北师大版 (2019)必修 第一册2.2 全称量词与存在量词第2课时课后练习题

第2课时　全称量词命题与存在量词命题的否定

1.写出下列全称量词命题的否定：

(1)每一个四边形的四个顶点共圆；

(2)所有自然数的平方都是正数；

(3)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；

(4)对任意实数x，x2＋1≥0.

2．写出下列全称量词命题的否定，并判断其真假．

(1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；

(2)每个三角形至少有两个锐角；

(3)∀x∈R，|x|≥x；

(4)∀x∈R＋，为正数．

3.写出下列存在量词命题p的否定：

(1)p：∃x>1，x2－2x－3＝0；

(2)p：有些自然数是奇数；

(3)p：有些平行四边形不是矩形．

4．写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假．

(1)有的素数是偶数；

(2)∃x∈R，使x2＋x＋<0；

(3)至少有一个实数x，使x3＋1＝0.

5.已知命题“∃x≥3，使得2x－1<m”是假命题，则实数m的取值范围是________．

6．已知命题“∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0”为假命题，求实数a的取值范围．

1．命题“∃x∈R，x2－2x－3≤0”的否定是(　　)

A．∀x∈R，x2－2x－3≤0

B．∃x∈R，x2－2x－3≥0

C．∃x0∈R，x2－2x－3>0

D．∀x∈R，x2－2x－3>0

2．全称量词命题“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是(　　)

A．所有能被5整除的整数都不是奇数

B．所有奇数都不能被5整除

C．存在一个能被5整除的整数不是奇数

D．存在一个奇数，不能被5整除

3．命题“∃x∈∁RQ，x3∈Q”的否定是(　　)

A．∃x∉∁RQ，x3∈Q  B．∃x∈∁RQ，x3∉Q

C．∀x∉∁RQ，x3∈Q  D．∀x∈∁RQ，x3∉Q

4．已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是(　　)

A．命题綈p是真命题

B．命题p是存在量词命题

C．命题p是全称量词命题

D．命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题

5．给出下列命题：

①∀x∈R，－x2<0；②∃x∈Q，x2＝5；③∃x∈R，x2－x－1＝0；④若p：∀x∈N，x2≥1，则綈p：∃x∈N，x2<1.其中是真命题的是(　　)

A．①③  B．②④

C．②③  D．③④

6．(易错题)对下列命题的否定说法错误的是(　　)

A．p：能被2整除的数是偶数；綈p：存在一个能被2整除的数不是偶数

B．p：有些矩形是正方形；綈p：所有的矩形都不是正方形

C．p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形

D．p：∃n∈N,2n≤100；綈p：∀n∈N,2n>100.

7．命题∀x∈R，x2－x＋3>0的否定是________________________________________________________________________，

命题∃x∈R，x2＋1<0的否定是________________________________________________________________________．

8．已知命题p：∃x>0，x＋a－1＝0.若p为假命题，则a的取值范围是________．

9．(探究题)已知p(x)：x2＋2x－m＞0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是________．

10．写出下列命题的否定，并判断它们的真假：

(1)关于x的方程ax＝b都有实数根；

(2)有些正整数没有1和它本身以外的约数；

(3)对任意实数x1，x2，若x1<x2，则x＋1<x＋1；

(4)∃x>1，使x2－2x－3＝0.

1．(多选题)已知命题“∃x∈R，使4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围可以是(　　)

A．a<1       B．0≤a≤4

C．1≤a≤3   D．0<a<4

2．给出下列命题：

①∀x∈R，x2>0；

②∃x∈R，x2＋x＋1≤0；

③∀x<3，函数y＝有意义；

④∃a∈∁RQ，b∈∁RQ，使得a＋b∈Q.

其中是真命题的个数为________．

3．(情境命题—学术情境)已知命题p：∀x∈R，x2－2x＋a≥0，命题q：∃x∈R，x2＋x＋2a－1＝0，若p为真命题，q为假命题，求实数a的取值范围．

第2课时　全称量词命题与存在量词命题的否定

必备知识基础练

1．解析：(1)綈p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．

(2)綈p：有些自然数的平方不是正数．

(3)綈p：存在实数x不是方程5x－12＝0的根．

(4)綈p：存在实数x，使得x2＋1＜0.

