第3讲第1课时《勾股定理》（教案）人教版数学八年级下册

教学路径

导入:

师：毕达哥拉斯(Pythagoras)是希腊的哲学家和数学家. 传说他是一个非常优秀的教师，他认为每一个人都该懂些几何.有一次他看到一个勤勉的穷人，他想教他学习几何，因此对此人建议：如果这人能学懂一个定理，那么他就给他一块钱币.这个人看在钱份上就和他学几何了，可是过了一个时期，这学生对几何却产生了非常大的兴趣，反而要求毕达哥拉斯教快一些，并且建议：如果老师多教一个定理，他就给一个钱币.不需要多少时间，毕达哥拉斯把他以前给那学生的钱全部收回了.

毕达哥拉斯和他的学生研究数学，做出了很多数学发现，比如“毕达哥拉斯定理”，这个定理在我们中国就叫做“勾股定理”.我国古代数学家赵爽的“弦图”，刘徽的 “青朱出入图”，古印度的“无字证明”都给出了勾股定理的证明方法，勾股定理还有很多证明方法，下面我们来看一下伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）的证明方法.

启动型问题

[定理表述]根据图中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）；

小萍：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c,那么a2+b2=c2.

（下一题）

 [尝试证明]以图（1）中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形，如图（2），请你利用图（2），验证勾股定理；（下一步）动画出示将两个三角拼成图（2）的形式.

（下一题）

小颖：∵Rt△ABE≌Rt△ECD，∴∠AEB=∠EDC，

又∠EDC+∠DEC=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°，∴∠AED=90°.

∵S=S+S+S，

∴（a+b）(a+b)= ab+ab+c2.整理，得a2+b2=c2.

（下一题）

[知识拓展]利用图（2）中的直角梯形，我们可以证明＜.其证明步骤如下：

∵BC=a+b,AD=_______.

又∵在直角梯形ABCD中有BC______AD（填大小关系），即_______，

∴＜.

小亮： c；＜；a+b＜c（直接填在横线上）

回顾

1.勾股定理(下一步)

直角三角形两条直角边a,b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2.

2.勾股定理的验证（下一步）

勾股定理的证明方法很多，据说已有400余种，其证明的内涵极其丰富.常用的证法是面积割补法，如图所示.

（将面积割补法五个字变色）

3.直角三角形的性质（下一步）

两锐角互余（角的关系）、勾股定理（边的关系）、30°角所对的直角边等于斜边的一半（边角关系），这些性质在求线段的长度、证明线段倍分关系、证明线段平方关系等方面有广泛的应用.

初步性问题

师：让我们看看勾股定理都有哪些应用吧.

探究类型之一  勾股定理的应用

例1  如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行（     ）

A.8米            B.10米   

C.12米           D.14米

解析：                                                 图1

利用两点之间线段最短知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短.（然后连接两个树梢，小鸟飞过（在原图中作出）（下一步）

建立数学模型：如图1所示，已知：AD⊥CD，BC⊥CD，AD=10m，BC=4m，CD=8m，连接AB，求AB的长.（作出上图）（下一步）

构造直角三角形，利用勾股定理求线段AB的长.

(下一步)过点B作BE⊥AD，垂足为E（动画在图中作出）则易知BE=8 m，AE=10-4=6m.

 (下一步)AB===10（m）.

答案：B

1.师：确定小鸟飞行最短路线的依据是什么？

生：（预设）两点之间，线段最短.

师：下一步我们就需要将实际问题转化为数学问题，大家想一想这是一道什么数学问题呢？

2.学生独立完成，然后找学生说说此题转化成什么数学问题.

师：好，大家一起来看一下，要将条件用数学符号语言表达清楚，如图1所示，已知：AD⊥CD，BC⊥CD，AD=10，BC=4，CD=8，连接AB，求AB的长.

师：如何求AB的长，你的方法是？

生：（预设）构造直角三角形，利用勾股定理求斜边.

师：很好，直角三角形中已知两边就可以求第三边了.

3.学生独立完成，然后师指定学生讲解.

初步性问题

探究类型之二  勾股定理的计算

例2  如图，将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的矩形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角板最大边的长为（     ）

A.3 cm              B.6 cm

C.3 cm           D.6 cm

解析：                                         

如图所示，（在图中标上字母），过点A作AH⊥CH，垂足为H，（下一步）

在Rt△ABC和Rt△AHC中（在原图中描出Rt△AHC和Rt△ABC），已知∠B=45°，∠ACH=30°，AH=3cm，（标出角和边的大小）求AB的长. （下一步）

在Rt△AHC中，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半求斜边AC的长.在等腰Rt△ABC中，利用勾股定理求斜边AB的长.

