的取值范围是________．

6．已知命题p：∀≤x≤2,2x－a≥0，命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2＝0.若p和q都是真命题，求实数a的取值范围．

1．下列命题中，不是全称量词命题的是(　　)

A．任何一个实数乘0都等于0

B．自然数都是正整数

C．对于任意x∈Z,2x＋1是奇数

D．一定存在没有最大值的二次函数

2．下列命题中，是真命题且是全称量词命题的是(　　)

A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0

B．菱形的两条对角线相等

C．存在x∈R，使得x2＝x

D．二次函数y＝x2－ax－1的图象与x轴恒有交点

3．既是存在量词命题，又是真命题的是(　　)

A．斜三角形的内角是锐角或钝角

B．至少有一个x∈R，使x2≤0

C．两个无理数的和是无理数

D．存在一个负数x，使＞2

4．下列四个命题：

①没有一个无理数不是实数；

②空集是任何一个非空集合的真子集；

③1＋1<2；

④至少存在一个整数x，使得x2－x＋1是整数．

其中是真命题的为(　　)

A．①②③④  B．①②③

C．①②④    D．②③④

5．下面四个命题：

①∀x∈R，x2－3x＋2>0；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R,4x2>2x－1＋3x2.

其中真命题的个数为(　　)

A．3  B．2

C．1  D．0

6．(易错题)已知命题p：∃x∈R，x2＋x＋a＝0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是(　　)

A．a>  B．a≤

C．a<  D．a≥

7．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x2)>0”用“∃”写成存在量词命题为_________________________________．

8．下列命题：

①偶数都可以被2整除；②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等；③有的实数是无限不循环小数；④有的菱形是正方形；⑤存在三角形其内角和大于180°.

既是全称量词命题又是真命题的是________，既是存在量词命题又是真命题的是________(填上所有满足要求的序号)．

9．已知命题“∀x∈R，函数y＝2x2＋x＋a的函数值恒大于0”是真命题，则实数a的取值范围是________．

10．(探究题)若存在一个实数x，使不等式m－(x2－2x＋5)>0成立，求实数m的取值范围．

1．(多选题)已知A＝{x|1≤x≤2}，命题“∀x∈A，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件可以是(　　)

A．a≥3  B．a≥4

C．a≥5  D．a≥6

2．若对于任意x∈R，都有ax2＋2x＋a<0，则实数a的取值范围是________．

3．(学科素养—逻辑推理)已知函数y1＝x，y2＝－2x2－m，若对∀x1∈{x|－1≤x≤3}，∃x2∈{x|0≤x≤2}，使得y1≥y2，求实数m的取值范围．

2．2　全称量词与存在量词

第1课时　全称量词命题与存在量词命题

必备知识基础练

1．解析：①②是全称量词命题，③是存在量词命题．

答案：C

2．解析：(1)由于∀x∈R，都有x2≥0.因而有x2＋2≥2＞0.即x2＋2＞0，所以命题“∀x∈R，x2＋2＞0”是真命题．

(2)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题．

(3)由于0∈R，当x＝0时，x2＋1≥2不成立，所以“∀x∈R，x2＋1≥2”是假命题．

3．解析：命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也能被3整除”，是全称量词命题；命题④是全称量词命题，故有1个存在量词命题．

答案：B

4．解析：(1)由于空集中不含有任何元素．因此“有的集合中不含有任何元素”为真命题．

(2)由于所有菱形的对角线都互相垂直．所以不存在对角线不垂直的菱形．因此存在量词命题“存在对角线不互相垂直的菱形”为假命题．

(3)∀x∈R，有3x2＋2>0，因此存在量词命题“∃x∈R,3x2＋2>0”是真命题．

(4)由于存在整数3只有正因数1和3.所以存在量词命题“有些整数只有两个正因数”为真命题．

5．解析：由“∀x∈R，mx2≥0”成立，得m≥0.

答案：[0，＋∞)

6．解析：若p为真命题，则a≤2x对于≤x≤2恒成立，所以a≤1.

若q为真命题，则关于x的方程x2＋2ax＋2＝0有实数根，所以Δ＝4a2－8≥0，即a≥或a≤－.

综上，实数a的取值范围为{a|a≤－}．

关键能力综合练

1．解析：D选项中的命题是存在量词命题，故选D.

答案：D

2．解析：A中含有全称量词“任意的”，故是全称量词命题．由于a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故A是假命题．B，D中在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的两条对角线不一定相等，所以B是假命题．C是存在量词命题．故选D.

答案：D

3．解析：A，C为全称量词命题．B是存在量词命题，当x＝0时，x2＝0，此命题正确．D显然是假命题．故选B.

答案：B

4．解析：①中表述的为所有无理数都是实数，正确；②空集是任何一个非空集合的真子集，正确；③1＋1＝2，故1＋1＜2为假命题；④当x为整数时，x2－x＋1即为整数，正确．故选C.

答案：C

5．解析：当x＝1时，x2－3x＋2＝0，故①为假命题；因为x＝±时，x2＝2，而±为无理数，故②为假命题；因为x2＋1＞0(x∈R)恒成立，故③为假命题；原不等式可化为x2－2x＋1＞0，即(x－1)2＞0，当x＝1时，(x－1)2＝0，故④为假命题．故选D.

答案：D

6．解析：假设命题p为真，则∃x∈R，x2＋x＋a＝0，即关于x的一元二次方程x2＋x＋a＝0有解，所以Δ＝12－4a≥0.解得a≤.因为命题p是假命题，所以a>.故选A.

答案：A

7．解析：命题可分两部分，条件“有些负数”写为“∃x<0”，结论“不等式(1＋x)(1－9x2)>0”写为“(1＋x)(1－9x2)>0”．

答案：∃x＜0，(1＋x)(1－9x2)＞0

8．解析：①是全称量词命题，是真命题；②是全称量词命题，是真命题；③含存在量词“有的”，是存在量词命题，是真命题；④是存在量词命题，是真命题；⑤是存在量词命题，是假命题，因为任意三角形内角和为180°.

答案：①②　③④

9．解析：由题意可得Δ＝12－4×2×a<0，解得a>.

答案：

10．解析：不等式m－(x2－2x＋5)>0可化为m>x2－2x＋5.

令t＝x2－2x＋5，若存在一个实数x使不等式m>x2－2x＋5成立，只需m>tmin.

又t＝(x－1)2＋4，∴tmin＝4，∴m>4.

所以所求实数m的取值范围是{m|m>4}．

学科素养升级练

1．解析：当该命题是真命题时，只需a≥(x2)max，x∈A＝{x|1≤x≤2}．又y＝x2在1≤x≤2上的最大值是4，所以a≥4.因为a≥4D⇒a≥5，a≥5⇒a≥4，故C正确，同理D正确．故选CD.

答案：CD

2．解析：依题意，得

即∴a<－1.

答案：{a|a<－1}

3．解析：因为x1∈{x|－1≤x≤3}，x2∈{x|0≤x≤2}，

所以y1∈{y|0≤y≤9}，y2∈{y|－4－m≤y≤－m}，

又因为对∀x1∈{x|－1≤x≤3}，∃x2∈{x|0≤x≤2}，使得y1≥y2，

即y1的最小值大于等于y2的最小值，

即－4－m≤0，

所以m≥－4.