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第2章 有理数的运算单元测试(B卷提升篇）（解析版）-七年级数学上册同步单元AB卷（浙教版）
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第2章 有理数的运算单元测试(B卷提升篇）
【浙教版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2021春•津南区期中）计算（﹣15）﹣20的结果等于（ ）
A．35 B．﹣35 C．5 D．﹣5
【思路点拨】根据有理数的减法的运算方法，求出计算（﹣15）﹣20的结果等于多少即可．
【答案】解：（﹣15）﹣20＝﹣35．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了有理数的减法的运算方法，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明确：①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）；二是减数的性质符号（减数变相反数）．
2．（2020•雨花区校级模拟）﹣|﹣|的倒数是（ ）
A．2020 B．﹣2020 C． D．﹣
【思路点拨】乘积是1的两数互为倒数．依据倒数的定义回答即可．
【答案】解：﹣|﹣|＝﹣，
﹣的倒数是﹣2020，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了倒数，解题的关键是掌握倒数定义．
3．（2021春•浦东新区期中）春节假期期间某一天早晨的气温是﹣3℃，中午上升了8℃，则中午的气温是（ ）
A．﹣5℃ B．5℃ C．11℃ D．﹣11℃
【思路点拨】根据题意可知，中午的气温是﹣3+8，然后计算即可．
【答案】解：由题意可得，
中午的气温是：﹣3+8＝8﹣3＝5（℃），
故选：B．
【点睛】本题考查有理数的加法，解答本题的关键是明确有理数加法的计算方法．
4．（2020秋•梁子湖区期中）若a，b是有理数，|a|＝3，|b|＝4，则|a+b|＝（ ）
A．1或﹣7 B．﹣1或﹣7 C．1或7 D．1，7，﹣1或﹣7
【思路点拨】根据，|a|＝3，|b|＝4，可得：a＝±3，b＝±4，据此求出|a+b|的值是多少即可．
【答案】解：∵|a|＝3，|b|＝4，
∴a＝±3，b＝±4，
（1）a＝3，b＝﹣4时，
|a+b|＝|3+（﹣4）|＝1；
（2）a＝3，b＝4时，
|a+b|＝|3+4|＝7；
（3）a＝﹣3，b＝﹣4时，
|a+b|＝|（﹣3）+（﹣4）|＝7；
（4）a＝﹣3，b＝4时，
|a+b|＝|﹣3+4|＝1；
∴|a+b|＝1或7．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了有理数的加法的运算方法，以及绝对值的含义和求法，要熟练掌握．
5．（2020秋•岫岩县期中）有两个有理数a、b，如果ab＜0，且a+b＜0，那么（ ）
A．a＞0，b＞0
B．a＜0，b＜0
C．a、b异号，且正数的绝对值较大
D．a、b异号，且负数的绝对值较大
【思路点拨】根据条件可判断a、b与0的大小关系．
【答案】解：∵ab＜0，a+b＜0，
∴a、b异号，且负数的绝对值较大，
故选：D．
【点睛】本题考查有理数的大小比较，解题的关键是根据条件判断a、b与0的大小关系，本题属于基础题型．
6．（2020秋•北仑区期中）把a精确到百分位得到的近似数是5.28，则a的取值范围是（ ）
A．5.275＜a＜5.285 B．5.275≤a＜5.285
C．5.275＜a≤5.285 D．5.275≤a≤5.285
【思路点拨】先根据近似数的精确度得到5.275≤a＜5.285，然后分别进行判断．
【答案】解：∵a精确到百分位得到的近似数是5.28，
∴5.275≤a＜5.285．
故选：B．
【点睛】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数为近似数；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
7．（2020秋•碑林区校级月考）下列叙述正确的是（ ）
A．互为相反数的两数的乘积为1
B．所有的有理数都能用数轴上的点表示
C．绝对值等于本身的数是0
D．n个有理数相乘，负因数的个数为奇数个时，积为负
【思路点拨】根据相反数、有理数、绝对值的定义即可判断．
【答案】解：A、互为相反数的两个数和为0，故A错误．
B、实数和数轴一一对应，故所有的有理数都能用数轴上的点表示．故B正确．
C、绝对值等于本身的是0和正数，故C错误．
D、n个有理数相乘，负因数的个数为奇数个时，积为负，但0除外，故D错误、
故选：B．
【点睛】本题考查了绝对值，有理数与数轴的关系、有理数乘法、相反数的等，属于基础题．