答案：D

1.师：为了方便起见，我们可以在图中标出字母.我们要求的是什么呢？

生：（预设）要求等腰直角三角形的斜边，根据勾股定理，45°的直角三角形中，斜边是直角边的倍，我们只要求出直角边即可.

师：那我们要如何求三角板的直角边呢？

生：（预设）要求直角边，作AH⊥矩形的底边，垂足为H，这样要求的直角边AC是含有30°角的Rt△ACH的斜边，要求斜边AC，联想到直角三角形中含有30°角的直角边是斜边的一半，即可得AC=2AH=6.

2.师：好，这道题目我们还是要谈谈收获，考察了哪些知识点，用到了哪些数学方法和数学思想.

生：（预设）考察了勾股定理，等腰三角形和直角三角形的性质.

师：那么以后我们可以用勾股定理解决哪些问题呢？

生：（预设）已知直角三角形的两边求第三边.

师：或者已知直角三角形的一边求另两边的关系或者用于证明有平方关系的问题．最后，大家观察图形，边AC就像一座桥梁将两个三角形联系起来，以后我们也会遇到此类“共边三角形”,希望大家多多总结一些常见的基本图.

例3  如图所示，公园里有一块形如四边形ABCD的草地，测得BC=CD=10米，∠B=∠C=120°，∠A=45°.求出这块草地的面积. 

解析：

连接BD，作CE⊥BD,交BD于E点（动画在图中作出）， 构造含特殊锐角（30°或45°）的直角三角形求解.

答案：

解：连接BD，作CE⊥BD,交BD于E点，如图.

∵DC=BC，∴∠CDB=∠CBD，

∵∠BCD=120°, ∴∠CDE=∠CBE =30°.

∵在Rt△BCE中，∠BEC=90°，BC=10m,

∴EC=BC=5m，BE==5m.（下一步）

∵DC=BC，CE⊥BD,∴BD=2BE.

∴BD=2BE=10m, （下一步）

∴=EC·BD=×5×10=25（m2）. （下一步）

∵∠DBA=∠CBA-∠CBE=90°，∠A=45°，

∴AB=BD=10m.

∴=BD·AB=×10×10=150（m2）. （下一步）

∴这块草地的面积S=+=（150+25）m2.

1.师：如何求不规则四边形的面积？

生：转化为三角形面积问题.

师：如何添加辅助线？

2. 生独立思考，然后找学生说说自己的解题思路.

生：因为BC=CD，∠C=120°，如果连接BD,进而我们易知道△BCD为等腰三角形，进而我们就求得∠DBC=∠BDC=30°，因为∠B=120°，进而我们可以求得∠ABD=90°，所以△ABD为等腰直角三角形,进而求得AB=BD.

3.师：很好，如何求这两个特殊三角形的面积呢？

生1：底角为30°的等腰三角形的面积为，其中a为三角形的腰长，则底为，我们就可以求等腰直角三角形△ABC的面积了.

生2：在等腰三角形BDC中，BC=CD=10米，∠C=120°，求BD的长,我们就还需要构造含30°角的直角三角形，我们就需要过点C作CE⊥BD.

学生独立完成类似性问题，然后学生指定学生讲解.

类似性问题

1.一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为（     ）

A.5      B.       C.        D.5或

学生独立完成，然后老师找学生说说自己的答案。

生1：第三边的长为5.

师：同学们，她说得对吗？

生2：不对，题目并没有告诉3,4是直角边，所以4可能是斜边长，那么第三边就是直角边就要根据.

解析：

以哪一条边是斜边为依据进行分类讨论：

（1）4为斜边；（2）第三边为斜边.

2.如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为（     ）

A.          B.      

C.         D.

解析：

根据已知条件可以得到∠BDE=90°，(在图中标出直角符号)

（下一步）

在Rt△BDE中，DE=4，BE=8，根据勾股定理可得：

BD===.

6.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3.

（1）求DE的长；

（2）求△ADB的面积.

解析：

（1）根据角平分线的性质可知DE=CD=3；（下一步）

（2） BD作底，AC为高，BD=BC-CD=5，S△ADB=BD·AC=×5×6=15.

引导学生回忆勾股定理的证明方法.

八年级还将学习直角三角形中线的性质.

九年级将学习的锐角三角函数也是边角关系.

总结：

以a为边长的等边三角形的面积：；

含30°底角以a为腰长的等腰三角形的面积：；

含30°角以a为斜边长的直角三角形的面积：.

学生可能会丢解