还剩8页未读，
继续阅读
所属成套资源：新苏教版数学必修第一册课件PPT全册
成套系列资料，整套一键下载
高中3.2 基本不等式备课ppt课件
展开
这是一份高中3.2 基本不等式备课ppt课件，共16页。
1 | 两个重要不等式
注意:①对于正数a,b,我们把 称为a,b的算术平均数, 称为a,b的几何平均数.②“当且仅当”的含义:一方面是当a=b时取等号,另一方面是仅当a=b时取等号.
1.对于正数a,b,(1)和a+b为定值s时,积ab有最⑤ 大 值,当且仅当a=b= 时取得最大值;(2)积ab为定值p时,和a+b有⑥ 小 值,当且仅当a=b= 时取得最小值.上述结论可归纳为“和定积最大,积定和最小”.2.在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件:一正——各项均为正数;二定——和或积为定值;三相等——等号成立的条件.
2 | 基本不等式与最值
已知a,b为正实数,则 ≥ ≥ ≥ (当且仅当a=b时,等号成立),其中 称为平方平均数, 称为调和平均数.
3 | 基本不等式链
1.不等式a2+b2≥2ab与 ≤ 有相同的适用范围. ( ✕ )提示:不等式a2+b2≥2ab对任意实数a,b都成立,而 ≤ 只有当a,b都是正数(特殊时可取0)时成立.2.若x>0,则y=x+ 的最小值是4. ( √ )提示:因为x>0,所以y=x+ ≥2 =2 =4(当且仅当x=2时,等号成立)+ 的最小值为2. ( ✕ )提示:当x>0时,y=x+ 的最小值为2.4.6和8的几何平均数为2 . ( ✕ )5.一个矩形的对角线长为10,则矩形的面积最大为60. ( ✕ )
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” .
提示:设矩形的长和宽分别为x,y,则x2+y2=100.于是矩形的面积S=xy≤ =50,当且仅当x=y=5 时,等号成立.故矩形的面积最大为50.
1 | 利用基本不等式求最值
利用基本不等式求最值的基本方法利用基本不等式求最值有关问题的关键是凑出“和”或“积”为定值,并保证等号成立.常见的方法技巧如下:(1)拆(裂项、拆项):对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和,再根据分式中分母的情况对整式进行拆项,为应用基本不等式凑定值创造条件.(2)并(分组并项):分组后各组可以单独应用基本不等式或分组后先对一组应用基本不等式,再在组与组之间应用基本不等式得出最值.
(4)换(常值代换、变量代换):对条件变形,以进行代换,从而构造利用基本不等式求最值的形式.常用于“已知ax+by=m(a,b,x,y均为正数),求 + 的最小值”和“已知 + =m(a,b,x,y均为正数),求x+y的最小值”两种类型.
(3)配(配式配系数,凑出定值):根据题设条件采取合理配式、配系数的方法,使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值,或配以恰当的系数后,使积式中的各项之和为定值.
利用基本不等式求最值的注意事项1.函数式中的各项必须都是正数,在异号时不能运用基本不等式,在同负时可以先进行转化,再运用基本不等式;2.函数式中含变量的各项的和或积必须是常数;3.考虑等号成立的条件是否具备,等号不成立时可用图象找出最大(小)值.函数y=x+ (a>0)的大致图象如图.
(1)已知a,b,x,y均为正数,且 + =1,求x+y的最小值;(2)已知x>0,y>0,且x+2y+xy=30,求xy的最大值.
思路点拨(1)采用常值代换的方法求解,也可以进行变量代换,再利用基本不等式求解;(2)变量代换,将y用x表示出来,计算xy,利用基本不等式求解.
解析 (1)解法一:x+y=(x+y) =a+b+ + ≥a+b+2 ,当且仅当 即 时,等号成立.故x+y的最小值为a+b+2 .解法二:由 + =1得x= ,∴x+y= +y= +y=a+ +y= +(y-b)+a+b.∵x>0,y>0,a>0,∴由 >0得y-b>0.∴x+y≥2 +a+b,
当且仅当 即 时,等号成立.故x+y的最小值为a+b+2 .(2)由x+2y+xy=30,得y= (0
解实际应用题时应注意:(1)根据实际问题抽象出函数关系式,再利用基本不等式求函数的最值.(2)在求函数的最值时,一定要在使实际问题有意义的自变量的取值范围内求解.
