人教版八年级数学下册 第十七章 勾股定理单元测试卷

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第十七章 勾股定理单元测试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（2022秋·辽宁锦州·八年级统考期中）以下列各组数的长为边作三角形，不能构成直角三角形的是（    ）
A．3，4，5 B．4，5，6 C．6，8，10 D．9，12，15
2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，大正方形是由4个小正方形组成，小正方形的边长为2，连接小正方形的三个顶点，得到△ABC，则△ABC的面积为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10
3．（2022·贵州贵阳·统考中考真题）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是（    ）

A．4 B．8 C．12 D．16
4．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5m，则小巷的宽为（　　　）．

A．2.4m B．2.5m C．2.6m D．2.7m
5．（2023春·八年级课时练习）学校旗杆上的绳子垂到地面还多2米，将绳子的下端拉开6米后，下端刚好接触地面，则旗杆的高度为（    ）
A．8米 B．10米 C．12米 D．14米
6．（2023春·八年级课时练习）如图，中，，，．为的角平分线，的长度为(   )

A．2 B． C．3 D．

二、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（2023春·八年级课时练习）在直角坐标系内，已知点，，且，那么的值是_______ ．
8．（2021·四川成都·统考中考真题）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为_________．

9．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在中，，，，D为BC边上一点将沿AD折叠，若点B恰好落在线段AC的延长线上点E处，则CD的长为______．

10．（2023春·八年级单元测试）课本中有这样一句话：“利用勾股定理可以作出，，…线段（如图所示）．”即：，过A作且，根据勾股定理，得；再过作且，得；…以此类推，得________．

11．（2023春·全国·八年级专题练习）如图是数学史上著名的“希波克拉底月牙问题”：在中，，，，，分别以的各边为直径向外作半圆，则图中两个“月牙”，即阴影部分的面积为________．（用含，，的式子表示）

12．（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝10，BE＝，则AB的长是 _____．


三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，把长方形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处.

（1）试说明；
（2）设，，，试猜想，，之间的关系，并说明理由.







14．（2022·贵州安顺·统考中考真题）如图，在中，，，是边上的一点，以为直角边作等腰，其中，连接．

(1)求证：；
(2)若时，求的长．







15．（2023春·八年级课时练习）如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，以便估算产量．小明测得，又已知．求这块土地的面积．




16．（2023春·八年级课时练习）如图，，，．

(1)求证：≌．
(2)若，，，求的长．







17．（2022秋·江西抚州·八年级统考期末）长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．

(1)求风筝的垂直高度CE；
(2)如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？







四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（2023春·八年级课时练习）笔直的河流一侧有一旅游地点，河边有两个漂流点、，且点到点的距离等于点到点的距离．近阶段由于点到点的路线处于维修中，为方便游客决定在河边新建一个漂流点（点在同一条直线上），并新建一条路，测得，，．

(1)判断的形状，并说明理由；
(2)求原路线的长．


19．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在中，边上的垂直平分线为与分别交于点D、E，且．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．






20．（2023春·全国·八年级专题练习）在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．

(1)求证：；
(2)求原来的路线的长．





五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（2023春·全国·八年级专题练习）聊城市在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？




22．（2022秋·八年级单元测试）先阅读下面的一段文字，再解答问题．
已知：在平面直角坐标系中，任意两点M()，N（），其两点之间的距离公式为．
同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点之间的距离公式可以简化为或．
(1)已知点A（1，5），B（-3，6），试求A，B两点之间的距离；
(2)已知点A，B在垂直于轴的直线上，点A的坐标为（-5，），AB=8，试确定点B的坐标；
(3)已知点A（0，6），B（-3，2），C（3，2），请判断△ABC的形状，并说明理由．




六、（本大题共12分）
23．（2022秋·山东淄博·七年级统考期中）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即ab×4＋（b－a）2，从而得到等式c2＝ab×4＋（b－a）2，化简便得结论a2＋b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面两个问题：

(1)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝3，BC＝4，求CD的长度．
(2)如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．


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第十七章 勾股定理单元测试卷答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（2022秋·辽宁锦州·八年级统考期中）以下列各组数的长为边作三角形，不能构成直角三角形的是（    ）
A．3，4，5 B．4，5，6 C．6，8，10 D．9，12，15
【答案】B
2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，大正方形是由4个小正方形组成，小正方形的边长为2，连接小正方形的三个顶点，得到△ABC，则△ABC的面积为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
3．（2022·贵州贵阳·统考中考真题）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是（    ）

A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】B
4．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5m，则小巷的宽为（　　　）．

