人教版八年级下册数学讲义练习 第17章 章末检测

新人教版初中数学学科教材分析

数学是一门研究数量关系和空间形式的科学，具有严密的符号体系，独特的公式结构，形象的图像语言。它有三个显著的特点：高度抽象，逻辑严密，广泛应用。 

1．高度抽象性：数学的抽象，在对象上、程度上都不同于其它学科的抽象，数学是借助于抽象建立起来并借助于抽象发展的。

2．严密逻辑性： 数学具有严密的逻辑性，任何数学结论都必须经过逻辑推理的严格证明才能被承认。任何一门科学，都要应用逻辑工具，都有它严谨的一面。

3．广泛应用性：数学作为一种工具或手段，几乎在任何一门科学技术及一切社会领域中都被运用。各门科学的“数学化”，是现代科学发展的一大趋势。 

第17章  勾股定理

章末检测

(时间：90分钟  满分：120分)

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）

1．在△ABC中，∠C=90°，AB=2，则AC2+BC2+AB2的值是

A．2     B．4    C．6    D．8

2．如图，中，于，若，，，则的长为

A．    B．    C．    D．

3．在△ABC中，∠C=90°，AC=6 cm，BC=8 cm，则AB等于

A．2 cm    B．8 cm    C．10 cm   D．100 cm

4．若直角三角形两直角边的比为5∶12，则斜边与较小直角边的比为

A．13∶12   B．169∶25   C．13∶5   D．12∶5

5．一艘轮船以16海里/时的速度离开A港向东南方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度离开A港向西南方向航行，经过1.5小时后它们相距

A．6海里    B．24海里   C．30海里   D．42海里

6．如图，在中，，将绕点A顺时针旋转，得到，连接BD，若，，则线段BD的长为

A．    B．    C．4    D．D

7．如图，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则三个半圆的面积S1，S2+S3之间的关系是

A．S1>S2+S3   B．S1=S2+S3   C．S1<S2+S3   D．无法确定

8．对于任意两个正整数m、n（m>n），下列各组三个数为勾股数的一组是

A．m2+mn，m2-1，2mn      B．m2-n2，2mn，m2+n2

C．m+n，m-n，2mn      D．n2-1，n2+mn，2mn

9．如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0.7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？学-科网

A．0.4    B．0.6    C．0.7    D．0.8

10．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在格点上，三边长分别为a、b、c，则a、b、c的大小关系是

A．a<c<b   B．a<b<c   C．c<a<b   D．c<b<a

二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

11．直角三角形有一条直角边长为13，另外两条边长为连续自然数，则周长为__________．

12．若直角三角形的两直角边长为a，b，且满足a2-6a+9+|b-4|=0，则该直角三角形的斜边长为__________．

13．王师傅在操场上安装一副单杠，要求单杠与地面平行，杠与两撑脚垂直，如图所示，撑脚长AB，DC为3 m，两撑脚间的距离BC为4 m，则AC=__________ m 就符合要求．

14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，则以AB为边长的正方形面积为__________．

15．如图所示，一段楼梯，高BC是3 m，斜边AC是5 m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯__________．

16．如图所示的阴影部分是两个正方形，其他部分是一个正方形和两个直角三角形，则两个阴影正方形面积的和为__________．学=科-网

17．一艘轮船在小岛A的北偏东60°距小岛80海里的B处，沿正西方向航行2小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为__________海里/小时．

18．如图，有两条互相垂直的街道a和b，a路上有一小商店A，b路上有一批发部B.小商店主人每次进货都沿着A—O—B路线到达B处，然后原路返回．已A，B两处距十字路口O的距离分别为600米、800米，如果小商店主人重新选一条最近的路线，那么往返一趟最多可比原来少走__________米．

19．如图，将一根长24 cm的筷子，置于底面直径为5 cm，高为12 cm的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为a cm（茶杯装满水），则a的取值范围是__________．

20．如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，则第2018个等腰直角三角形的斜边长是__________．

三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

21．如图，在△ABC中，D为BC边长的一点，已知AB=13，AD=12，BD=5，AC=15，求CD的长．

22．如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，如果CD=12，AD=16，BD=9，那么△ABC是直角三角形吗？请说明理由．

23．如图，在由6个大小相同的小正方形组成的方格中，A、B、C是三个格点（即小正方形的顶点）．判断AB与BC的关系，并说明理由．（利用勾股定理的相关知识解答）

24．如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，A、B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是多少米？

25．一写字楼发生火灾，消防车立即赶到距大楼9米的点A处，升起云梯到发生火灾的窗口点C处．已知云梯BC长15米，云梯底部B距地面A为2.2米．问发生火灾的窗口距地面有多少米？

26．去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2 km的A、B两地之间修筑一条笔直公路（即图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向、B地的西偏北45°方向C处有一个半径为0.7 km的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？（≈1.732）

27．如图，一架梯子AC长2.5米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙0.7米．

（1）这个梯子的顶端距地面有多高？

（2）如果梯子的顶端下滑了0.4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？

28．如图，在△ABC中，∠A=90°，D是AB边上一点，且DB=DC，过BC上一点P（不包括B，C二点）作PE⊥AB，垂足为点E，PF⊥CD，垂足为点F，已知AD∶DB=1∶4，BC=，求PE+PF的长．

1．【答案】D

【解析】在△ABC中，∠C=90°，根据勾股定理可得，

因为AB=2，所以，所以AC2+BC2+AB2=4+4=8．故选D．

2．【答案】B

【解析】∵CD⊥AB，∴∠CDA=∠BDC=90°，在Rt△ADC中，CD2=AC2-AD2，在Rt△BCD中，CD2=BC2-BD2，∴AC2-AD2=BC2-BD2，∵AD=2BD，AC=5，BC=4，∴52-（2BD）2=42-BD2，解得BD=．故选B．