8．（2020秋•广州期中）下列结论：①几个有理数相乘，若负因数的个数是奇数时，则积为负；②若m是有理数，则|m|+m一定是非负数；③a÷（b+c+d）＝a÷b+a÷c+a÷d；④若m+n＜0，mn＜0，则m＜0，n＞0；其中一定正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】根据有理数的乘法，绝对值，有理数的加法以及有理数的除法的计算法则逐个判断即可．
【答案】解：①几个非0有理数相乘，若负因数的个数是奇数时，则积为负，因此①不正确；
②若m是有理数，当m＞0时，|m|+m＝2m＞0，当m≤0时，|m|+m＝0，其结果均是非负数，因此②正确；
③除法不具有a÷（b+c+d）＝a÷b+a÷c+a÷d的运算性质，因此③不正确；
④因为mn＜0，所以m、n异号，又因为m+n＞0，所以m、n中正数的绝对值较大，故④不正确；
因此正确的结论只有1个，
故选：A．
【点睛】本题考查有理数、绝对值、有理数的加法以及有理数的除法的计算法则计算即可．
9．（2020秋•天津期末）下列说法：①|a|一定是正数；②倒数等于它本身的数是±1；③绝对值等于它本身的数是1；④平方等于它本身的数是1．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】利用a＝0可对①进行判断；利用倒数的定义对②进行判断；根据绝对值的意义对③进行判断；根据0的平方等于0可对④进行判断．
【答案】解：当a＝0时，|a|＝0，所以①错误；
倒数等于它本身的数是±1，所以②正确；
绝对值等于它本身的数是0或正数，所以③错误；
平方等于它本身的数是1或0，所以④错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数乘方：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 也考查了倒数和绝对值．
10．（2021•朝阳区模拟）已知三个有理数a，b，c的积是负数，它们的和是正数，当x＝时，代数式x19﹣x+2的值为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．5
【思路点拨】根据三个有理数a，b，c的积是负数，它们的和是正数，可以得到x的值，然后代入代数式x19﹣x+2，即可解答本题．
【答案】解：∵三个有理数a，b，c的积是负数，
∴这三个数是两正一负或三负，
又∵这三个数的和是正数，
∴这三个数是两正一负，
不妨设a＞0，b＞0，则c＜0，
∴x＝＝1+1﹣1＝1，
∴x19﹣x+2
＝119﹣1+2
＝1﹣1+2
＝2，
故选：B．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法，求出x的值．
二．填空题（共7小题，每小题4分，共28分）
11．（2020秋•荥阳市期中）小颖同学做这样一道题“计算|﹣5+△|”，其中“△”是被墨水污染看不清的一个数，她翻开后面的答案，得知该题的计算结果是3，那么“△”表示的数是 8或2 ．
【思路点拨】根据有理数的加法法则以及绝对值的性质解答即可．
【答案】解：根据题意可知|﹣5+△|＝3，
∴﹣5+△＝3或﹣5+△＝﹣3，
解得△＝8或2．
故答案为：8或2．
【点睛】此题主要考查了有理数的加法和绝对值的意义，熟记绝对值的意义是解答本题的关键．
12．（2021春•中原区校级月考）已知|x|＝3，y2＝4，且xy＜0，则x+y的值是 ±1 ．
【思路点拨】先根据绝对值的性质和有理数的乘方，求出x、y的值，然后根据xy＜0，进一步确定x、y的值，再代值求解即可．
【答案】解：∵|x|＝3，y2＝4，xy＜0，
∴x＝3时，y＝﹣2，则x+y＝3﹣2＝1；
x＝﹣3时，y＝2，则x+y＝﹣3+2＝﹣1，
∴x+y的值是±1；
故答案为：±1．
【点睛】此题主要考查了绝对值的性质和有理数的乘方，能够根据已知条件正确的判断出x、y的值是解答此题的关键．
13．（2020秋•定陶区期中）某天上午的温度是5℃，中午上升了3℃，下午天气变冷，到夜间温度下降9℃，则这天夜间的温度是 ﹣1 ℃．
【思路点拨】通过有理数的加减运算即可求解．
【答案】5+3﹣9＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查有理数加减运算的运用，理解题意是求解本题的关键．
14．（2020秋•铜官区期末）在﹣2，3，4，﹣6这四个数中，取其中三个数相乘，所得的积最大为a，再取三个数所得的积最小为b，则a+b＝ ﹣24 ．
【思路点拨】从四个数中取三个数相乘，分别求出它们的积即可得到a、b的值，从而得出答案．
【答案】解：在﹣2，3，4，﹣6这四个数中，取其中三个数相乘，一共有四种情况：
①（﹣2）×3×4＝﹣24，
②（﹣2）×3×（﹣6）＝36，
③（﹣2）×4×（﹣6）＝48，
④3×4×（﹣6）＝﹣72，
∵所得的积最大为a，再取三个数所得的积最小为b，
∴a＝48，b＝﹣72，
∴a+b＝﹣24，
故答案为：﹣24．
