北师大版九年级上册1 反比例函数学案

反比例函数

【学习目标】

1．理解反比例函数的概念，能判断两个变量之间的关系是否是函数关系，进而识别其中的反比例函数。

2．能根据实际问题中的条件确定反比例函数的关系式。

3．能判断一个给定函数是否为反比例函数。通过探索现实生活中数量间的反比例关系，体会和认识反比例函数是刻画现实世界中特定数量关系的一种数学模型；进一步理解常量与变量的辩证关系和反映在函数概念中的运动变化观点。

【学习重难点】

理解反比例函数的意义，确定反比例函数的解析式。

【学习过程】

一、完成自主学习。

1．一般地，形如y=__________（k为常数，k__________0）的函数，叫做反比例函数，其中x是自变量，y是__________，自变量x的取值范围是__________的一切实数。

2．由定义（k≠0）变形可得k=__________，因此只要将一个合适条件（如图象上一个点的坐标）代入便可求出k值。

3．下列函数：①，②，③，④，⑤，⑥中，其中y是x的反比例函数的有__________。（填序号）

4．已知函数，当x=－1时，y=－2，那么这个函数的解析式为（  ）。

A．   B．  C．  D．

情境1：

随着速度的变化，全程所用时间会发生怎样的变化？

当路程一定时，速度与时间成什么关系？

当一个长方形面积一定时，长与宽成什么关系？

情境2：

汽车从南京出发开往上海（全程约300km），全程所用时间t（h）随速度v（km/h）的变化而变化。

问题：

（1）你能用含有v的代数式表示t吗？

（2）利用（1）的关系式完成下表：

（3）速度v是时间t的函数吗？为什么？

情境3：

用函数关系式表示下列问题中两个变量之间的关系：

（1）一个面积为6400m2的长方形的长a（m）随宽b（m）的变化而变化；

（2）某银行为资助某社会福利厂，提供了20万元的无息贷款，该厂的平均年还款额y（万元）随还款年限x（年）的变化而变化；

（3）游泳池的容积为5000m3，向池内注水，注满水所需时间t（h）随注水速度v（m3/h）的变化而变化；

（4）实数m与n的积为－200，m随n的变化而变化。

问题：

（1）这些函数关系式与我们以前学习的一次函数。正比例函数关系式有什么不同？

（2）它们有一些什么特征？

（3）你能归纳出反比例函数的概念吗？

一般地，形如（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数。

反比例函数的自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。

二、合作探究。

例1：在函数中，y是x的反比例函数的有_______个。

例2：若y与x成反比例，且x=－3时，y=7，则y与x的函数关系式为__________。

三、当堂评价。

1．写出下列问题中两个变量之间的函数关系式，并判断其是否为反比例函数。如果是，指出比例系数是的值。

（1）底边为5cm的三角形的面积y（cm2）随底边上的高x（cm）的变化而变化。

（2）某村有耕地面积200公顷，人均占有耕地面积y（公顷）随人口数量x（人）的变化而变化。

（3）一个物体重120N，物体对地面的压强p（N/m2）随该物体与地面的接触面积S（m2）的变化而变化。

2．已知函数是反比例函数，则m的值为_______。

四、拓展提升。

某乡要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把1200m3的生活垃圾运走。

（1）假如每天能运xm3，所需时间为y天，写出y与x之间的函数关系式。

（2）若每辆拖拉机一天能运12m3，则5辆这样的拖拉机要多少天才能运完？

（3）在（2）的情况下，运了8天后，剩下的任务要在不超过6天的时间完成，那么至少需要增加多少辆这样的拖拉机才能按时完成任务？

五、课后检测。

（一）选择题。

1．下列函数关系中是反比例函数的是（  ）

A．正三角形面积S与边长a的关系

B．直角三角形两锐角A与B的关系

C．矩形面积一定时，长y与宽x的关系

D．等腰三角形顶角A与底角B的关系

2．如果y与z成反比例关系，x与z成正比例，则y与x成（  ）

A．正比例关系            B．反比例关系

C．一次函数关系           D．不同于以上答案

3．若y=（5+m）xn+2是反比例函数，则m。n的值为（  ）

A．m=－5，n=－3     B．m≠－5，n=－3

C．m≠－5，n=－3     D．m≠5，n=－4

4．反比例函数的图象与直线y=－2x相交于点（－l，m），则此反比例函数的解析式为（  ）

A．  B．  C．  D．

（二）填空题。

1．反比例函数，当x的值由4增加到6时，y的值减少3，则k=__________。

2．在温度不变的条件下，一定质量的气体的压强ρ与它的体积V成反比例，当V=200时，ρ=50；则当ρ=25时，V=__________。

3．已知Pl（xl，y1），P2（x2，y2）是同一个反比例函数图象上的两点，若x2=x1+2，且，则这个反比例函数的表达式为__________。

（三）解答题。

1．我们知道，如果一个三角形的一个边长为xcm，这边上的高为ycm，那么它的面积为xycm2，现已知S=10cm2．

（1）试填写下表：

（2）从表中可以看出，当x越来越大时，y越来越__________。；当y越来越大时，x越来越__________；但无论x，y如何变化，它们都必须满足等式__________；

（3）如果把x看成自变量，则y是x的__________。函数；如果把y看成自变量，则x是y的__________函数。

（四）根据下列条件写出函数的解析式。

（1）苹果每千克x元，花10元钱可买y千克苹果，y关于x的函数为__________；

（2）矩形的面积为4，一条边的长为x，与之相邻的另一条边的长为y，y关于x的函数为__________；

（3）某乡粮食总量为m吨，该乡平均每人拥有粮食y（吨）关于该乡人口数x的函数为__________。

（五）已知：y=y1+y2，y1与x成正比例函数，y2与x成反比例，并且x=1时，y=4；x=3时，y=5．求x=4时y的值。