高中数学苏教版 (2019)必修 第一册3.2 基本不等式教学设计及反思

第3章   不等式

3.2  基本不等式

第2课时  基本不等式的应用

1．掌握基本不等式≤ (a>0，b>0) ．

2．熟练掌握基本不等式，能够通过拼凑、变形等利用基本不等式求最值．

3．能够利用基本不等式解决实际问题．

教学重点：利用基本不等式求最值．

教学难点：通过拼凑、变形等利用基本不等式求最值．

PPT课件．

一、新课导入

问题1：基本不等式是什么？如何理解基本不等式？

师生活动：学生先回忆，老师再总结．

预设的答案：基本不等式≤ (a＞0，b＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系；对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条件是a、b都是正数．(2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，≤的等号成立，即＝⇒a＝b．

【想一想】基本不等式的应用有哪些？

设计意图：回顾旧知识，引入课题

引语：要解决这个问题，就需要进一步学习基本不等式的应用.（板书：3.2.2基本不等式的应用）

【探究新知】

问题2：阅读教材P54，例2，思考运用基本不等式求最值应满足的条件．

师生活动：学生分析解题思路，给出答案．

预设的答案：一正二定三相等．

追问1：当基本不等式使用条件不具备时，常用的变形技巧有哪些？

预设的答案：“拼”、“凑”、“拆”、“合”、“放缩”等变形．

追问2：使用基本不等式求最值注意什么？

预设的答案：两个正数的和为常数时，它们的积有最大值；两个正数的积为常数时，它们的和有最小值．

(1)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值.

(2)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值.

设计意图：探究运用基本不等式求最值应满足的条件及注意事项．

【巩固练习】

例1. (1)已知m，n＞0，且m＋n＝16，求mn的最大值；

(2)已知x＞3，求x＋的最小值．

师生活动：学生分析解题思路，给出答案．

预设的答案：

(1)∵m，n＞0且m＋n＝16，∴由基本不等式可得：mn≤＝＝64，当且仅当m＝n＝8时，mn取得最大值64．

(2)∵x＞3，∴x－3＞0，＞0，

于是x＋＝x－3＋＋3≥2 ＋3＝7，

当且仅当x－3＝即x＝5时，x＋取得最小值7．

变式1：(1)若x＜0，求＋3x的最大值；

(2)若x＞2，求＋x的最小值；

(3)已知0＜x＜，求x(1－2x)的最大值．

师生活动：学生分析解题思路，给出答案．

预设的答案：

(1)因为x＜0，所以＋3x＝－≤－2＝－12，当且仅当－＝－3x，即x＝－2时等号成立，所以＋3x的最大值为－12．

(2)因为x＞2，所以x－2＞0，＋x＝＋x－2＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝，即x＝3时等号成立，所以＋x的最小值为4．

(3)因为0＜x＜，所以1－2x＞0，x(1－2x)＝·2x(1－2x)≤＝，

当且仅当2x＝1－2x，即x＝时等号成立，所以x(1－2x)的最大值为．

变式2：已知正数a，b满足，则的最小值等于（    ）

A．4 B． C．8 D．9

师生活动：学生分析解题思路，给出答案．

预设的答案：因为，所以，所以，

，

当且仅当，即时等式成立，故选：D．

反思与感悟：利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则．

(1)一正：符合基本不等式≥成立的前提条件：a>0，b>0．

(2)二定：化不等式的一边为定值．

(3)三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立．

以上三点缺一不可．

设计意图：掌握运用基本不等式求最值的方法及常见的变形技巧．

例2. 某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200 万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100 万元，每辆车第一年各种费用约为16 万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16 万元．

(1)写出4辆车运营的总利润y(万元)与运营年数x(x∈N*)的函数关系式．

(2)这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？

师生活动：学生分析解题思路，给出答案．

预设的答案：(1)依题意，每辆车x年总收入为100x万元，

总支出为200＋16×(1＋2＋…＋x)＝200＋x(x＋1)·16．

∴y＝4＝16(－2x2＋23x－50)．

(2)年平均利润为＝16＝16．

又x∈N*，∴x＋≥2 ＝10，

当且仅当x＝5时，等号成立，此时≤16×(23－20)＝48．

 ∴运营5年可使年平均运营利润最大，最大利润为48 万元．

反思与感悟：在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下的思路和方法：

(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；

(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；

(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；

(4)根据实际背景写出答案．

设计意图：建立适当的函数，利用基本不等式解决实际问题中的最值问题．

【课堂小结】

1．             板书设计：

3.2.2  基本不等式的应用

1. 利用基本不等式求最值          例1

变式1                                           变式2

2. 利用基本不等式解决实际问题    例2

2．总结概括：

问题：1.利用基本不等式求最值的原则有哪些？

2. 利用基本不等式求最值的结论是什么？

3. 在应用基本不等式解决实际问题时的思路和方法是什么？

师生活动：学生尝试总结，老师适当补充．

预设的答案：

1.(1)一正：符合基本不等式≤成立的前提条件：a>0，b>0．

(2)二定：化不等式的一边为定值．

(3)三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立．

以上三点缺一不可．

2. 若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式．

 3.(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；

(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；

(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；

(4)根据实际背景写出答案．

设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确基本不等式应用的有关知识．

布置作业：

【目标检测】

1. 函数（）的最小值为（    ）

A． B． C． D．

设计意图：巩固运用基本不等式求最值．

2. 由于近年来，冬季气候干燥，冷空气频繁袭来，为提高公民的取暖水平，某社区决定建立一个取暖供热站．已知供热站每月自然消费与供热站到社区的距离成反比，每月供热费与供热站到社区的距离成正比，如果在距离社区20千米处建立供热站，这两项费用分别为5千元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，供热站应建在离社区（    ）

A．5千米 B．6千米 C．7千米 D．8千米

设计意图：巩固运用基本不等式求实际问题中的最值．

3. 已知正实数，满足，则的最小值是（    ）

A．25 B．18 C．16 D．8

设计意图：巩固运用基本不等式求最值．

4. 已知非负数满足，则的最小值是（    ）

A．3 B．4 C．10 D．16

设计意图：巩固运用基本不等式求最值．

5. 已知，且.

（1）求的最大值；

（2）求的最小值．

设计意图：巩固运用基本不等式求最值．

参考答案：

1. 因为，所以，所以，

当且仅当，即时取等号，

所以函数（）的最小值为，

故选：B．

2. 设供热站应建在离社区x千米处，则自然消费，供热费，

由题意得：当时，，，

所以，

所以，．

两项费用之和，

当且仅当，即时等号成立，

所以要使这两项费用之和最小，供热站应建在离社区5千米处．

故选：A．

3. ，则，

所以，当且仅当，即时等号成立．

故选：C．

4. 由，可得，

当且仅当时取等号，故选：B．

5. （1）因为所以，

即当且仅当取等号．

又，所以当时，的最大值为．

（2）因为且.

，

当且仅当即取等号．又，所以当时，的最小值为5．