【点睛】本题考查有理数的乘法，解题的关键是分别求出三个数相乘的积，得到a、b的值．
15．（2020秋•碑林区校级月考）若|x|＝11，|y|＝14，|z|＝20，且|x+y|＝x+y，|y+z|＝﹣（y+z），则x+y﹣z＝ 45或23 ．
【思路点拨】先根据绝对值的意义及绝对值的非负性综合确定x、y、z的值，再代入计算即可．
【答案】解：∵|x|＝11，|y|＝14，|z|＝20，
∴x＝±11，y＝±14，z＝±20．
∵|x+y|＝x+y，|y+z|＝﹣（y+z），
∴x+y≥0，y+z≤0．
∵x+y≥0．∴x＝±11，y＝14．
∵y+z≤0，
∴z＝﹣20．
当x＝11，y＝14，z＝﹣20时，
x+y﹣z＝11+14+20＝45；
当x＝﹣11，y＝14，z＝﹣20时，
x+y﹣z＝﹣11+14+20＝23．
故答案为：45或23．
【点睛】本题主要考查了绝对值的意义及有理数的加减混合运算，掌握绝对值的意义和性质及有理数加减的符号法则是解决本题的关键．
16．（2020秋•淮滨县月考）如图，从左到右，在每个小格子中都填入一个整数，使其中任意三个相邻格中所填整数之和都相等，则c＝ 3 ，第200个格子中的数为 ﹣1 ．
【思路点拨】根据任意三个相邻格中所填整数之和都相等，以及格子中已知数，可求出a、b、c的值，再根据规律得出第200个数即可．
【答案】解：∵任意三个相邻格中所填整数之和都相等，
∴3+a+b＝a+b+c，
∴c＝3，
又∵a+b+c＝b+c+（﹣1），
∴a＝﹣1，
根据排列规律可得，b＝2，
故这列数为3，﹣1，2，3，﹣1，2，……3，﹣1，2，
∵200÷3＝66……2，
∴第200个数为﹣1，
故答案为：3，﹣1．
【点睛】此题主要考查了有理数的加法的运算方法，要熟练掌握．
17．（2012•成都校级模拟）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝．已知a1＝，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，则a2011＝ ﹣ ．
【思路点拨】根据定义求得a1，a2，a3，a4…的值，观察规律，即可猜想结果．
【答案】解：a1＝﹣
a2＝＝；
a3＝＝4；
a4＝＝﹣，
因而一下三个一次循环，故a2011＝﹣．
故答案是：﹣
【点睛】本题主要考查了代数式的求值，正确根据定义得到规律是解决本题的关键．
三．解答题（共7小题，共62分）
18．（2020秋•呼和浩特期末）计算、求解：
（1）（﹣8）×（）；
（2）×（﹣6）÷（﹣）×7；
（3）（﹣2）3÷×|1﹣（﹣4）2|；
（4）﹣12﹣（）÷×[﹣2+（﹣3）2]．
【思路点拨】（1）原式利用乘法分配律计算即可求出值；
（2）原式从左到右依次计算即可求出值；
（3）原式先计算乘方及绝对值运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值；
（4）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值．
【答案】解：（1）原式＝﹣8×+8×﹣8×
＝﹣4+10﹣1
＝5；
（2）原式＝﹣1×（﹣7）×7
＝49；
（3）原式＝﹣8×+×|1﹣16|
＝﹣10+×15
＝﹣10+20
＝10；
（4）原式＝﹣1+×3×（﹣2+9）
＝﹣1+×7
＝﹣1+
＝．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（2020秋•兴化市月考）用简便方法计算：
（1）（﹣9）×31﹣（﹣8）×（﹣31）﹣（﹣16）×31；
（2）99×（﹣36）．
【思路点拨】（1）原式逆用乘法分配律计算即可得到结果；
（2）原式变形后，利用乘法分配律计算即可得到结果．
【答案】解：（1）原式＝31×（﹣9﹣8+16）
＝31×（﹣1）
＝﹣31；
（2）原式＝（100﹣）×（﹣36）
＝100×（﹣36）﹣×（﹣36）
＝﹣3600+
＝﹣3599．
【点睛】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（2020秋•乾安县期末）已知：|a|＝3，|b|＝5．
（1）若ab＞0，求a+b值；
（2）若ab＜0，求（a+b﹣2）2．
【思路点拨】（1）根据两数相乘，同号得正可知有a，b都为正数或a，b都为负数两种情况；
（2）根据两数相乘，异号得负可知有a为正数，b为负数或a为负数，b为正数两种情况．
【答案】解：∵|a|＝3，|b|＝5，
∴a＝±3，b＝±5．
（1）当ab＞0时，a和b同号，
当a＝3，b＝5时，a+b＝3+5＝8；
当a＝﹣3，b＝﹣5时，a+b＝﹣3﹣5＝﹣8．
∴a+b的值为±8；
（2）当ab＜0时，a和b异号，
当a＝3，b＝﹣5时，（a+b﹣2）2＝（3﹣5﹣2）2＝16；
当a＝﹣3，b＝5时，（a+b﹣2）2＝（﹣3+5﹣2）2＝0．
