苏教版 (2019)必修 第一册3.2 基本不等式教案设计

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本节是基本不等式的应用，让同学们感受数学是来源于生活，又作用于生活.也是一门基础科学，应当感受到数学对物理、化学等其他学科的作用.作为本节课的学习任务，同学们还应当掌握解决实际应用题的一般程序，即审题，建模，研究模，再回到实际问题验证作答.
1. 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
2. 能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.
1．重要不等式
当a，b是任意实数时，有a2＋b2≥ 2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
2．基本不等式
(1)有关概念：当a，b均为正数时，把eq \f(a＋b,2)称为正数a，b的算术平均数，把eq \r(ab)称为正数a，b的几何平均数．
(2)基本不等式定义：如果a，b是正数，那么eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)，当且仅当a＝b时取“＝”．
(3)变形：ab ≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2≤eq \f(a2＋b2,2)，a＋b≥ 2eq \r(ab) (其中a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时等号成立)．
已知x，y∈(0，＋∞)，
(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值eq \f(S2,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(xy≤\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋y,2)))2＝\f(S2,4)))；
(2)若xy＝P(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2eq \r(P) (x＋y≥2eq \r(xy)＝2eq \r(P))．
在运用基本不等式求最值时，必须保证“一正，二定，三相等”，凑出定值是关键．
典例剖析
题型一 基本不等式与最值
例1 (1)若x>0，求函数y＝x＋eq \f(4,x)的最小值，并求此时x的值；
(2)设0(3)已知x>2，求x＋eq \f(4,x－2)的最小值；
(4)已知x>0，y>0，且 eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，求x＋y的最小值.
解 (1)当x>0时，x＋eq \f(4,x)≥2eq \r(x·\f(4,x))＝4，
当且仅当x＝eq \f(4,x)，即x2＝4，x＝2时，取等号.
∴函数y＝x＋eq \f(4,x)(x>0)在x＝2处取得最小值4.
(2)∵00，
∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2x＋3－2x,2)))2＝eq \f(9,2).
当且仅当2x＝3－2x，即x＝eq \f(3,4)时，等号成立.
∵eq \f(3,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,2)))，
∴函数y＝4x(3－2x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0(3)∵x>2，∴x－2>0，
∴x＋eq \f(4,x－2)＝x－2＋eq \f(4,x－2)＋2≥2 eq \r(x－2·\f(4,x－2))＋2＝6，
当且仅当x－2＝eq \f(4,x－2)，
即x＝4时，等号成立.∴x＋eq \f(4,x－2)的最小值为6.
(4)方法一 ∵x>0，y>0，eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，
∴x＋y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(9,y)))(x＋y)＝eq \f(y,x)＋eq \f(9x,y)＋10
≥2eq \r(\f(y,x)·\f(9x,y))＋10＝6＋10＝16，
当且仅当eq \f(y,x)＝eq \f(9x,y)，eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，
即x＝4，y＝12时，上式取等号.
故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
方法二 由eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，得(x－1)(y－9)＝9(定值).
由eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1可知x>1，y>9，
∴x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10≥2eq \r(x－1y－9)＋10＝16，
当且仅当x－1＝y－9＝3，即x＝4，y＝12时，上式取等号，
故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
点评 在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备.
变式训练：(1)已知x>0，求f(x)＝eq \f(12,x)＋3x的最小值；
(2)已知x<3，求f(x)＝eq \f(4,x－3)＋x的最大值.
解 (1)∵x>0，∴f(x)＝eq \f(12,x)＋3x≥2eq \r(\f(12,x)·3x)＝12，
当且仅当3x＝eq \f(12,x)，即x＝2时，取等号，
∴f(x)的最小值为12.
(2)∵x<3，∴x－3<0，
∴f(x)＝eq \f(4,x－3)＋x＝eq \f(4,x－3)＋x－3＋3
＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(4,3－x)＋3－x))＋3≤－2eq \r(\f(4,3－x)·3－x)＋3
＝－1，
当且仅当eq \f(4,3－x)＝3－x，即x＝1时，取等号.
∴f(x)的最大值为－1.
题型二 基本不等式在实际问题中的应用
例2 (1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？
(2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
解 (1)设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
则xy＝100，篱笆的长为2(x＋y) m.
由eq \f(x＋y,2)≥eq \r(xy)，可得x＋y≥2eq \r(100)，2(x＋y)≥40.
当且仅当x＝y＝10时等号成立.
所以这个矩形的长、宽都为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40 m.
(2)设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则2(x＋y)＝36，x＋y＝18，矩形菜园的面积为xy m2.
由eq \r(xy)≤eq \f(x＋y,2)＝eq \f(18,2)＝9，可得xy≤81，
当且仅当x＝y＝9时，等号成立.
所以这个矩形的长、宽都为9 m时，菜园的面积最大，最大面积为81 m2.
点评 利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件.
变式训练：某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：
(1)仓库面积S的最大允许值是多少？
(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
[解] (1)设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，而顶部面积为S＝xy，依题意得，40x＋2×45y＋20xy＝3 200，
由基本不等式得
3 200≥2eq \r(40x×90y)＋20xy
＝120eq \r(xy)＋20xy＝120eq \r(S)＋20S.
所以S＋6eq \r(S)－160≤0，即(eq \r(S)－10)(eq \r(S)＋16)≤0，
故eq \r(S)≤10，从而S≤100，
所以S的最大允许值是100平方米，
(2)取得最大值的条件是40x＝90y且xy＝100，
求得x＝15，即铁栅的长是15米．
基本不等式是解决函数值域、最值、不等式证明、参数范围问题的有效工具，考试中经常出现，有时也会对其单独考查．题目难度为中等偏上．应用时，要注意“拆、拼、凑”等技巧，特别要注意应用条件，只有具备公式应用的三个条件时，才可应用，否则可能会导致结果错误．课程目标
学科素养
A.熟练掌握基本不等式及变形的应用.
B.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
C.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.
1.数学建模 能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.
2.逻辑推理 熟练掌握基本不等式及变形的应用.
3.数学运算 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
4. 直观想象 运用图像解释基本不等式.