2020-2021学年3.2 基本不等式课后练习题

学业分层测评（二十一）

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是(　　)

A．0  B．1  C．2  D．4

【解析】　＝≥＝4，当且仅当x＝y时等号成立．

【答案】　D

2．设x>0，则y＝3－3x－的最大值是(　　)

A．3   B．3－2

C．3－2   D．－1

【解析】　y＝3－3x－＝3－≤3－2＝3－2，

当且仅当3x＝，即x＝时取等号．

【答案】　C

3．下列函数中，最小值为4的函数是(　　)

A．y＝x＋   B．y＝sin x＋

C．y＝ex＋4e－x   D．y＝log3x＋logx81

【解析】　A、D不能保证是两正数之和，sin x取不到2，只有C项满足两项均为正，当且仅当x＝ln 2时等号成立．

【答案】　C

4．已知m＝a＋(a>2)，n＝22－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是(　　)

A．m>n   B．m<n

C．m＝n   D．不确定

【解析】　∵a>2，∴a－2>0.

又∵m＝a＋＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4(当且仅当a－2＝，即a＝3时，“＝”成立)．

即m∈[4，＋∞)，由b≠0得b2≠0，

∴2－b2<2，∴22－b2<4，即n<4.

∴n∈(0,4)，综上易知m>n.

【答案】　A

5．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是(　　)

A．3  B．4  C.  D.

【解析】　∵x＋2y＋2xy＝8，∴y＝>0.

∴0<x<8，∴x＋2y＝x＋2·＝(x＋1)＋－2≥2－2＝4.

当且仅当x＋1＝，即x＝2时，取“＝”号，此时x＝2，y＝1.

【答案】　B

二、填空题

6．建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．

【解析】　设水池的造价为y元，长方体底的一边长为x m，由于底面积为4 m2，所以另一边长为 m．那么

y＝120·4＋2·80·

＝480＋320≥480＋320·2＝1 760(元)．

当x＝2，即底为边长为2 m的正方形时，水池的造价最低，为1 760元．

【答案】　1 760

7．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．

【解析】　因为x>0，所以x＋≥2.

当且仅当x＝1时取等号，所以有

＝≤＝，

即的最大值为，

故a≥.

【答案】　

8．设a>0，b>0，给出下列不等式：

①a2＋1>a；

②≥4；

③(a＋b)≥4；

④a2＋9>6a.

其中恒成立的是________(填序号)．

【解析】　由于a2＋1－a＝2＋>0，故①恒成立；

由于a＋≥2，b＋≥2.

∴≥4，故②恒成立；

由于a＋b≥2，＋≥2，

故(a＋b)·≥4，故③恒成立；当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不能恒成立．

【答案】　①②③

三、解答题

9．(1)已知x<3，求f(x)＝＋x的最大值；

(2)已知x，y∈R＋，且x＋y＝4，求＋的最小值. 【导学号：05920079】

【解】　(1)∵x<3，∴x－3<0，

∴f(x)＝＋x＝＋(x－3)＋3

＝－＋3

≤－2＋3＝－1，

当且仅当＝3－x，即x＝1时取等号，

∴f(x)的最大值为－1.

(2)法一　∵x，y∈R＋，

∴(x＋y)＝4＋≥4＋2.

当且仅当＝，即x＝2(－1)，y＝2(3－)时取“＝”号．

又x＋y＝4，∴＋≥1＋，

故＋的最小值为1＋.

法二　∵x，y∈R＋，且x＋y＝4，

∴＋＝＋＝1＋≥1＋2＝1＋.

当且仅当＝，即x＝2(－1)，y＝2(3－)时取“＝”号．

∴＋的最小值为1＋.

10．某种汽车，购车费用是10万元，每年使用保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？

【解】　设使用x年平均费用最少．由条件知，汽车每年维修费用构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列．

因此，汽车使用x年总的维修费用为x万元．

设汽车的年平均费用为y万元，则有

y＝＝＝1＋＋≥1＋2＝3.

当且仅当＝，即x＝10时，y取最小值．

即这种汽车使用10年时，年平均费用最少．

[能力提升]

1．(2015·湖南高考)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)

A.  B．2  C．2  D．4

【解析】　由＋＝知a>0，b>0，所以＝＋≥2，即ab≥2，

当且仅当即a＝，b＝2时取“＝”，所以ab的最小值为2.

【答案】　C

2．若lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)，则xy的最小值为(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

【解】　由lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)，

得

因为 x>0，y>0，所以 3xy＝x＋y＋1≥2＋1，

所以 3xy－2－1≥0，

即 3()2－2－1≥0，

所以(3＋1)(－1)≥0，

所以≥1，所以 xy≥1，

当且仅当 x＝y＝1 时，等号成立，

所以 xy 的最小值为1.

【答案】　A

3．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时＋－的最大值为________．

【解析】　＝＝≤＝1

当且仅当x＝2y时等式成立，此时z＝2y2，＋－＝－＋＝－2＋1≤1，当且仅当y＝1时等号成立，故所求的最大值为1.

【答案】　1

4．已知函数f(x)＝lg x(x∈R＋)，若x1，x2∈R＋，判断[f(x1)＋f(x2)]与f的大小并加以证明．

【解】　[f(x1)＋f(x2)]≤f.

证明：f(x1)＋f(x2)

＝lg x1＋lg x2＝lg(x1·x2)，

f＝lg.

∵x1，x2∈R＋，∴≥ ，

∴lg≤lg，

即lg(x1·x2)≤lg，

∴(lg x1＋lg x2)≤lg.

故[f(x1)＋f(x2)]≤f.