∴（a+b﹣2）2＝16或0．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，体现了分类讨论的数学思想，分类时注意做到不重不漏．
21．（2020秋•紫阳县期末）定义一种新运算“☆”，规则为：m☆n＝mn+mn﹣n，例如：2☆3＝23+2×3﹣3＝8+6﹣3＝11，解答下列问题：
（1）（﹣2）☆4；
（2）（﹣1）☆[（﹣5）☆2]．
【思路点拨】（1）根据m☆n＝mn+mn﹣n，可以求得所求式子的值；
（2）根据m☆n＝mn+mn﹣n，可以求得所求式子的值．
【答案】解：（1）∵m☆n＝mn+mn﹣n，
∴（﹣2）☆4
＝（﹣2）4+（﹣2）×4﹣4
＝16+（﹣8）+（﹣4）
＝4；
（2）∵m☆n＝mn+mn﹣n，
∴（﹣1）☆[（﹣5）☆2]
＝（﹣1）☆[（﹣5）2+（﹣5）×2﹣2]
＝（﹣1）☆（25﹣10﹣2）
＝（﹣1）☆13
＝（﹣1）13+（﹣1）×13﹣13
＝（﹣1）+（﹣13）+（﹣13）
＝﹣27．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
22．（2018秋•江北区校级期中）观察下列等式：，，．
将以上三个等式两边分别相加得：．
（1）猜想并写出：＝ ．
（2）直接写出下列各式的计算结果：①＝ ．
②＝ ．
（3）探究并计算，请写出计算过程：．
【思路点拨】（1）观察第一行等式，可得答案；
（2）①仿照第二行等式的运算结合（1）中等式可得答案；②式子前面整体乘以，可仿照①进行计算；
（3）式子前面整体乘以，则可按（2）中规律计算．
【答案】解：（1）＝﹣
故答案为：﹣；
（2）①＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝；
②＝（﹣+﹣+﹣+…+﹣）
＝（﹣）
＝．
（3）
＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）
＝（1﹣）
＝×
＝．
【点睛】本题考查了裂项法在有理数混合运算中的应用，读懂题意，明确裂项法的原理，是解题的关键．
23．（2020秋•吴兴区校级期中）请你研究以下分析过程，并尝试完成下列问题．
13＝12
13+23＝9＝32＝（1+2）2
13+23+33＝36＝62＝（1+2+3）2
13+23+33+43＝100＝102＝（1+2+3+4）2
（1）13+23+33+…+103＝ 3025
（2）13+23+33+…+203＝ 44100
（3）13+23+33+…+n3＝
（4）计算：113+123+133+…+203的值．
【思路点拨】根据已知一系列等式，得出一般性规律，计算即可得到结果．
【答案】解：（1）13+23+33+…+103＝3025；
（2）13+23+33+…+203＝44100；
（3）13+23+33+…+n3＝；
（4）113+123+133+…+203＝41075．
故答案为：（1）3025；（2）44100；（3）；（4）41075
【点睛】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．
24．（2020秋•潍城区期中）出租车司机小王某天下午的一段时间内营运全是在南北走向的北海路上进行的．如果向南记作“+”，向北记作“﹣”．他这段时间内行车情况如下：﹣4，+7，﹣2，﹣3，﹣8，+8（单位：千米；每次行车都有乘客）．请解答下列问题：
（1）小王将最后一名乘客送到目的地时，小王在下午出车的出发地的什么方向？距下午出车的出发地多远？
（2）若规定每次乘坐出租车的起步价是8元，且3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米还需收1.8元钱．那么小王这段时间内收到的乘客所给车费共多少元？
（3）若小王的出租车每千米耗油0.1升，每升汽油5元．不计汽车的损耗的情况下，除去汽油钱，请你帮小王计算一下这段时间他赚了多少钱？
【思路点拨】（1）根据小王这段时间内行车情况，将：﹣4，+7，﹣2，﹣3，﹣8，+8相加即可得出答案；
（2）根据题意共行车6次，每次起步价8元，故收到所给车费8×6＝48（元），超过3公里的有：﹣4，+7，﹣8，+8，即1.8+1.8×（7﹣3）+1.8×2×（8﹣3）计算即可得出答案；
（3）根据题意小王共行车，|﹣4|+|7|+|﹣2|+|﹣3|+|﹣8|+|8|＝32（km），即可算出汽油钱，用收到的费用减去汽油钱即可得出答案．
【答案】解：（1）﹣4+7﹣2﹣8+8＝﹣2，
故小王在下午出车的出发地的北方，距离出发地2km处；
（2）8×6+1.8+1.8×（7﹣3）+1.8×2×（8﹣3）＝75（元），
所以小王这天下午收到乘客所给的车费共75元；
（3）|﹣4|+|7|+|﹣2|+|﹣3|+|﹣8|+|8|＝4+7+2+3+8+8＝32（km），
32×0.1×5＝16（元），
75﹣16＝59（元），
所以小王这天下午赚了59元．
