苏教版 (2019)必修 第一册3.2 基本不等式课文配套课件ppt

3.2.2　基本不等式的应用

课标要求　1.进一步熟练掌握基本不等式，能够通过拼凑、变形等利用基本不等式求最值.2.能够利用基本不等式解决实际问题.

素养要求　通过学习掌握基本不等式及其应用，提升学生的数学运算、逻辑推理、数学建模素养.

1.思考　(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件相同吗？基本不等式≥成立的条件能省略吗？

提示　两个不等式成立的条件是不同的：前者要求a，b都是实数，而后者要求a，b都是非负数.基本不等式成立的条件“a，b≥0”不能省略，例如≥是不成立的.

(2)基本不等式≥“当且仅当a＝b时，等号成立”的含义是什么？

提示　一方面是当a＝b时取等号，即a＝b⇒＝；另一方面是仅当a＝b时取等号，即＝⇒a＝b.

2.填空　对于正数a，b，在运用基本不等式时应注意：(1)和a＋b为定值时，积ab有最大值；积ab为定值时，和a＋b有最小值.(2)取等号的条件(当且仅当a＝b时，＝).

温馨提醒　(1)利用基本不等式求最值要把握下列三个条件：

①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可.

(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件.注意“1”的代换.

3.做一做　(1)思考辨析，判断正误

①对于实数a，b，若a＋b为定值，则有最大值.(　　)

②对于实数a，b，若为定值，则a＋b有最小值.(　　)

③若x>2，则x＋的最小值为2.(　　)

提示　①×　a，b应为非负实数.

②×　a，b应为非负实数.

③×　当且仅当x＝1时才能取得最小值2，但x>2，取不到最小值2.

(2)已知2a＋b＝1，a>0，b>0，则＋的最小值是(　　)

A.2   B.3－2

C.3＋2   D.3＋

答案　C

解析　＋＝(2a＋b)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，即a＝1－，b＝－1时，等号成立.

∴＋的最小值是3＋2.

题型一　基本不等式的变形应用求最值

角度1　积定求和或和定求积的最值

例1 (1)若a>0，b>0，a＋2b＝5，则ab的最大值为(　　)

A.25   B. 

C.   D.

(2)若0<x<，则y＝2x·(1－3x)的最大值是________.

答案　(1)D　(2)

解析　(1)a>0，b>0，a＋2b＝5，

则ab＝a·2b≤·＝，

当且仅当a＝2b，即a＝，b＝时，等号成立.

(2)∵0<x<，∴1－3x>0，∴y＝2x·(1－3x)＝×3x·(1－3x)≤×＝，

当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立.

角度2　“1”的代换求最值

例2 (1)已知x>0，y>0且＋＝1，则x＋y的最小值为________.

(2)已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值是________.

答案　(1)16　(2)9

解析　(1)法一(1的代换)

因为＋＝1，所以x＋y＝(x＋y)＝10＋＋.

因为x>0，y>0，所以＋≥2＝6，

当且仅当＝，即y＝3x　①时，取“＝”.

又＋＝1②，解①②可得x＝4，y＝12.

所以当x＝4，y＝12时，

x＋y的最小值是16.

法二(消元法)　由＋＝1，得x＝.

因为x>0，y>0，所以y>9，

所以x＋y＝＋y＝y＋＝y＋＋1

＝(y－9)＋＋10.

因为y>9，所以y－9>0，

所以(y－9)＋≥2＝6，

当且仅当y－9＝，即y＝12时，取“＝”，此时x＝4，

所以当x＝4，y＝12时，x＋y的最小值是16.

(2)∵x＋y＝1，

∴＋＝(x＋y)＝1＋4＋＋.

∵x>0，y>0，∴>0，>0，

∴＋≥2＝4，

∴5＋＋≥9，

当且仅当

即x＝，y＝时等号成立.

∴＝9.

角度3　恒成立问题求最值

例3 已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值等于(　　)

A.10   B.9 

C.8   D.7

答案　B

解析　因为a>0，b>0，所以2a＋b>0，所以要使＋≥恒成立，只需m≤(2a＋b)恒成立，而(2a＋b)＝4＋＋＋1≥5＋2＝9，当且仅当a＝b时，等号成立，所以m≤9.