3．【答案】C

【解析】∵在△ABC中，∠C=90°，AC=6 cm，BC=8 cm，∴斜边．故选C．

4．【答案】C

【解析】∵直角三角形两直角边的比为5∶12，设一直角边为5x，则另一直角边为12x，根据勾股定理

得斜边为，∴斜边与较小直角边的比为13x∶5x=13∶5．故选C．

6．【答案】A

【解析】由旋转的性质可知：DE=BC=1，AB=AD，∵在Rt△ABC中，AC=3，BC=1，∠ACB=90°，

∴AB=AD==，∵旋转角为90°，∴∠BAD=90°，∴在Rt△ADB中，BD==

．故选A．

7．【答案】B

【解析】设直角三角形的三边分别为a、b、c，则S1=，S2=，S3=，S2+S3=+==S1．故选B．

8．【答案】B

【解析】由勾股数的定义可得，满足两边的平方和等于第三边的平方即可，而选项中只有B选项，而A、C、D均不满足题意．故选B．

9．【答案】D

【解析】∵AB=2.5米，AC=0.7米，∴BC==2.4（米）．∵梯子的顶部下滑0.4米，∴BE=

0.4米，∴EC=BC-0.4=2（米），∴DC==1.5（米），∴梯子的底部向外滑出AD=1.5-0.7=

0.8（米）．故选D．

10．【答案】C

【解析】根据勾股定理可得：，，，即可得c<a<b，故选C．

11．【答案】182

【解析】设另一直角边长为x，斜边为y，根据勾股定理可得x2+132=y2，即（y+x）（y-x）=169×1，因为x、y都是连续自然数，可得，解得，∴周长为13+84+85=182，故答案为：182．

14．【答案】25

【解析】由勾股定理得：AB==5，所以以AB为边长的正方形的面积为52=25．故答案为：25．

15．【答案】7 m

【解析】∵△ABC是直角三角形，BC=3 m，AC=5 m，∴AB===4 m，∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AB+BC=7 m．故答案为：7 m．

16．【答案】64

【解析】两个阴影正方形的面积和为172-152=64．故答案为：64．

17．【答案】20+20

【解析】如图，

设该船行驶的速度为x海里/时，3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，由题意得：AB=80海里，BC=2x海里，在直角三角形ABQ中，∠BAQ=60°，∴∠B=90°-60°=30°，∴AQ=AB=40，BQ=AQ=40，

在直角三角形AQC中，∠CAQ=45°，∴CQ=AQ=40，∴BC=40+40=3=2x，解得x=20+20．

即该船行驶的速度为20+20海里/时，故答案为：20+20．

18．【答案】800

【解析】如图，连接AB，

∵∠AOB=90°，∴AB==1000，根据两点之间线段最短，可知最近的路线是从A直接到B，往返一趟需要走1000×2=2000米，原来走的路线往返一趟需要走2×（600+800）=2800米，最近路线比原来路线少走2800-2000=800米，故答案为：800．学科-网

19．【答案】11 cm≤a≤12 cm

【解析】当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=24−12=12 cm，当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，如图所示：

此时，，∴h=24−13=11 cm，∴h的取值范围是

，故答案为：．

20．【答案】（）2018

【解析】第一个等腰直角三角形的斜边为，第二个等腰直角三角形的斜边为2=（）2，第三个等腰直角三角形的斜边为2=（）3，第四个等腰直角三角形的斜边为4=（）4，……，第2018个等腰直角三角形的斜边为（）2018．故答案为：（）2018．

21．【解析】∵，，，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴．

23．【解析】相等且垂直．理由如下：

如图，连接AC．

由勾股定理可得：AB2=12+22=5，BC2=12+22=5，AC2=12+32=10，

∴AB2+BC2=AC2，

∴△ABC是以∠B为直角的直角三角形．

即AB⊥BC，∴AB和BC的关系是：相等且垂直．

24．【解析】三级台阶平面展开图为长方形，长为2，宽为（0.2+0.3）×3，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．

可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，

由勾股定理得：x2=22+[（0.2+0.3）×3]2=2.52，

解得x=2.5．

25．【解析】由题意可得：DC==12（m），

则CH=DC+DH=12+2.2=14.2（m），

答：发生火灾的窗口距地面有14.2米．

26．【解析】如图所示，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，

由题意可得∠CAB=30°，∠CBA=45°，在Rt△CDB中，∠BCD=45°，

∴∠CBA=∠BCD，∴BD=CD．

在Rt△ACD中，∠CAB=30°，∴AC=2CD．

设CD=DB=x，∴AC=2x．

由勾股定理得AD===x．

∵AD+DB=2，

∴x+x=2，

∴x=-1．即CD=-1≈0.732>0.7，

∴计划修筑的这条公路不会穿过公园．

27．【解析】（1）根据题意可得：AC=2.5米，BC=0.7米，∠ABC=90°，

∴AB=米，即梯子的顶端距地面有2.4米．

（2）根据题意可得：A′C′=2.5米，A′B=2.4-0.4=2米，

∴BC′=米，则CC`=1.5-0.7=0.8米，即梯子的底端在水平方向滑动0.8米．

如图，连接PD，PD把△BCD分成两个三角形△PBD，△PCD，

∵PE⊥AB，PF⊥CD，AC⊥BD，

∴S△PBD=BD·PE，

S△PCD=DC·PF，

S△BCD=BD·AC，

∵S△PBD+S△PCD=S△BCD，

∴BD·PE+DC·PF=BD·AC，

∵DB=DC，

∴PE+PF=AC=．