【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算及数轴，合理应用法则进行计算是解决本题的关键．
第2章 有理数的运算单元测试(B卷提升篇）
【浙教版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2021春•津南区期中）计算（﹣15）﹣20的结果等于（ ）
A．35 B．﹣35 C．5 D．﹣5
【思路点拨】根据有理数的减法的运算方法，求出计算（﹣15）﹣20的结果等于多少即可．
【答案】解：（﹣15）﹣20＝﹣35．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了有理数的减法的运算方法，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明确：①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）；二是减数的性质符号（减数变相反数）．
2．（2020•雨花区校级模拟）﹣|﹣|的倒数是（ ）
A．2020 B．﹣2020 C． D．﹣
【思路点拨】乘积是1的两数互为倒数．依据倒数的定义回答即可．
【答案】解：﹣|﹣|＝﹣，
﹣的倒数是﹣2020，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了倒数，解题的关键是掌握倒数定义．
3．（2021春•浦东新区期中）春节假期期间某一天早晨的气温是﹣3℃，中午上升了8℃，则中午的气温是（ ）
A．﹣5℃ B．5℃ C．11℃ D．﹣11℃
【思路点拨】根据题意可知，中午的气温是﹣3+8，然后计算即可．
【答案】解：由题意可得，
中午的气温是：﹣3+8＝8﹣3＝5（℃），
故选：B．
【点睛】本题考查有理数的加法，解答本题的关键是明确有理数加法的计算方法．
4．（2020秋•梁子湖区期中）若a，b是有理数，|a|＝3，|b|＝4，则|a+b|＝（ ）
A．1或﹣7 B．﹣1或﹣7 C．1或7 D．1，7，﹣1或﹣7
【思路点拨】根据，|a|＝3，|b|＝4，可得：a＝±3，b＝±4，据此求出|a+b|的值是多少即可．
【答案】解：∵|a|＝3，|b|＝4，
∴a＝±3，b＝±4，
（1）a＝3，b＝﹣4时，
|a+b|＝|3+（﹣4）|＝1；
（2）a＝3，b＝4时，
|a+b|＝|3+4|＝7；
（3）a＝﹣3，b＝﹣4时，
|a+b|＝|（﹣3）+（﹣4）|＝7；
（4）a＝﹣3，b＝4时，
|a+b|＝|﹣3+4|＝1；
∴|a+b|＝1或7．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了有理数的加法的运算方法，以及绝对值的含义和求法，要熟练掌握．
5．（2020秋•岫岩县期中）有两个有理数a、b，如果ab＜0，且a+b＜0，那么（ ）
A．a＞0，b＞0
B．a＜0，b＜0
C．a、b异号，且正数的绝对值较大
D．a、b异号，且负数的绝对值较大
【思路点拨】根据条件可判断a、b与0的大小关系．
【答案】解：∵ab＜0，a+b＜0，
∴a、b异号，且负数的绝对值较大，
故选：D．
【点睛】本题考查有理数的大小比较，解题的关键是根据条件判断a、b与0的大小关系，本题属于基础题型．
6．（2020秋•北仑区期中）把a精确到百分位得到的近似数是5.28，则a的取值范围是（ ）
A．5.275＜a＜5.285 B．5.275≤a＜5.285
C．5.275＜a≤5.285 D．5.275≤a≤5.285
【思路点拨】先根据近似数的精确度得到5.275≤a＜5.285，然后分别进行判断．
【答案】解：∵a精确到百分位得到的近似数是5.28，
∴5.275≤a＜5.285．
故选：B．
【点睛】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数为近似数；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
7．（2020秋•碑林区校级月考）下列叙述正确的是（ ）
A．互为相反数的两数的乘积为1
B．所有的有理数都能用数轴上的点表示
C．绝对值等于本身的数是0
D．n个有理数相乘，负因数的个数为奇数个时，积为负
【思路点拨】根据相反数、有理数、绝对值的定义即可判断．
【答案】解：A、互为相反数的两个数和为0，故A错误．
B、实数和数轴一一对应，故所有的有理数都能用数轴上的点表示．故B正确．
C、绝对值等于本身的是0和正数，故C错误．
D、n个有理数相乘，负因数的个数为奇数个时，积为负，但0除外，故D错误、
故选：B．
【点睛】本题考查了绝对值，有理数与数轴的关系、有理数乘法、相反数的等，属于基础题．
8．（2020秋•广州期中）下列结论：①几个有理数相乘，若负因数的个数是奇数时，则积为负；②若m是有理数，则|m|+m一定是非负数；③a÷（b+c+d）＝a÷b+a÷c+a÷d；④若m+n＜0，mn＜0，则m＜0，n＞0；其中一定正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】根据有理数的乘法，绝对值，有理数的加法以及有理数的除法的计算法则逐个判断即可．
