北师大版 (2019)必修 第一册2.2 全称量词与存在量词学案及答案

第一章　集合与常用逻辑用语

1.5全称量词与存在量词

1.5.1全称量词与存在量词

1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定

1.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词；

2.了解含有量词的全称量词命题和存在量词命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性；

3.会写全称量词命题和存在量词命题的否定；

4. 使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括、转化的能力．

1.教学重点：判断全称量词命题和存在量词命题的真假，全称量词命题和存在量词命题的否定；

2.教学难点：判断全称量词命题和存在量词命题的真假。

一、全称量词命题、存在量词命题的基本概念

1．全称量词、全称量词命题的概念

（1）全称量词及表示:

定义：短语“       ”、          、        、         、          在逻辑中通常叫全称量词。

表示：用符号        表示。

（2）全称量词命题及表示:

定义：含有         的命题，叫全称量词命题。

表示：全称命题“对M中任意一个x，有含变量x的语句p(x）成立”表示为:                。

读作:“对任意x属于Ｍ，有p(x)成立”。

2.存在量词、存在量词命题的定义

（1）存在量词及表示:

定义：短语         、            、          、         、        在逻辑中通常叫做存在量词。表示：用符号      表示。

（2）存在量词命题及表示：

定义：含有         的命题,叫做存在量词命题.

表示：存在量词命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”可用符号简记为              .

读作:“存在一个x属于M,使p(x)成立”.

3、命题的否定

  全称量词命题的否定是              命题，存在量词命题的否定是              命题。

探究一、全称量词命题的含义

1.思考:下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?

(1)x>3

(2)2x+1是整数

(3)对所有的xR,x>3

(4)对任意一个xZ,2x+1是整数

2、归纳新知

（1）全称量词及表示:

定义：短语“       ”、          、        、         、          在逻辑中通常叫全称量词。

表示：用符号        表示。

（2）全称量词命题及表示:

定义：含有         的命题，叫全称量词命题。

表示：全称命题“对M中任意一个x，有含变量x的语句p(x）成立”表示为:                。

读作:“对任意x属于Ｍ，有p(x)成立”。

练习：用量词“ ”表达下列命题:

(1)实数都能写成小数形式;

(2)凸多边形的外角和等于2； 

（3）任一个实数乘以-1都等于它的相反数。

例1.判断下列全称量词命题的真假

(1) 所有的素数都是奇数;

(2) , |x|+1≥1

(3) 对每一个无理数x,x2也是无理数

4、思考：如何判断全称量词命题的真假？

探究二  存在量词命题的含义

1.思考：下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?

(1)2x+1=3

(2)x能被2和3整除;

(3)存在一个x∈R,使2x+1=3;

(4)至少有一个x∈Z,x能被2和3整除.

2.存在量词、存在量词命题的定义

（1）存在量词及表示:

定义：短语         、            、          、         、        在逻辑中通常叫做存在量词。表示：用符号      表示。

（2）存在量词命题及表示：

定义：含有         的命题,叫做存在量词命题.

表示：存在量词命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”可用符号简记为              .

读作:“存在一个x属于M,使p(x)成立”.

3.练习：下列命题是不是存在量词命题？

        （1）有的平行四边形是菱形;     

         （2）有一个素数不是奇数   

4.练习： 设q(x):x2=x,使用不同的表达方法写出存在量词命题“∃x∈R,q(x)”

例2 下列语句是不是全称量词命题或存在量词命题。

(1) 有一个实数a，a不能取倒数；

(2) 所有不等式的解集A,都是A⊆R；

(3) 有的四边形不是平行四边形。

例3  判断下列存在量词命题的真假

(1)有一个实数x,使x2+2x+3=0;

(2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线;

(3)有些平行四边形是菱形.

5.思考：如何判断存在量词命题的真假

探究三   全称量词命题和存在量词命题的否定

1.定义：一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定。

牛刀小试：说出下列命题的否定。

（1） 56是7的倍数；

（2） 空集是集合A={1,2,3}的真子集；

2.思考：

（2）每一个素数都是奇数；

。

（2）p:每一个四边形的四个顶点在同一个圆上

3.思考：

（2）某些平行四边形是菱形；

。

（3）有一个偶数是素数.