某果农种植一种水果,每年施肥和灌溉等需投入4万元.为了提高产量同时改善水果口味以赢得市场,计划在今年投入x万元用于改良品种.根据其他果农种植经验发现,该水果年产量t(万千克)与用于改良品种的资金投入x(万元)之间的关系大致为t=3- (x≥0,m为常数),若不改良品种,则年产量为1万千克.该水果最初售价为每千克 元,改良品种后,售价每千克提高 元.假设产量和价格不受其他因素的影响.(1)设该果农种植该水果所获得的年利润为y(万元),试求y(万元)关于资金投入x(万元)的函数关系式,并求投入2万元改良品种时的年利润;(2)该果农一年内投入多少万元用于改良品种,才能使得年利润最大?最大年利润
思路点拨(1)求出销售额与x的函数关系式,进而求出年利润与x的函数关系式,将x=2代入,求 得结果;(2)对(1)中式子进行变形,利用基本不等式求解.
解析 (1)由已知得3- =1,解得m=2,所以t=3- (x≥0).设改良品种后的销售额为w万元,则w= × = + - .所以y= + - -4-x= - - (x≥0).当x=2时,y= - - = ,即投入2万元改良品种时的年利润为 万元.(2)因为x≥0,所以x+1≥1,
1 | 两个重要不等式
注意:①对于正数a,b,我们把 称为a,b的算术平均数, 称为a,b的几何平均数.②“当且仅当”的含义:一方面是当a=b时取等号,另一方面是仅当a=b时取等号.
1.对于正数a,b,(1)和a+b为定值s时,积ab有最⑤ 大 值,当且仅当a=b= 时取得最大值;(2)积ab为定值p时,和a+b有⑥ 小 值,当且仅当a=b= 时取得最小值.上述结论可归纳为“和定积最大,积定和最小”.2.在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件:一正——各项均为正数;二定——和或积为定值;三相等——等号成立的条件.
2 | 基本不等式与最值
已知a,b为正实数,则 ≥ ≥ ≥ (当且仅当a=b时,等号成立),其中 称为平方平均数, 称为调和平均数.
3 | 基本不等式链
1.不等式a2+b2≥2ab与 ≤ 有相同的适用范围. ( ✕ )提示:不等式a2+b2≥2ab对任意实数a,b都成立,而 ≤ 只有当a,b都是正数(特殊时可取0)时成立.2.若x>0,则y=x+ 的最小值是4. ( √ )提示:因为x>0,所以y=x+ ≥2 =2 =4(当且仅当x=2时,等号成立)+ 的最小值为2. ( ✕ )提示:当x>0时,y=x+ 的最小值为2.4.6和8的几何平均数为2 . ( ✕ )5.一个矩形的对角线长为10,则矩形的面积最大为60. ( ✕ )
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” .
提示:设矩形的长和宽分别为x,y,则x2+y2=100.于是矩形的面积S=xy≤ =50,当且仅当x=y=5 时,等号成立.故矩形的面积最大为50.
1 | 利用基本不等式求最值
利用基本不等式求最值的基本方法利用基本不等式求最值有关问题的关键是凑出“和”或“积”为定值,并保证等号成立.常见的方法技巧如下:(1)拆(裂项、拆项):对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和,再根据分式中分母的情况对整式进行拆项,为应用基本不等式凑定值创造条件.(2)并(分组并项):分组后各组可以单独应用基本不等式或分组后先对一组应用基本不等式,再在组与组之间应用基本不等式得出最值.
(4)换(常值代换、变量代换):对条件变形,以进行代换,从而构造利用基本不等式求最值的形式.常用于“已知ax+by=m(a,b,x,y均为正数),求 + 的最小值”和“已知 + =m(a,b,x,y均为正数),求x+y的最小值”两种类型.
