初中数学北师大版九年级上册1 反比例函数教案

教学

环节

教师活动

学生活动

设计意图

环节一

创设情景

【复习回顾】

 教师活动：先提出问题，学生思考后回答问.

问题1：什么是函数？

    预设答案：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y,对于x的每一个给定的值，y都有唯一的一个值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量，y是x的函数.

问题2：什么是一次函数？什么是正比例函数？

预设答案：若两个变量x，y的关系可以表示成y=kx+b (k，b是常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数(x为自变量，y为因变量).

特别地，当常数b＝0时,一次函数y=kx+b(k≠0)就成为：y=kx(k是常数，k≠0)，称y是x的正比例函数.

思考： 下列函数是一次函数吗？若不是，说一说是什么函数？

(1) y=5x+3       (2)y =-8x

(3)       (4)

预设答案：（1）是一次函数；（2）是一次函数也是正比例函数；（3）是一次函数也是正比例函数；(4)不是，也不是我们所学的函数.

提问：它不是我们已学的函数，那它是什么函数呢？

思考回答

自行判断后说一说理由

通过复习回顾及相应的练习，引出新的问题，为本节课要学习的内容作准备.

环节二

探究新知

【合作探究】

我们知道，导体中的电流I ，与导体的电阻R，导体两端的电压U 之间满足关系式U=IR．当U=220V时，

(1)你能用含有R的代数式表示I吗?

预设答案：变量I与R之间的关系可以表示成

(2)利用写出的关系式完成下表:

当R越来越大时，I怎样变化?当R越来越小呢?

预设答案：

当R越来越大时，I越来越小，当R越来越小时，I越来越大.

   (3)变量I是R的函数吗?为什么?

预设答案：是，对于R每一个给定的值，I都有唯一的一个值与其对应.

【想一想】

你知道台灯亮度的调整是什么原理吗？

亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改编，可以通过调节总电阻来控制电流的变化实现的.

电压一定，电阻R越大，电流I越小，灯光越暗；反之，电阻R越小，电流I越大，灯光越亮.

京沪高速铁路全长约为1318 km，列车沿京沪高速公路从上海驶往北京，汽车行完全程所需的时间t(h)与行驶的平均速度v(km/h)之间有怎样的关系?变量t是v的函数吗?为什么?

预设答案：变量t与v之间的关系可以表示成：

变量t是v的函数，

对于v每一个给定的值，t都有唯一的一个值与其对应.

【想一想】

    你还能举出类似的实例吗？与同伴交流.

已知两个实数的乘积为-8，如果其中一个因数为p，另一个因数为q，则q与p之间的函数关系是什么？     

预设答案：变量q与p之间的关系可以表示成：

【议一议】

教师活动：引导学生找到三个函数的共同点，由此归纳得出反比例函数的概念，并给出几种常见的形式.

由上面三个问题，我们可以得到三个函数关系式：

思考：它们有什么共同特点？

预设答案：①显然都是函数；②等式右边都是分式；③等式右边的分子都是常数.

【归纳】

反比例函数的概念：

一般地，如果两个变量x，y之间的关系可以表示成：

的形式，那么称y是x的反比例函数.

【做一做】

1.一个矩形的面积是20cm2，相邻的两条边长为xcm和y cm，那么变量y是x的函数吗?是反比例函数吗?为什么?

解：由题意知：，即.

因此，变量y是x的反比例函数．

2.某村有耕地346.2公顷，人口数量n逐年发生变化，那么该村人均占有耕地面积m(公顷/人)是全村人口数n的函数吗?是反比例函数吗?为什么?

解：由题意知：，即.

因此，变量m是n的反比例函数．

3.y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值：

(1)写出这个反比例函数的表达式；

(2)根据函数表达式完成上表．

解：(1)∵y是x的反比例函数，不妨设，

把x=-1，y=2代入上式得：，

解得：k=-2.

∴反比例函数的表达式为．

(2)如下表：

【想一想】

(1)对于反比例函数，自变量x的取值范围是什么？

预设答案： 由于自变量x在分母上，所以反比例函数的自变量x不能为0.

(2)下列两个函数是反比例函数吗？

① xy=-2         ②y=x-1

预设答案：

①将xy=-2化为

是反比例函数，k=-2.

②将y=x-1化为

是反比例函数，k=1.

【归纳】

反比例函数的几种常见形式：

合作交流，认真分析，尝试判断两个变量间的关系，并写出关系式

组内交流讨论

思考并回答问题

尝试独立解决

积极思考、并回答问题.

通过对实际问题和数学问题的分析，得出三个函数关系式，培养学生合作探究意识.

通过对三个函数关系式共性的分析，抽象出反比例函数的概念.

明确反比例函数自变量的取值范围以及反比函数几种常见的形式.

趁热打铁，通过小练习帮助学生更好地认识、了解反比例函数.

探究反比例函数中自变量的取值，以及反比例函数的表示形式.

环节三

应用新知

【典型例题】

教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.

例 已知y是x的反比例函数，当x=-3时，y=4.

(1) 写出y与x之间的函数关系式；

(2) 求当x=6时y的值. 

分析：(1)①设出反比例函数的解析式

②根据条件确定解析式中未知的系数；

③将所求系数代入反比例函数解析式.

(2)将自变量x=6代入解析式即可求出y的值.

解：(1)设

∵当x=-3时，y=4，

∴ ，解得：k=-12.

∴y与x之间的函数关系式为.

 (2)当x=6代入得：

.

明确例题的做法.

让学生能利用待定系数法求解反比例函数的解析式，培养学生的应用意识.

环节四

巩固新知

【随堂练习】

教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.

1.在下列函数表达式中，x均为自变量，哪些是反比例函数?每一个反比例函数相应的k值是多少?

解：(1)是反比例函数，k=5；

(2)是反比例函数，k=0.4；

(3)不是反比例函数；

(4)是反比例函数,k=2.

2.已知y是关于x的反比例函数，当x=3时，y=6，

(1)写出y与x之间的函数关系式；

(2)当x为何值时，y=8?

解：(1)设 .

∵当x=3时，y=6，∴ ，解得：k=18.

∴y与x之间的函数关系式为.

(2)当y=8代入得，

，解得：.

当x为时，y=8.

3.电流I、电阻R、电功率P之间满足关系式P=I²R.已知P=5 W，填写下表并回答问题：

(1)变量R是变量I的函数吗？

(2)变量R是变量I的反比例函数吗？

 解：

（1）由函数的定义可知，对于I确定一个值，就有唯一的R值对应，所以变量R是变量I的函数.         

（2）变量R不是变量I的反比例函数，理由如下：        

将P=5代入可得 ，所以变量R是变量I²的反比例函数，不是变量I的反比例函数.       

自主完成练习，然后集体交流评价.

通过课堂练习1巩固新知，加深对反比例函数的识别.

通过课堂练习2巩固新知，加深利用待定系数法求解函数解析式.

练习3考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.

环节五

课堂小结

以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容.

回顾本节课所讲的内容.

通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.

环节六

布置作业

教科书第151页习题6.1第2、3题.

课后完成练习.

及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法适当调整.