例6   写出下列命题的否定，并判断真假；

  （1）任意两个等边三角形都相似； 

1．下列说法中，正确的个数是(　　)

①存在一个实数x0，使－2x＋x0－4＝0；

②所有的素数都是奇数；

③至少存在一个正整数，能被5和7整除．

A．0　　　　　　　　　　 B．1

C．2 D．3

2．设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则命题p的否定为(　　)

A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n

C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n

3．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出这些命题的否定．

(1)有一个奇数不能被3整除；

(2)∀x∈Z，x2与3的和不等于0；

(3)有些三角形的三个内角都为60°；

(4)每个三角形至少有两个锐角；

(5)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．

这节课你的收获是什么？

参考答案：

探究一  1.（1）不是   (2)不是   (3) 是  （4）是

关系：(3)在(1)的基础上,用量词“所有的”对变量 x进行限定;  (4)在(2)的基础上,用短语”对任意一个”对 变量x进行限定.

3.练习 （1）x能写成小数形式;

（2）x {x|x是凸n边形},x的外角和等于;

(3)x·(-1)= -x.

例1 （1）∵2是素数,但不是奇数,∴全称命题(1)是假命题;

(2)∵,|x|≥0,从而|x|+1≥1,∴全称命题(2)是真命题;

（3）∵是无理数,但是有理数，,∴全称命题(3)是假命题;

4.若判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证P(x)成立;若判定一个全称量词命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x=x0 ,使得P(x)不成立即可。

探究二 1.  (1)不是  （2）不是  （3）是  （4）是

关系：(3)在(1)的基础上,用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定,使(3)变成了可以判断真假的语句;(4)在(2)的基础上,用“至少有一个”对变量x的取值进行限定,从而使(4)变成了可以判断真假的语句.

 3.都是存在量词命题。

4.存在实数x,使x2=x成立；

   至少有一个x∈R,使x2=x成立；

对有些实数x,使x2=x成立；

有一个x∈R,使x2=x成立；

对某个x∈R,使x2=x成立。

例2 （1）存在量词命题  （2）全称量词命题  （3）存在量词命题

例3 (1)由于 ，                ,

因此使x2+2x+3=0的实数x不存在.所以,存在量词命题(1)是假命题.

(2)由于平面内垂直于同一条直线的两条直线是互相平行的,因此不存在两个相交的直线垂直于同一条直线.所以,存在量词命题(2)是假命题。

（3）由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题。

5.要判断存在量词命题“∃x∈M,p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可.如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么这个存在量词命题是假命题.

探究三  牛刀小试  （1）否定： 56不是7的倍数；（2）否定： 空集不是集合A={1,2,3}的真子集。

2.

(2)存在一个素数表示奇数；

。

从形式看，全称量词命题的否定是存在量词命题

例4.（1）否定： 存在一个能被3整除的整数不是奇数.

（2）否定：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上；

（3）否定：的个位数字等于3.

3.否定:

（1）所有实数的绝对值都不是正数;

（2）每一个平行四边形都不是菱形;

（3）

 从命题形式看,这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题.

例 5

（2） 该命题的否定：所有三角形都不是等边三角形

（3） 该命题的否定：任意一个偶数都不是素数

例6  （1） 该命题的否定：存在两个对边三角形，它们不相似。

因为任意两个等边三角形的三边成比例，所以任意两个等边三角形都

 相似。因此这是一个假命题。

（2）该命题的否定：

.

所以这是一个假命题。

达标检测

1.【解析】　①方程－2x2＋x－4＝0无实根；②2是素数，但不是奇数；③正确．故选B.

【答案】　B

2.【解析】　因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，¬p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”．故选C.

【答案】　C

3.(1)是存在量词命题，否定为：每一个奇数都能被3整除．

(2)是全称量词命题，否定为：∃x0∈Z，x与3的和等于0.

(3)是存在量词命题，否定为：任意一个三角形的三个内角不都为60°.

(4)是全称量词命题，否定为：存在一个三角形至多有一个锐角．

(5)是全称量词命题，省略了全称量词“任意”，即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”，否定为：存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线．