思维升华　利用基本不等式求条件最值的常用方法

(1)“1”的代换：利用已知的条件或将已知条件变形得到含“1”的式子，将“1”代入后再利用基本不等式求最值.

(2)构造法：

①构造不等式：利用ab≤，将式子转化为含ab或a＋b的不等式，将ab，(a＋b)作为整体解出范围；

②构造定值：结合已知条件对要求的代数式变形，构造出和或积的定值，再利用基本不等式求最值.

训练1 (1)若正数x，y满足x＋4y－xy＝0，则x＋y的最小值为(　　)

A.9   B.8 

C.5   D.4

(2)已知a>0，b>0，a＋b＝＋，则＋的最小值为(　　)

A.4   B.2 

C.8   D.16

答案　(1)A　(2)B

解析　(1)由x＋4y－xy＝0，得x＋4y＝xy，所以＋＝1，

则x＋y＝(x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝5＋4＝9，

当且仅当x＝2y，即x＝6，y＝3时等号成立，则x＋y的最小值为9.

(2)由a>0，b>0，a＋b＝＋＝，得ab＝1，则＋≥2＝2，当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立.故选B.

题型二　基本不等式的实际应用

例4 围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示.已知旧墙的维修费用为45 元/m，新墙的造价为180 元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元).

(1)用x表示y；

(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.

解　(1)设矩形的另一边长为a m，

则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360.

由已知得xa＝360，得a＝.

∴y＝225x＋－360(x>0).

(2)∵x>0，∴225x＋≥2＝10 800，

∴y＝225x＋－360≥10 440，

当且仅当225x＝，即x＝24时，等号成立.

故当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元.

思维升华　利用基本不等式解决实际问题的步骤

(1)先理解题意，设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为y.

(2)建立相应的关系式，把实际问题抽象为y的最大值或最小值问题.

(3)利用基本不等式求出y的最大值或最小值.

(4)正确写出答案.

训练2 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件，每件产品的平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品多少件？

解　设平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y元，则y＝＝＋≥2＝20，

当且仅当＝，即x＝80(x＝－80舍去)时等号成立.

故每批生产产品80件时，可使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小.

[课堂小结]

掌握1种方法——利用基本不等式求最值的方法

(1)利用基本不等式求最值要把握下列三个条件：

①一正——各项为正数；

②二定——和或积为定值；

③三相等——等号一定能取到.

(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，要采用“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件.

一、基础达标

1.若(x>1)在x＝t处取得最小值，则t等于(　　)

A.1＋   B.2

C.3   D.4

答案　B

解析　＝＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立.

2.已知a>0，b>0，3a＋b＝2ab，则a＋b的最小值为(　　)

A.   B.2 

C.2＋   D.3＋

答案　C

解析　由3a＋b＝2ab，得＋＝1，

则a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥

2＋2＝2＋，当且仅当b＝a时等号成立，则a＋b的最小值为2＋.

3.欲用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的面积最大的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长、宽分别为(　　)

A.15 m， m   B.15 m， m

C.7 m， m   D.7 m， m

答案　A

解析　设矩形的长为x m，宽为y m，则x＋2y＝30，所以S＝xy＝x·(2y)≤＝，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝时取等号.

4.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是(　　)

A.6.5 m   B.6.8 m 

C.7 m   D.7.2 m

答案　C

解析　设两直角边长分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab＝2，∴ab＝4，l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2≈6.828(m).∵要求够用且浪费最少，故选C.

5.已知a>0，b>0，＋＝，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为(　　)

A.8   B.7 

C.6   D.5

答案　C

解析　由已知可得6＝1，

∴2a＋b＝6(2a＋b)＝6≥6×＝54，

当且仅当＝，即a＝b＝18时等号成立，

∴9m≤54，即m≤6，故选C.

6.已知x，y都是正数.

(1)如果xy＝15，则x＋y的最小值是________；

(2)如果x＋y＝15，则xy的最大值是________.