A．2.4m B．2.5m C．2.6m D．2.7m
【答案】D
．
5．（2023春·八年级课时练习）学校旗杆上的绳子垂到地面还多2米，将绳子的下端拉开6米后，下端刚好接触地面，则旗杆的高度为（    ）
A．8米 B．10米 C．12米 D．14米
【答案】A
6．（2023春·八年级课时练习）如图，中，，，．为的角平分线，的长度为(   )

A．2 B． C．3 D．
【答案】C

二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（2023春·八年级课时练习）在直角坐标系内，已知点，，且，那么的值是_______ ．
【答案】
8．（2021·四川成都·统考中考真题）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为_________．

【答案】100．
9．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在中，，，，D为BC边上一点将沿AD折叠，若点B恰好落在线段AC的延长线上点E处，则CD的长为______．

【答案】3
10．（2023春·八年级单元测试）课本中有这样一句话：“利用勾股定理可以作出，，…线段（如图所示）．”即：，过A作且，根据勾股定理，得；再过作且，得；…以此类推，得________．

【答案】
11．（2023春·全国·八年级专题练习）如图是数学史上著名的“希波克拉底月牙问题”：在中，，，，，分别以的各边为直径向外作半圆，则图中两个“月牙”，即阴影部分的面积为________．（用含，，的式子表示）

【答案】
12．（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝10，BE＝，则AB的长是 _____．

【答案】12
【分析】延长BE交AD于点F，由“ASA”可证△BCE≌△FDE，可得DF＝BC＝5，BE＝EF，由勾股定理可求AB的长．
【详解】如图，延长BE交AD于点F，

∵点E是DC的中点，
∴DE＝CE，
∵AB⊥BC，AB⊥AD，
∴AD∥BC，
∴∠ D＝∠BCE，∠FED＝∠BEC，
∴ △BCE≌△FDE（ASA），
∴DF＝BC＝5，BE＝EF，
∴BF＝2BE＝13，AF=5,
在Rt△ABF中，由勾股定理可得AB＝12．
故答案为：12．


三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

13．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，把长方形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处.

（1）试说明；
（2）设，，，试猜想，，之间的关系，并说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2），，之间的关系是．理由见解析．
【分析】（1）根据折叠的性质、平行的性质及等角对等边即可说明；（2）根据折叠的性质将AE、AB、BF都转化到直角三角形中，由勾股定理可得，，之间的关系．
【详解】（1）由折叠的性质 ，得，，
在长方形纸片中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2），，之间的关系是．理由如下：
由（1）知，由折叠的性质，
得，，．
在中，，
所以，所以．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，灵活利用折叠的性质进行线段间的转化是解题的关键．
14．（2022·贵州安顺·统考中考真题）如图，在中，，，是边上的一点，以为直角边作等腰，其中，连接．

(1)求证：；
(2)若时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得，进而证明，即可根据证明；
（2）勾股定理求得根据已知条件证明是等腰三角形可得，进而根据即可求解．
【详解】（1）证明：是等腰直角三角形，
，
，
，
在与中
；
，
（2）在中，，，
,
,
,

,
,
∴∠ADC=∠ACD，
,
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
15．（2023春·八年级课时练习）如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，以便估算产量．小明测得，又已知．求这块土地的面积．

【答案】这块土地的面积为
【分析】连接，勾股定理求得，然后勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且，进而根据四边形的面积=，即可求解．
【详解】解：如图，连接，

∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴四边形的面积为


．
答：这块土地的面积为．
【点睛】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，掌握勾股定理是解题的关键．
16．（2023春·八年级课时练习）如图，，，．

(1)求证：≌．
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】由全等三角形的判定定理证得≌；
由全等三角形的性质得出，由勾股定理可求出答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴．
在与中，
，
∴≌；
（2）解：∵≌，
∴，
∵，，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，证明≌是解题的关键．
17．（2022秋·江西抚州·八年级统考期末）长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．

(1)求风筝的垂直高度CE；
(2)如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
【答案】(1)风筝的高度CE为21.6米；
(2)他应该往回收线8米．

【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：在Rt△CDB中，
由勾股定理得，CD2=BC2-BD2=252-152=400，
所以，CD=20（负值舍去），
所以，CE=CD+DE=20+1.6=21.6（米），
答：风筝的高度CE为21.6米；
（2）解：由题意得，CM=12米，

∴DM=8米，
∴BM= （米），
∴BC-BM=25-17=8（米），
∴他应该往回收线8米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18．（2023春·八年级课时练习）笔直的河流一侧有一旅游地点，河边有两个漂流点、，且点到点的距离等于点到点的距离．近阶段由于点到点的路线处于维修中，为方便游客决定在河边新建一个漂流点（点在同一条直线上），并新建一条路，测得，，．

(1)判断的形状，并说明理由；
(2)求原路线的长．
【答案】(1)是直角三角形，理由见解析
(2)

