高中数学苏教版 (2019)必修 第一册6.2 指数函数教案

第6章   幂函数、指数函数和对数函数

6.2  指数函数

第2课时  指数函数性质与运用

1.掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断．

2.能借助指数函数的性质比较大小．

3.会解简单的指数应用题．

教学重点：指数函数的单调性及应用．

教学难点：掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断．

PPT课件．

【新课导入】

宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14，并能与氧结合形成二氧化碳后进入所有活组织，先被植物吸收，后被动物纳入．只要植物或动物生存着，它们就会持续不断地吸收碳14，在机体内保持一定的水平．而当有机体死亡后，即会停止呼吸碳14，其组织内的碳14便开始衰变并逐渐消失．对于任何含碳物质，只要测定剩下的放射性碳14的含量，就可推断其年代．这就是考古学家常用的碳14测年法．你知道生物体内碳14的衰减有着怎样的变化规律吗？

引语：要解决这个问题，就需要进一步学习指数函数性质与运用．（板书：6.2.2  指数函数性质与运用）

设计意图：情境导入，引入新课．

【探究新知】

问题：阅读教材第135-136页，回答指数函数的图象与性质有哪些？

师生活动：学生分析解题思路，给出答案．

预设的答案：指数函数的图象和性质如下表所示：

追问：如何处理指数函数图象问题？

预设的答案：（1）抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点；

（2）利用图象变换，如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)；

（3）利用函数的奇偶性与单调性．奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势．

设计意图：培养学生分析和归纳的能力.

【巩固练习】

例1. 比较下列各题中两个值的大小.

(1)1.82.2 ，1.83；　(2)0.7－0.3 ，0.7－0.4；(3)1.90.4 ，0.92.4．

师生活动：学生分析解题思路，给出答案．

预设的答案：(1)∵1.82.2 ，1.83可看作函数y＝1.8x的两个函数值，

∵1.8>1，∴y＝1.8x在R上为增函数，

又2.2<3，∴1.82.2<1.83．

(2)∵y＝0.7x在R上为减函数，

又∵－0.3>－0.4，

∴0.7-0.3<0.7-0.4．

(3)∵1.90.4>1.90＝1，0.92.4<0.90＝1，

∴1.90.4>0.92.4．

反思与感悟：比较指数式的大小应根据所给指数式的形式，当底数相同时，运用单调性法求解；当底数不同时，利用一个中间量做比较进行求解．或借助于同一坐标系中的图象求解．

设计意图：掌握指数式大小比较的方法．

例2. 已知函数在R上是增函数，则实数a的取值范围是_______．

师生活动：学生分析解题思路，给出答案．

预设的答案：要使在上是增函数，则，解得．

故答案为：．

设计意图：掌握利用函数的单调性求参数的范围．

例3. 国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京年冬奧会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆、绿色场馆．并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染物数量与时间的关系为（为最初污染物数量）．如果前小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（    ）小时．

A． B． C． D．

师生活动：学生分析解题思路，给出答案．

预设的答案：由题意可得，可得，设，

可得，解得.

因此，污染物消除至最初的还需要小时．

故选：C．

设计意图：掌握解指数函数应用题的方法．

【课堂小结】

1.板书设计：

6.2.2  指数函数性质与运用

1. 幂式大小的比较        例1

2. 指数函数的单调性       例2

3. 指数函数的实际应用    例3

2．总结概括：

问题：1. 比较幂大小的方法有哪些？

2. 解决指数型函数应用题的流程是什么？

师生活动：学生尝试总结，老师适当补充．

预设的答案：

1.一般地，比较幂大小的方法有：

(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断；

(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的图象的变化规律来判断；

(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断．

2. (1)审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提取信息．

(2)建模：据已知条件，列出指数函数的关系式．

(3)解模：运用数学知识解决问题．

(4)回归：还原为实际问题，归纳得出结论．

设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确指数函数的性质的有关知识．

【目标检测】

1. 下列函数中是增函数的为（    ）

A． B． C． D．

设计意图：巩固指数函数的单调性．

2. 设，则（    ）

A． B． C． D．

设计意图：巩固指数函数的单调性．

3. 某电脑公司2016年的各项经营总收入中电脑配件的收入为40万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2018年经营总收入要达到169万元，且计划从2016年到2018年每年经营总收入的年增长率相同，则2017年预计经营总收入为________万元．

设计意图：巩固指数函数的应用题的解法．

4. 已知函数是R上的奇函数．

（1）求的值；

（2）用定义证明在R上为减函数；

（3）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．

设计意图：巩固指数函数的性质．

参考答案：

1. 对于A，为R上的减函数，不合题意，舍．

对于B，为R上的减函数，不合题意，舍．

对于C，在为减函数，不合题意，舍．

对于D，为R上的增函数，符合题意，

故选：D．

2. 因为函数在上为增函数，且，

所以，即，

又，所以，

所以．故选：A．

3. 设增长率为x，由题可得：，计算可得，

因此2017年预计经营收入为．故答案为：130．

4. （1）由函数是R上的奇函数知，即，解得.

（2）由（1）知．

任取，则：

因为，所以，所以，

又因为，故，

所以，即．

所以在上为减函数．

（3）不等式可化为，

因为是奇函数，故，

所以不等式可化为．

由（2）知在上为减函数，故即，

即对于任意，不等式恒成立．

设易知，

因此．

所以实数的取值范围是．