(3)配(配式配系数,凑出定值):根据题设条件采取合理配式、配系数的方法,使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值,或配以恰当的系数后,使积式中的各项之和为定值.
利用基本不等式求最值的注意事项1.函数式中的各项必须都是正数,在异号时不能运用基本不等式,在同负时可以先进行转化,再运用基本不等式;2.函数式中含变量的各项的和或积必须是常数;3.考虑等号成立的条件是否具备,等号不成立时可用图象找出最大(小)值.函数y=x+ (a>0)的大致图象如图.
(1)已知a,b,x,y均为正数,且 + =1,求x+y的最小值;(2)已知x>0,y>0,且x+2y+xy=30,求xy的最大值.
思路点拨(1)采用常值代换的方法求解,也可以进行变量代换,再利用基本不等式求解;(2)变量代换,将y用x表示出来,计算xy,利用基本不等式求解.
解析 (1)解法一:x+y=(x+y) =a+b+ + ≥a+b+2 ,当且仅当 即 时,等号成立.故x+y的最小值为a+b+2 .解法二:由 + =1得x= ,∴x+y= +y= +y=a+ +y= +(y-b)+a+b.∵x>0,y>0,a>0,∴由 >0得y-b>0.∴x+y≥2 +a+b,
当且仅当 即 时,等号成立.故x+y的最小值为a+b+2 .(2)由x+2y+xy=30,得y= (0
解实际应用题时应注意:(1)根据实际问题抽象出函数关系式,再利用基本不等式求函数的最值.(2)在求函数的最值时,一定要在使实际问题有意义的自变量的取值范围内求解.
某果农种植一种水果,每年施肥和灌溉等需投入4万元.为了提高产量同时改善水果口味以赢得市场,计划在今年投入x万元用于改良品种.根据其他果农种植经验发现,该水果年产量t(万千克)与用于改良品种的资金投入x(万元)之间的关系大致为t=3- (x≥0,m为常数),若不改良品种,则年产量为1万千克.该水果最初售价为每千克 元,改良品种后,售价每千克提高 元.假设产量和价格不受其他因素的影响.(1)设该果农种植该水果所获得的年利润为y(万元),试求y(万元)关于资金投入x(万元)的函数关系式,并求投入2万元改良品种时的年利润;(2)该果农一年内投入多少万元用于改良品种,才能使得年利润最大?最大年利润
思路点拨(1)求出销售额与x的函数关系式,进而求出年利润与x的函数关系式,将x=2代入,求 得结果;(2)对(1)中式子进行变形,利用基本不等式求解.
解析 (1)由已知得3- =1,解得m=2,所以t=3- (x≥0).设改良品种后的销售额为w万元,则w= × = + - .所以y= + - -4-x= - - (x≥0).当x=2时,y= - - = ,即投入2万元改良品种时的年利润为 万元.(2)因为x≥0,所以x+1≥1,
相关课件
高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式授课ppt课件： 这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式授课ppt课件，共22页。PPT课件主要包含了导入新课，精彩课堂，探索与发现，分析法，a-b，课堂练习，课堂总结等内容，欢迎下载使用。
高中苏教版 (2019)第3章 不等式3.2 基本不等式集体备课课件ppt： 这是一份高中苏教版 (2019)第3章 不等式3.2 基本不等式集体备课课件ppt，共25页。PPT课件主要包含了名师点睛，题型二常数代换法等内容，欢迎下载使用。
苏教版 (2019)必修 第一册第3章 不等式3.2 基本不等式教课课件ppt： 这是一份苏教版 (2019)必修 第一册第3章 不等式3.2 基本不等式教课课件ppt，文件包含苏教版高中数学必修第一册第3章32322基本不等式的应用课件ppt、苏教版高中数学必修第一册第3章32322基本不等式的应用学案doc、苏教版高中数学必修第一册课后素养落实11基本不等式的应用含答案doc等3份课件配套教学资源，其中PPT共51页， 欢迎下载使用。