2．解析：(1)这一命题可以表述为“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根”，其否定形式是“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根．”因为当Δ＝12－4×1×(－m)＝1＋4m<0，即m<－时，一元二次方程x2＋x－m＝0没有实数根，所以原命题的否定是真命题．

(2)这一命题的否定形式是“有的三角形至多有一个锐角”，由三角形的内角和为180°知原命题的否定为假命题．

(3)原命题的否定为“∃x∈R，使|x|<x”，这个命题是假命题．

(4)原命题的否定为“∃x∈R＋，使≤0”，这个命题是假命题．

3．解析：(1)綈p：∀x＞1，x2－2x－3≠0.

(2)綈p：所有的自然数都不是奇数．

(3)綈p：所有的平行四边形都是矩形．

4．解析：(1)题中命题的否定为“所有的素数不是偶数”．这个命题是假命题，如2是素数也是偶数．

(2)题中命题的否定为“∀x∈R，x2＋x＋≥0”．这个命题是真命题，因为当x∈R时，x2＋x＋＝2≥0.

(3)题中命题的否定为“∀x∈R，x3＋1≠0”．这个命题是假命题，因为x＝－1时，x3＋1＝0.

5．解析：因为命题“∃x≥3，使得2x－1<m”是假命题，所以“∀x≥3,2x－1≥m”是真命题，故m≤5.

答案：(－∞，5]

6．解析：该命题为全称量词命题，因为其是假命题，所以其否定“∃x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”为真命题，即关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有实数根．

所以a＝0，或即a＝0，或a≤1且a≠0，所以a≤1.

所以实数a的取值范围是{a|a≤1}．

关键能力综合练

1．解析：存在量词命题的否定是全称量词命题，一方面要改量词即“∃”改为“∀”；另一方面要否定结论，即“≤”改为“>”．故选D.

答案：D

2．解析：全称量词命题的否定是存在量词命题，而选项A，B是全称量词命题，所以选项A，B错误．因为“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被5整除的整数不是奇数”，所以选项D错误，选项C正确，故选C.

答案：C

3．解析：存在量词命题的否定是全称量词命题．因此选D.

答案：D

4．解析：命题p：实数的平方是非负数，是真命题，故綈p是假命题，命题p是全称量词命题，故选C.

答案：C

5．解析：当x＝0时，－x2＝0，所以①是假命题；x2＝5，x＝±，±是无理数，所以②是假命题；当x＝时，x2－x－1＝0，所以③是真命题；全称量词命题的否定是存在量词命题，所以④是真命题．

答案：D

6．解析：C中綈p：所有的三角形都不是正三角形，故C错误．

答案：C

7．答案：∃x∈R，x2－x＋3≤0　∀x∈R，x2＋1≥0

8．解析：∵p为假命题，∴綈p为真命题，即∀x>0，x＋a－1≠0，所以x≠1－a，∴1－a≤0，即a≥1.故a的取值范围是{a|a≥1}．

答案：{a|a≥1}

9．解析：∵p(1)是假命题，p(2)是真命题．

∴解得3≤m＜8.

答案：[3,8)

10．解析：(1)这个命题的否定为“有些关于x的方程ax＝b无实数根”，如0x＝1，所以这个命题为假命题，这个命题的否定为真命题．

(2)这个命题的否定为“任意正整数都有1和它本身以外的约数”，如2只有1和它本身这两个约数，所以这个命题为真命题，这个命题是否定为假命题．

(3)这个命题的否定为“存在实数x1，x2，若x1<x2，则x＋1≥x＋1”．这个命题中若x1＝－1，x2＝1，有x＋1＝x＋1，故这个命题为假命题，这个命题的否定为真命题．

(4)这个命题的否定为“∀x>1，x2－2x－3≠0”，因为当x＝3时，x2－2x－3＝0，所以这个命题是真命题，这个命题的否定为假命题．

学科素养升级练

1．解析：∵命题“∃x∈R，使4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，∴命题“∀x∈R，使4x2＋(a－2)x＋>0”是真命题，即判别式Δ＝(a－2)2－4×4×<0，即Δ＝(a－2)2<4，则－2<a－2<2，即0<a<4，故CD均符合．

答案：CD

2．解析：①当x＝0时，x2＝0，是假命题；②x2＋x＋1＝2＋≥0，是假命题；③x＝0时函数没有意义，是假命题；④当a＝2－，b＝3＋时，a＋b＝5，是真命题．

答案：1

3．解析：因为x2－2x＋a＝(x－1)2＋a－1，若p是真命题，则a－1≥0，即a≥1.

若q为假命题，则Δ＝1－4×(2a－1)＝5－8a<0，

即a>，故a≥1.

所以实数a的取值范围是[1，＋∞)．