【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）根据题意，得出，再根据（1）可知是直角三角形，然后设，则，再根据勾股定理，列出关于的方程，解出即可得出的长．
【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下：
∵，，，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（2）解：∵点到点的距离等于点到点的距离，
∴，
∵由（1）易知是直角三角形，
设，则，
在中，
，，，
∵，
∴，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，解本题的关键在熟练掌握勾股定理的逆定理．
19．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在中，边上的垂直平分线为与分别交于点D、E，且．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)的长为

【分析】（1）连接，根据线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理即可求解；
（2）设，则，在中，根据，列出方程计算即可求解．
【详解】（1）证明：连接，

∵边上的垂直平分线为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：设，则，
在中，，
∴，
解得： ，
∴的长为．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，注意方程思想的运用．
20．（2023春·全国·八年级专题练习）在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．

(1)求证：；
(2)求原来的路线的长．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)路线AC的长为8.45千米

【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）设AC＝x千米，则AD＝（x﹣2.5）千米．在直角△ACD中根据勾股定理解答即可．
【详解】（1）证明：∵CB＝6.5千米，CD＝6千米，BD＝2.5千米，
，
∴，
∴△CDB为直角三角形，
∴CD⊥AB；
（2）解：设AC＝x千米，则AD＝（x﹣2.5）千米．
∵CD⊥AB，∠ADC＝90°，
∴，即，
解得：x＝8.45．
答：原来的路线AC的长为8.45千米．
【点睛】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用，掌握定理是解题的关键．

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21．（2023春·全国·八年级专题练习）聊城市在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？

【答案】绿化这片空地共需花费17100元
【分析】连接AC，直接利用勾股定理得出AC，进而利用勾股定理逆定理得出∠DAC＝90°，再利用直角三角形面积求法得出答案．
【详解】解：连接AC，如图

∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m，
∴AC＝＝15（m），
∵CD＝17m，AD＝8m，
∴AD2＋AC2＝DC2，
∴∠DAC＝90°，
∴S△DAC＝×AD•AC＝×8×15＝60（m2），
S△ACB＝AB•AC＝×9×12＝54（m2），
∴S四边形ABCD＝60＋54＝114（m2），
∴150×114＝17100（元），
答：绿化这片空地共需花费17100元．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理以及勾股定理逆定理是解题关键．
22．（2022秋·八年级单元测试）先阅读下面的一段文字，再解答问题．
已知：在平面直角坐标系中，任意两点M()，N（），其两点之间的距离公式为．
同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点之间的距离公式可以简化为或．
(1)已知点A（1，5），B（-3，6），试求A，B两点之间的距离；
(2)已知点A，B在垂直于轴的直线上，点A的坐标为（-5，），AB=8，试确定点B的坐标；
(3)已知点A（0，6），B（-3，2），C（3，2），请判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】(1)AB=
(2)（3，-）或（-13，-）
(3)△ABC的形状为等腰三角形，理由见解析

【分析】（1）直接利用两点间的距离公式代入求解；
（2）根据A，B在垂直于轴的直线上可知点A与点B的纵坐标相等，设B（，-），代入两点间的距离公式，求解即可；
（3）利用两点间的距离公式求出三角形三边的长度，即可判断三角形的性质．
【详解】（1）∵A(1，5)，B(-3，6)
∴AB= =；
（2）∵A，B在垂直于轴的直线上，
∴点A与点B的纵坐标相等，
设B（，-），  
∴，
∴，
∴B(3，-)或（-13，-），
（3）△ABC的形状为等腰三角形，
∵A（0，6），B（-3，2），C（3，2），
∴AB= =5，
AC= =5，
BC= =6，
∴AB=AC=5，
∴△ABC的形状为等腰三角形．
【点睛】本题考查了两点间的距离公式和勾股定理，解题的关键是会应用公式求出线段的长度．

六、（本大题共12分）

23．（2022秋·山东淄博·七年级统考期中）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即ab×4＋（b－a）2，从而得到等式c2＝ab×4＋（b－a）2，化简便得结论a2＋b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面两个问题：

(1)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝3，BC＝4，求CD的长度．
(2)如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．
【答案】(1)CD＝
(2)

【分析】（1）根据勾股定理先求出AB，再根据“双求法”求出CD的长度；
（2）在Rt△ABD和Rt△ADC中，分别利用勾股定理表示出，然后得到关于x的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：在Rt△ABC中，AB＝，
由面积的两种算法可得：，
解得：CD＝；
（2）在Rt△ABD中，，
在Rt△ADC中，，
所以，
解得：．
【点睛】此题主要考查的是勾股定理的应用，熟知直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．