【答案】解：①几个非0有理数相乘，若负因数的个数是奇数时，则积为负，因此①不正确；
②若m是有理数，当m＞0时，|m|+m＝2m＞0，当m≤0时，|m|+m＝0，其结果均是非负数，因此②正确；
③除法不具有a÷（b+c+d）＝a÷b+a÷c+a÷d的运算性质，因此③不正确；
④因为mn＜0，所以m、n异号，又因为m+n＞0，所以m、n中正数的绝对值较大，故④不正确；
因此正确的结论只有1个，
故选：A．
【点睛】本题考查有理数、绝对值、有理数的加法以及有理数的除法的计算法则计算即可．
9．（2020秋•天津期末）下列说法：①|a|一定是正数；②倒数等于它本身的数是±1；③绝对值等于它本身的数是1；④平方等于它本身的数是1．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】利用a＝0可对①进行判断；利用倒数的定义对②进行判断；根据绝对值的意义对③进行判断；根据0的平方等于0可对④进行判断．
【答案】解：当a＝0时，|a|＝0，所以①错误；
倒数等于它本身的数是±1，所以②正确；
绝对值等于它本身的数是0或正数，所以③错误；
平方等于它本身的数是1或0，所以④错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数乘方：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 也考查了倒数和绝对值．
10．（2021•朝阳区模拟）已知三个有理数a，b，c的积是负数，它们的和是正数，当x＝时，代数式x19﹣x+2的值为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．5
【思路点拨】根据三个有理数a，b，c的积是负数，它们的和是正数，可以得到x的值，然后代入代数式x19﹣x+2，即可解答本题．
【答案】解：∵三个有理数a，b，c的积是负数，
∴这三个数是两正一负或三负，
又∵这三个数的和是正数，
∴这三个数是两正一负，
不妨设a＞0，b＞0，则c＜0，
∴x＝＝1+1﹣1＝1，
∴x19﹣x+2
＝119﹣1+2
＝1﹣1+2
＝2，
故选：B．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法，求出x的值．
二．填空题（共7小题，每小题4分，共28分）
11．（2020秋•荥阳市期中）小颖同学做这样一道题“计算|﹣5+△|”，其中“△”是被墨水污染看不清的一个数，她翻开后面的答案，得知该题的计算结果是3，那么“△”表示的数是 8或2 ．
【思路点拨】根据有理数的加法法则以及绝对值的性质解答即可．
【答案】解：根据题意可知|﹣5+△|＝3，
∴﹣5+△＝3或﹣5+△＝﹣3，
解得△＝8或2．
故答案为：8或2．
【点睛】此题主要考查了有理数的加法和绝对值的意义，熟记绝对值的意义是解答本题的关键．
12．（2021春•中原区校级月考）已知|x|＝3，y2＝4，且xy＜0，则x+y的值是 ±1 ．
【思路点拨】先根据绝对值的性质和有理数的乘方，求出x、y的值，然后根据xy＜0，进一步确定x、y的值，再代值求解即可．
【答案】解：∵|x|＝3，y2＝4，xy＜0，
∴x＝3时，y＝﹣2，则x+y＝3﹣2＝1；
x＝﹣3时，y＝2，则x+y＝﹣3+2＝﹣1，
∴x+y的值是±1；
故答案为：±1．
【点睛】此题主要考查了绝对值的性质和有理数的乘方，能够根据已知条件正确的判断出x、y的值是解答此题的关键．
13．（2020秋•定陶区期中）某天上午的温度是5℃，中午上升了3℃，下午天气变冷，到夜间温度下降9℃，则这天夜间的温度是 ﹣1 ℃．
【思路点拨】通过有理数的加减运算即可求解．
【答案】5+3﹣9＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查有理数加减运算的运用，理解题意是求解本题的关键．
14．（2020秋•铜官区期末）在﹣2，3，4，﹣6这四个数中，取其中三个数相乘，所得的积最大为a，再取三个数所得的积最小为b，则a+b＝ ﹣24 ．
【思路点拨】从四个数中取三个数相乘，分别求出它们的积即可得到a、b的值，从而得出答案．
【答案】解：在﹣2，3，4，﹣6这四个数中，取其中三个数相乘，一共有四种情况：
①（﹣2）×3×4＝﹣24，
②（﹣2）×3×（﹣6）＝36，
③（﹣2）×4×（﹣6）＝48，
④3×4×（﹣6）＝﹣72，
∵所得的积最大为a，再取三个数所得的积最小为b，
∴a＝48，b＝﹣72，
∴a+b＝﹣24，
故答案为：﹣24．
【点睛】本题考查有理数的乘法，解题的关键是分别求出三个数相乘的积，得到a、b的值．
15．（2020秋•碑林区校级月考）若|x|＝11，|y|＝14，|z|＝20，且|x+y|＝x+y，|y+z|＝﹣（y+z），则x+y﹣z＝ 45或23 ．
