高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.2 全称量词与存在量词导学案

2.2　全称量词与存在量词

1．全称量词、全称量词命题的定义是什么？

2．存在量词、存在量词命题的定义是什么？

3．全称量词命题与存在量词命题的否定分别是什么命题？

4．全称量词命题“∀x∈M，x具有性质p(x)”的否定是什么？

5．存在量词命题“∃x∈M，x具有性质p(x)”的否定是什么？

知识点1　全称量词命题与全称量词

1．全称量词命题

在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题．

2．全称量词

在命题中，诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“∀”表示，读作“对任意的”．

“相似三角形是全等三角形”是否是全称量词命题？

[提示]　　该命题是全称量词命题，只不过省略了全称量词．

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)命题“任意一个自然数都是正整数”是全称量词命题．(　　)

(2)命题“三角形的内角和是180°”是全称量词命题．(　　)

(3)命题“梯形有两边平行”不是全称量词命题．(　　)

[答案]　(1)√　(2)√　(3)×

2.下列命题是全称量词命题的是________(填序号)．

①每个四边形的内角和都是360°；

②任何实数都有算术平方根；

③∀x∈Z，有2x＋1是整数；

④存在一个x∈R，使2x＋1＝3.

[答案]　①②③

知识点2　存在量词命题与存在量词

1．存在量词命题

在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题．

2．存在量词

在命题中，诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词，用符号“∃”表示，读作“存在”．

“不等式x2－1<0有解”是全称量词命题还是存在量词命题？用符号表示该命题．

[提示]　是存在量词命题，可表示为“∃x∈R，x2－1<0”．

3.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)命题“有些菱形是正方形”是全称命题．(　　)

(2)命题“存在一个菱形，它的四条边不相等”是存在量词命题．(　　)

(3)命题“有的实数绝对值是正数”是存在量词命题．(　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)√

4.下列语句是存在量词命题的是________(填序号)．

①任意三条线段都能构成三角形；

②存在整数n，使n能被11整除；

③若3x－7＝0，则x＝；

④有些函数为奇函数．

[答案]　②④

知识点3　全称量词命题与存在量词命题的否定

1．全称量词命题的否定

(1)全称量词命题的否定是存在量词命题．

(2)全称量词命题p：∀x∈M，x具有性质p(x)的否定为：∃x∈M，x不具有性质p(x)．

2．存在量词命题的否定

(1)存在量词命题的否定是全称量词命题．

(2)存在量词命题p：∃x∈M，x具有性质p(x)的否定为：∀x∈M，x不具有性质p(x)．

　如何对省略量词的命题进行否定？

[提示]　对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称量词命题或存在量词命题．一般地，省略了量词的命题是全称量词命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是存在量词命题．反之，亦然．

5.命题“对于任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是________．

[答案]　∃x∈R，x3－x2＋1>0

6.若命题p：∃x>0，x2－3x＋2>0，则命题p的否定为________．

[答案]　∀x>0，x2－3x＋2≤0

类型1　全称量词命题与存在量词命题的判断

【例1】　判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题：

(1)凸多边形的外角和等于360°；

(2)矩形的对角线不相等；

(3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；

(4)有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|；

(5)方程3x－2y＝10有整数解．

[解]　(1)可以表述为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称量词命题．

(2)可以表述为“所有矩形的对角线不相等”，故为全称量词命题．

(3)“若一个四边形是菱形”，也就是“所有的菱形”，故为全称量词命题．

(4)含存在量词“有些”，故为存在量词命题．

(5)可改表述为“存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立”．故为存在量词命题．

1．判断一个命题是全称量词命题，还是存在量词命题，主要看命题中是否含有全称量词，或者存在量词，有些全称量词命题虽然不含全称量词，但是可以根据命题的意义去判断．

2．存在量词命题真假的判断

要判断存在量词命题“存在x∈M，p”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使得p成立即可；如果在集合M中，使得p成立的x不存在，那么这个存在量词命题就是假命题．

注意：全称量词命题可能省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．

1．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假．

(1)任意一个二次函数的图象都与y轴相交；

(2)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被3整除；

(3)所有的素数都是奇数；

(4)三角形都有外接圆．

[解]　 (1)是全称量词命题，真命题．

(2)是存在量词命题，真命题．

(3)是全称量词命题，假命题．

(4)是全称量词命题，真命题．

类型2　全称量词命题、存在量词命题的真假判断

【例2】　判断下列命题的真假：

(1)∃x∈Z，x3<1；

(2)存在一个四边形不是平行四边形；

(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；

(4)∀x∈N，x2>0.