答案　(1)2　(2)

解析　(1)x＋y≥2＝2，当且仅当x＝y＝时等号成立，即x＋y的最小值是2.

(2)xy≤＝＝，当且仅当x＝y＝时等号成立，即xy的最大值是.

7.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比.如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处.

答案　5

解析　设仓库与车站的距离为d，则y1＝，y2＝k2d，由题意知2＝，8＝10k2，∴k1＝20，k2＝0.8.∴y1＋y2＝＋0.8d≥2＝8，当且仅当＝0.8d，即d＝5时，等号成立.

8.若对任意x>0，≤a恒成立，则实数a的取值范围是________.

答案　

解析　因为x>0，所以＝≤＝，

当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立，

所以的最大值为.

所以a≥.

9.已知x，y都是正数.

(1)若3x＋2y＝12，求xy的最大值；

(2)若x＋2y＝3，求＋的最小值.

解　(1)∵3x＋2y＝12，

∴xy＝×3x·2y≤×＝6，

当且仅当3x＝2y，

即x＝2，y＝3时，等号成立.

∴xy的最大值为6.

(2)∵x＋2y＝3，∴1＝＋，

∴＋＝＝＋＋＋≥1＋2＝1＋，

当且仅当＝，

即x＝3－3，y＝3－时取等号，

∴＋的最小值为1＋.

10.某人准备租一辆车从甲地出发去乙地，已知从出发点到目的地的距离为100 km，按交通法规定：这段公路车速限制在40～100(单位：km/h)之间.假设目前油价为7.2 元/L，汽车的耗油率为L/h，其中x(单位：km/h)为汽车的行驶速度，耗油率指汽车每小时的耗油量.租车需付给司机每小时的工资为76.4元，不考虑其他费用，这次租车的总费用最少是多少？此时的车速x是多少？(注：租车总费用＝耗油费＋司机的工资)

解　设总费用为y元.由题意得

y＝76.4·＋7.2··＝＋2x(40≤x≤100).

因为y＝＋2x≥2

＝280，

当且仅当＝2x，即x＝70时取等号，

所以这次租车的总费用最少是280元，此时的车速为70 km/h.

二、能力提升

11.(多选)若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列说法正确的是(　　)

A.ab有最小值

B.＋有最大值

C.＋有最小值4

D.a2＋b2有最小值

答案　BC

解析　∵a>0，b>0, 且a＋b＝1，∴ab≤＝，

当且仅当a＝b时等号成立.

∴ab有最大值，∴A错误；

(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤1＋(a＋b)＝2，

当且仅当a＝b＝时等号成立，

即＋≤，∴B正确；

＋＝(a＋b)＝2＋＋

≥2＋2＝4，

当且仅当a＝b时等号成立，∴C正确；

又a2＋b2≥2ab，

∴a2＋b2≥＝＝，即a＝b时，a2＋b2有最小值，故D错误.

12.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m，面积最大为________m2.

答案　20　400

解析　设矩形花园的另一边长为y m，则＝，即y＝40－x，矩形花园的面积

S＝x(40－x)≤＝400，当且仅当x＝20时，等号成立，即当x＝20 m时，面积最大，最大值为400 m2.

13.设计用32 m2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通法规定厢宽为2 m，求车厢的最大容积.

解　设车厢的长为b m，高为a m.

由已知得2b＋2ab＋4a＝32，即b＝，

∴V＝a··2＝2·.

设a＋1＝t，则V＝2≤

2＝16，

当且仅当t＝3，即a＝2，b＝4时等号成立.

故车厢的最大容积是16 m3.

三、创新拓展

14.已知正实数x，y满足xy＋2x＋3y＝42，则xy＋5x＋4y的最小值为________.

答案　55

解析　因为正实数x，y满足xy＋2x＋3y＝42，所以y＝>0且x>0，解得0<x<21.则xy＋5x＋4y＝3x＋y＋42＝3x＋＋42＝3＋31≥3×2＋31＝55，当且仅当x＝1，y＝10时取等号.所以xy＋5x＋4y的最小值为55.