【思路点拨】先根据绝对值的意义及绝对值的非负性综合确定x、y、z的值，再代入计算即可．
【答案】解：∵|x|＝11，|y|＝14，|z|＝20，
∴x＝±11，y＝±14，z＝±20．
∵|x+y|＝x+y，|y+z|＝﹣（y+z），
∴x+y≥0，y+z≤0．
∵x+y≥0．∴x＝±11，y＝14．
∵y+z≤0，
∴z＝﹣20．
当x＝11，y＝14，z＝﹣20时，
x+y﹣z＝11+14+20＝45；
当x＝﹣11，y＝14，z＝﹣20时，
x+y﹣z＝﹣11+14+20＝23．
故答案为：45或23．
【点睛】本题主要考查了绝对值的意义及有理数的加减混合运算，掌握绝对值的意义和性质及有理数加减的符号法则是解决本题的关键．
16．（2020秋•淮滨县月考）如图，从左到右，在每个小格子中都填入一个整数，使其中任意三个相邻格中所填整数之和都相等，则c＝ 3 ，第200个格子中的数为 ﹣1 ．
【思路点拨】根据任意三个相邻格中所填整数之和都相等，以及格子中已知数，可求出a、b、c的值，再根据规律得出第200个数即可．
【答案】解：∵任意三个相邻格中所填整数之和都相等，
∴3+a+b＝a+b+c，
∴c＝3，
又∵a+b+c＝b+c+（﹣1），
∴a＝﹣1，
根据排列规律可得，b＝2，
故这列数为3，﹣1，2，3，﹣1，2，……3，﹣1，2，
∵200÷3＝66……2，
∴第200个数为﹣1，
故答案为：3，﹣1．
【点睛】此题主要考查了有理数的加法的运算方法，要熟练掌握．
17．（2012•成都校级模拟）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝．已知a1＝，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，则a2011＝ ﹣ ．
【思路点拨】根据定义求得a1，a2，a3，a4…的值，观察规律，即可猜想结果．
【答案】解：a1＝﹣
a2＝＝；
a3＝＝4；
a4＝＝﹣，
因而一下三个一次循环，故a2011＝﹣．
故答案是：﹣
【点睛】本题主要考查了代数式的求值，正确根据定义得到规律是解决本题的关键．
三．解答题（共7小题，共62分）
18．（2020秋•呼和浩特期末）计算、求解：
（1）（﹣8）×（）；
（2）×（﹣6）÷（﹣）×7；
（3）（﹣2）3÷×|1﹣（﹣4）2|；
（4）﹣12﹣（）÷×[﹣2+（﹣3）2]．
【思路点拨】（1）原式利用乘法分配律计算即可求出值；
（2）原式从左到右依次计算即可求出值；
（3）原式先计算乘方及绝对值运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值；
（4）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值．
【答案】解：（1）原式＝﹣8×+8×﹣8×
＝﹣4+10﹣1
＝5；
（2）原式＝﹣1×（﹣7）×7
＝49；
（3）原式＝﹣8×+×|1﹣16|
＝﹣10+×15
＝﹣10+20
＝10；
（4）原式＝﹣1+×3×（﹣2+9）
＝﹣1+×7
＝﹣1+
＝．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（2020秋•兴化市月考）用简便方法计算：
（1）（﹣9）×31﹣（﹣8）×（﹣31）﹣（﹣16）×31；
（2）99×（﹣36）．
【思路点拨】（1）原式逆用乘法分配律计算即可得到结果；
（2）原式变形后，利用乘法分配律计算即可得到结果．
【答案】解：（1）原式＝31×（﹣9﹣8+16）
＝31×（﹣1）
＝﹣31；
（2）原式＝（100﹣）×（﹣36）
＝100×（﹣36）﹣×（﹣36）
＝﹣3600+
＝﹣3599．
【点睛】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（2020秋•乾安县期末）已知：|a|＝3，|b|＝5．
（1）若ab＞0，求a+b值；
（2）若ab＜0，求（a+b﹣2）2．
【思路点拨】（1）根据两数相乘，同号得正可知有a，b都为正数或a，b都为负数两种情况；
（2）根据两数相乘，异号得负可知有a为正数，b为负数或a为负数，b为正数两种情况．
【答案】解：∵|a|＝3，|b|＝5，
∴a＝±3，b＝±5．
（1）当ab＞0时，a和b同号，
当a＝3，b＝5时，a+b＝3+5＝8；
当a＝﹣3，b＝﹣5时，a+b＝﹣3﹣5＝﹣8．
∴a+b的值为±8；
（2）当ab＜0时，a和b异号，
当a＝3，b＝﹣5时，（a+b﹣2）2＝（3﹣5﹣2）2＝16；
当a＝﹣3，b＝5时，（a+b﹣2）2＝（﹣3+5﹣2）2＝0．
∴（a+b﹣2）2＝16或0．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，体现了分类讨论的数学思想，分类时注意做到不重不漏．
