必修 第一册3.2 基本不等式教学设计

《基本不等式（2）》教学设计

1．熟练掌握基本不等式及变形的应用．

2．会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题．

3．能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．

重点：会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题．

难点：能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．

一、新课导入

情境1：在一次创意比赛中，有一件作品里，需要把一些长为16cm的铁丝弯成不同矩形去点缀，请同学们设计一些样式方案 ．

思考：从这些方案给出的数据来看，我们可以得到哪些规律？

答：矩形的周长是定值；矩形的面积在变化；矩形两边越接近，面积越大．

设矩形长?cm宽?cm，依照题意2?+2?=16，?+?=8.根据基本不等式，，得， 当且仅当?=?=4，等号成立．边长为4cm的正方形的面积最大．

情境2：在另一件作品里，需要一些面积都为16的不同矩形去点缀，请同学们设计一些样式方案 ．

思考：从这些方案给出的数据来看，我们又可以得到哪些规律？

答：矩形的面积是定值；矩形的周长在变化；矩形两边越接近，周长越小．

设矩形长?cm宽?cm，依照题意??=16.根据基本不等式，，得， 当且仅当?=?=4，等号成立．边长为4cm的正方形的周长最小．

注意：

矩形周长16cm，即两边之和的2倍16 cm，面积最大为;矩形面积，即两边之积16，周长最小16cm.

两个正数的和为定值，它们的积有最大值;

两个正数的积为定值，它们的和有最小值．

二、新知探究

问题1：两个正数的和为定值，它们的积有最大值;两个正数的积为定值，它们的和有最小值．这是一种定性描述.我们能否通过基本不等式，得到确定的结论呢?

分析：先得把定性描述，转化成数学语言的表达．即设为定值），求; ②（为定值），求最小．

答：

结论

已知均为正数时，下面的命题均成立：

（1）若（和为定值），则当且仅当时，取得最大值．

（2）若（积为定值），则当且仅当时，取得最小值．

注意：这个结论给出了利用基本不等式解决问题的两个数学模型．

两个正数的和为定值，当这两个数取什么值时，它们的积有最大值．

两个正数的积为定值，当这两个数取什么值时，它们的和有最小值．

对这两个模型，在利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”.

问题2：已知函数?=?该函数有最大值还是最小值？能否通过基本不等式求它的最值？

答：，得，而?+.根据基本不等式，

当且仅当，即时，等号可取.故最大值为.

在解的过程中，先保证了都是正数，再保证?+，即和是定值，再保证了等号成立时可以满足.从而确定有最大值.

问题3：基本不等式在和运算与积运算之间建立了桥梁．前面的学习，我们得到了利用基本不等式求最值的两个重要数学模型．大家能不能想出其它能利用基本不等式求最值的模型呢？

分析：基本不等式在和运算与积运算之间建立了桥梁,那么如果我们知道两个数的“和”与其“积”的关系式，就能利用基本不等式建立有关“和”或“积”不等式.比如：

设为定值求

答：

结论

已知均为正数时，下面的命题均成立：

（1）为定值,则当且仅当时，取得最小值．

（2）为定值,则当且仅当时，取得最小值．

事实上，当两正数 ，它们的和它们的积之间有一个恒等关系，就可以结合基本不等式，将这个恒等式变成不等式．从而得到有关和或积的不等式．解不等式得出和或积的范围，根据基本不等式使用条件得到取得最值的条件，从而求出和或积的最值．

三、应用举例

例1动物园要围成4间相同面积的长方形禽舍，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成． （接头处不计）

（1）现有可围长钢筋网的材料，当每间禽舍的长、宽各设计为多长时，可使每间禽舍面积最大？

（2）若使每间禽舍面积为，则每间禽舍的长、宽各设计为多长时，可使围成四间禽舍的钢筋网总长最小？

解：（1）设每间禽舍的长为，宽为，则，即．

设，应用基本不等式，有，即

．所以．当且仅当时，不等式中的等号成立，此时解得因此当每间禽舍的长、宽各设计为和时，可使每间禽舍面积为．

（2）设周长，应用基本不等式，有，即

.所以.当且仅当时，等号成立，此时解得因此当每间禽舍的长、宽各设计为和时，可使围成四间禽舍的钢筋网总长最小为48．

例2 若， ， ，求

（1）的最小值；（2） 的最小值

解：均为正数，等式 给出了的线性和与其积之间的恒等关系，在运用基本不等式时，需要注意形式结构的变化．

2

当且仅当，等号成立，此时，的最小值为2．

当且仅当，等号成立，此时的最小值为2．

例3 已知正数，满足，求的最小值．

解：均为正数， 是和形式，是倒数和形式，不能直接运用基本不等式．多变量或参数时，常见的想法是减元或消参．

因为，

令，则，

而，

当且仅当，等号成立．此时，从而.

的最小值为．

另解：可将分子中的1用代替，灵活应用“1”的代换．

因为为正数，且．

所以，

当且仅当，即当，时等号成立．

所以的最小值为．

四、课堂练习

1．当，当的值最小时，求的值．

2． 某公司租地建仓库，每月土地占用费与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用和分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站多少千米处．

参考答案：

1. 10

解析：因为，所以，

当且仅当，即时等号成立．

2. 5

解析：设仓库到由题意，，由得， ，当且仅当时取等号，所以仓库应建在离车站5千米处．

五、课堂小结

本节课，利用情境1和情境2，得到两个定性描述：

    两个正数的和为定值，它们的积有最大值;

    两个正数的积为定值，它们的和有最小值．

从而抽象概括出了，利用基本不等式求最值的两种重要模型：

（1）若（和为定值），则当且仅当时，取得最大值．

（2）若（积为定值），则当且仅当时，取得最小值．

再结合两个正数的和与积之间的等式关系，得到新的最值模型：

（1）为定值,则当且仅当时，取得最小值．

（2）为定值,则当且仅当时，取得最小值．

六、布置作业

教材第30页练习1、2、3、4题．