高中苏教版 (2019)3.2 基本不等式教学设计

第3章   不等式

3.2  基本不等式

第1课时  基本不等式的证明

1.知道基本不等式≤ (a，b0)及其几何背景．

2.了解综合法与分析法在证明基本不等式中的作用．

3. 能初步运用基本不等式证明简单的不等式．

教学重点：掌握基本不等式≤ (a>0，b>0)．

教学难点：运用基本不等式证明简单的不等式．

PPT课件．

一、新课导入

问题1：右图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民的热情好客．那么你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？

引语：要解决这个问题，就需要进一步学习基本不等式．（板书：基本不等式）

【探究新知】

阅读教材P51, 借助多媒体引出基本不等式．

问题2：阅读教材P52，基本不等式的证明方法有哪些？

师生活动：学生分析解题思路，给出答案．

预设的答案：作差法、分析法、综合法．

追问1： 基本不等式有何几何背景？

师生活动：学生阅读教材P51，给出答案．

预设的答案：≤的几何解释：如图以为直径作圆，

在直径上取一点， 过作弦，则，从而，而半径，基本不等式≤几何意义是：“半径不小于半弦” ．

追问2：基本不等式的变形有哪些？

师生活动：学生阅读教材P53，给出答案．

预设的答案：ab≤，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．

ab≤，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．

a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．

设计意图：借助多媒体引出基本不等式，通过阅读，掌握基本不等式的证明方法及几何背景．

【巩固练习】

例1. 下列不等式的推导过程正确的是________．

①若x＞1，则x＋≥2＝2．

②若x＜0，则x＋＝－＝－4．

③若a，b∈R，则＋≥2＝2．

师生活动：学生分析解题思路，给出答案．

预设的答案：①中忽视了基本不等式等号成立的条件，当x＝时即x＝1时，x＋≥2等号成立，因为x＞1，所以x＋＞2，③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件．

设计意图：通过例题，进一步明确基本不等式的使用条件．

例2． 若0<a<1，0<b<1，且a≠b，试找出a＋b，a2＋b2，2，2ab中的最大者．

师生活动：学生分析解题思路，给出答案．

预设的答案：∵0<a<1，0<b<1，且a≠b，∴a＋b>2，a2＋b2>2ab，

∴四个数中最大的应从a＋b，a2＋b2中选择．

而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)，

∵0<a<1，0<b<1，∴a(a－1)<0，b(b－1)<0，

∴a2＋b2－(a＋b)<0，即a2＋b2<a＋b，∴a＋b最大．

反思与感悟：利用基本不等式比较实数大小的注意事项．

1．利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积)．

2．利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a>0，b>0．

设计意图：明确利用基本不等式比较实数大小的方法．

例3． a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)．

师生活动：学生分析解题思路，给出答案．

预设的答案：先证a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2，

∵a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，

∴a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2c2a2，

∴2(a4＋b4＋c4)≥2a2b2＋2b2c2＋2c2a2，

∴a4＋b4＋c2≥a2b2＋b2c2＋c2a2，

再证a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)，

∵a2b2＋b2c2＝b2(a2＋c2)≥2ab2c

(等号在a＝c时成立)．

同理a2b2＋a2c2≥2a2bc，(等号在b＝c时成立)．

b2c2＋a2c2≥2abc2，(等号在a＝b时成立)．

三式相加得：a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)，(等号在a＝b＝c时成立)．

反思与感悟：证明不等式时，要注意观察分析其结构特征选取相应的证明方法．若不等式中字母具有轮换对称关系，则常常连用几个形式相同字母不同的不等式迭加获证．

设计意图：掌握利用基本不等式证明不等式的方法．

【课堂小结】

1．     板书设计：

3.2.1  基本不等式的证明

1． 对基本不等式 ≤ 的理解   例1

2． 利用基本不等式比较大小                      例2

3． 利用基本不等式证明不等式                    例3

2．总结概括：

问题：1．如何理解基本不等式 ≤ ？

2．利用基本不等式证明不等式的策略有哪些？

师生活动：学生尝试总结，老师适当补充．

预设的答案：1． 基本不等式≤ (a＞0，b＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系；对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条件是a、b都是正数．(2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b．

2． 从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．

设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确基本不等式证明的有关知识．

布置作业：

【目标检测】

1． 下列不等式成立的是(　　)

A．ab≤    B．ab≥

C．a＋b≥2    D．a＋b≤2

设计意图：巩固基本不等式的使用条件．

2． 设，则下列不等式中正确的是（　　）

A．       B．

C．       D．

设计意图：巩固基本不等式的使用条件．

3． 已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的大小关系是________．

设计意图：巩固利用基本不等式比较大小．

4．已知，求证．

设计意图：巩固利用基本不等式证明不等式．

参考答案：

1． a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab，ab≤，故选A．

2． 因为，所以由基本不等式得，且，

又，故．故选B．

3． x2＝，y2＝a＋b＝．

∵a＋b>2 (a≠b)，∴x2<y2，∵x，y>0，∴x<y．

4． （当且仅当时，取“=”号），

（当且仅当时，取“=”号），

（当且仅当时，取“=”号）．

以上三式相加，得，

即（当且仅当时，取“=”号）．