21．（2020秋•紫阳县期末）定义一种新运算“☆”，规则为：m☆n＝mn+mn﹣n，例如：2☆3＝23+2×3﹣3＝8+6﹣3＝11，解答下列问题：
（1）（﹣2）☆4；
（2）（﹣1）☆[（﹣5）☆2]．
【思路点拨】（1）根据m☆n＝mn+mn﹣n，可以求得所求式子的值；
（2）根据m☆n＝mn+mn﹣n，可以求得所求式子的值．
【答案】解：（1）∵m☆n＝mn+mn﹣n，
∴（﹣2）☆4
＝（﹣2）4+（﹣2）×4﹣4
＝16+（﹣8）+（﹣4）
＝4；
（2）∵m☆n＝mn+mn﹣n，
∴（﹣1）☆[（﹣5）☆2]
＝（﹣1）☆[（﹣5）2+（﹣5）×2﹣2]
＝（﹣1）☆（25﹣10﹣2）
＝（﹣1）☆13
＝（﹣1）13+（﹣1）×13﹣13
＝（﹣1）+（﹣13）+（﹣13）
＝﹣27．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
22．（2018秋•江北区校级期中）观察下列等式：，，．
将以上三个等式两边分别相加得：．
（1）猜想并写出：＝ ．
（2）直接写出下列各式的计算结果：①＝ ．
②＝ ．
（3）探究并计算，请写出计算过程：．
【思路点拨】（1）观察第一行等式，可得答案；
（2）①仿照第二行等式的运算结合（1）中等式可得答案；②式子前面整体乘以，可仿照①进行计算；
（3）式子前面整体乘以，则可按（2）中规律计算．
【答案】解：（1）＝﹣
故答案为：﹣；
（2）①＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝；
②＝（﹣+﹣+﹣+…+﹣）
＝（﹣）
＝．
（3）
＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）
＝（1﹣）
＝×
＝．
【点睛】本题考查了裂项法在有理数混合运算中的应用，读懂题意，明确裂项法的原理，是解题的关键．
23．（2020秋•吴兴区校级期中）请你研究以下分析过程，并尝试完成下列问题．
13＝12
13+23＝9＝32＝（1+2）2
13+23+33＝36＝62＝（1+2+3）2
13+23+33+43＝100＝102＝（1+2+3+4）2
（1）13+23+33+…+103＝ 3025
（2）13+23+33+…+203＝ 44100
（3）13+23+33+…+n3＝
（4）计算：113+123+133+…+203的值．
【思路点拨】根据已知一系列等式，得出一般性规律，计算即可得到结果．
【答案】解：（1）13+23+33+…+103＝3025；
（2）13+23+33+…+203＝44100；
（3）13+23+33+…+n3＝；
（4）113+123+133+…+203＝41075．
故答案为：（1）3025；（2）44100；（3）；（4）41075
【点睛】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．
24．（2020秋•潍城区期中）出租车司机小王某天下午的一段时间内营运全是在南北走向的北海路上进行的．如果向南记作“+”，向北记作“﹣”．他这段时间内行车情况如下：﹣4，+7，﹣2，﹣3，﹣8，+8（单位：千米；每次行车都有乘客）．请解答下列问题：
（1）小王将最后一名乘客送到目的地时，小王在下午出车的出发地的什么方向？距下午出车的出发地多远？
（2）若规定每次乘坐出租车的起步价是8元，且3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米还需收1.8元钱．那么小王这段时间内收到的乘客所给车费共多少元？
（3）若小王的出租车每千米耗油0.1升，每升汽油5元．不计汽车的损耗的情况下，除去汽油钱，请你帮小王计算一下这段时间他赚了多少钱？
【思路点拨】（1）根据小王这段时间内行车情况，将：﹣4，+7，﹣2，﹣3，﹣8，+8相加即可得出答案；
（2）根据题意共行车6次，每次起步价8元，故收到所给车费8×6＝48（元），超过3公里的有：﹣4，+7，﹣8，+8，即1.8+1.8×（7﹣3）+1.8×2×（8﹣3）计算即可得出答案；
（3）根据题意小王共行车，|﹣4|+|7|+|﹣2|+|﹣3|+|﹣8|+|8|＝32（km），即可算出汽油钱，用收到的费用减去汽油钱即可得出答案．
【答案】解：（1）﹣4+7﹣2﹣8+8＝﹣2，
故小王在下午出车的出发地的北方，距离出发地2km处；
（2）8×6+1.8+1.8×（7﹣3）+1.8×2×（8﹣3）＝75（元），
所以小王这天下午收到乘客所给的车费共75元；
（3）|﹣4|+|7|+|﹣2|+|﹣3|+|﹣8|+|8|＝4+7+2+3+8+8＝32（km），
32×0.1×5＝16（元），
75﹣16＝59（元），
所以小王这天下午赚了59元．
【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算及数轴，合理应用法则进行计算是解决本题的关键．
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