[解]　(1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，所以“∃x∈Z，x3<1”是真命题．

(2)真命题，如梯形．

(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．

(4)因为0∈N,02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题．

全称量词命题与存在量词命题的真假判断的技巧

(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可．

(2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p(x)成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题．

2．下列是存在量词命题且是真命题的是(　　)

A．∀x∈R，x2>0 B．∃x∈Z，x2>2

C．∀x∈N，x2∈N D．∃x，y∈R，x2＋y2<0

B　[对于A，∀x∈R，x2>0是全称量词命题，不合题意；

对于B，∃x∈Z，x2>2是存在量词命题，且是真命题，满足题意；

对于C，∀x∈N，x2∈N是全称量词命题，不合题意；

对于D，∃x，y∈R，x2＋y2<0是存在量词命题，是假命题，不合题意，故选B.]

3．(多选)下列结论中正确的是(　　)

A．∀n∈N*,2n2＋5n＋2能被2整除是真命题

B．∀n∈N*,2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题

C．∃n∈N*,2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题

D．∃n∈N*,2n2＋5n＋2能被2整除是真命题

CD　[当n＝1时，2n2＋5n＋2不能被2整除，

当n＝2时，2n2＋5n＋2能被2整除，

所以A、B错误，C、D正确．故选CD.]

类型3　含有一个量词的命题的否定

【例3】　(1)命题“∀x≥0，x3＋x≥0”的否定是(　　)

A．∃x<0，x3 ＋ x< 0 B．∃x<0，x3＋ x≥0

C．∃x≥0，x3＋ x< 0 D．∀x≥0，x3＋ x< 0

(2)命题“存在x∈Z，x2＋2x＋m≤0”的否定是(　　)

A．存在x∈Z，x2＋2x＋m>0

B．不存在x∈Z，x2＋2x＋m>0

C．对任意x∈Z，x2＋2x＋m≤0

D．对任意x∈Z，x2＋2x＋m>0

[答案]　(1)C　(2)D

含有一个量词的命题的否定

(1)首先找到命题中的量词与结论，然后把全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．

(2)对于省略量词的命题，通常省略的是全称量词，先补上相应的量词，再进行否定．

4．写出下列命题的否定并判断其真假：

(1)若x>0，则x2>0；

(2)矩形的对角线相等；

(3)若集合A是集合B的真子集，则存在x∈B，使得x∉A；

(4)至少有一个实数x，使x2＋ 1 ＝ 0.

[解]　(1)存在x>0，使得x2≤0 ，为假命题．

(2)存在一个矩形，它的对角线不相等，为假命题．

(3)若集合A是集合B的真子集，则对任意x∈B，都有x∈A，为假命题．

(4)对任意x∈R，都有x2＋1≠0，为真命题.

1．下列命题正确的个数是(　　)

①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；

②命题“∀x∈R，x2＋2<0”是全称量词命题；

③命题“∃x∈R，x2＋4x＋4≤0”的否定形式是“∀x∈R，x2＋4x＋4>0”．

A．0 B．1

C．2 D．3

C　[①命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误；

②命题“∀x∈R，x2＋2<0”是全称量词命题，故②正确；

③命题“∃x∈R，x2＋4x＋4≤0”的否定形式是“∀x∈R，x2＋4x＋4>0”，故③正确．故选C.]

2．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　)

A．锐角三角形的内角是锐角或钝角

B．至少有一个实数x，使x2≤0

C．两个无理数的和必是无理数

D．存在一个负数x，使>2

B　[A是全称量词命题．

B项为存在量词命题，当x＝0时，x2＝0成立，所以B正确．

因为＋(－)＝0，所以C为假命题．

对于任何一个负数x，都有<0，所以D错误．故选B.]

3．命题“∀x∈N，x3>x2”的否定形式为(　　)

A．∀x∈N，x3≤x2 B．∃x∈N，x3>x2

C．∃x∈N，x3<x2 D．∃x∈N，x3≤x2

D　[命题“∀x∈N，x3>x2”的否定形式是存在量词命题“∃x∈N，x3≤x2”．故选D.]

4．给出四个命题：①偶数都能被2整除；②实数的绝对值大于0；③存在一个实数x，使x＋≤－2；④对顶角相等，其中既是全称量词命题又是假命题的是________．

[答案]　②

5．下列命题中，是全称量词命题的是________；是存在量词命题的是________．(填序号)

①正方形的四条边相等；

②有两个角相等的三角形是等腰三角形；

③正数的平方根不等于0；

④至少有一个正整数是偶数．

①②③　④　[①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称量词命题；②是全称量词命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”是全称量词命题；④是存在量词命题．]