第2章 一元二次方程辅导讲义9:一元二次方程根与系数的关系—巩固练习(基础)
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【巩固练习】
一、选择题
1. 下列方程,有实数根的是( )
A.2x2+x+1=0 B.x2+3x+21=0 C.x2-0.1x-1=0 D.
2.一元二次方程有两个不相等的实数根,则满足的条件是( )
A. B. C. D.
3.(2016•烟台)若x1,x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根,则x12﹣x1+x2的值为( )
A.﹣1 B.0 C.2 D.3
4.关于方程的两根的说法正确的是( )
A. B. C. D.无实数根
5.(2015•广西)已知实数x1,x2满足x1+x2=7,x1x2=12,则以x1,x2为根的一元二次方程是( )
A.x2﹣7x+12=0 B.x2+7x+12=0 C.x2+7x﹣12=0 D.x2﹣7x﹣12=0
6.一元二次方程的两根为、,则的值为( ).
A.3 B.6 C.18 D.24
二、填空题
7.已知关于x的方程x2-2x+k=0有实数根,则k的取值范围是________.
8.已知3x2-2x-1=0的二根为x1,x2,则x1+x2=______,x1x2=______,_______,
x12+x22=_______,x1-x2=________.
9.若方程的两根是x1、x2,则代数式的值是 。
10.设一元二次方程的两根分别为、,以、为根的一元二次方程是________.
11.已知一元二次方程x2-6x+5-k=0的根的判别式△=4,则这个方程的根为_____ __.
12.(2015•港南区二模)阅读材料:设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2,则两根与方程系数之间有如下关系式x1+x2=﹣,x1•x2=根据该材料填空,已知x1,x2是方程x2+3x+1=0的两实数根,则的值为 .
三、解答题
13.(2016•江宁区二模)已知关于x的方程x2﹣mx﹣3x+m﹣4=0(m为常数).
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)设x1,x2是方程的两个实数根,求(x1﹣1)(x2﹣1)的值.
14.(2015秋•孝感校级月考)已知方程x2﹣3x+1=0的两根分别为x1和x2,不解方程:
(1)求代数式x12+x22的值;
(2)试证明两根中一根大于1,另一根小于1.
15.已知: x1、x2是关于x的方程x2+(2a-1)x+a2=0的两个实数根且(x1+2)(x2+2)=11,
求a的值.
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】C;
【解析】由根的判别式判定.
2.【答案】B;
【解析】(a≠0)有两个不相等实数根.
3.【答案】D;
【解析】解:∵x1,x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根,
∴x1+x2=﹣=2,x1•x2==﹣1.
x12﹣x1+x2=x12﹣2x1﹣1+x1+1+x2=1+x1+x2=1+2=3.
故选D.
4.【答案】D;
【解析】求得Δ=b2-4ac=-8<0,此无实数根,故选D.
5.【答案】A.
6.【答案】A;
【解析】由一元二次方程根与系数的关系得:,,
因此.
二、填空题
7.【答案】k≤1;
【解析】由题意可知△=≥0,-4k≥-4,所以k≤1.
8.【答案】 ; -; -2; ; ±;
【解析】x1+x2=,x1x2=-,+==-2,
x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=+=,
∵(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=+=,
∴x1-x2=±.
9.【答案】6;
【解析】由一元二次方程根与系数的关系知:,
.
10.【答案】;
【解析】由一元二次方程根与系数的关系知:,,
从而,,
于是,所求方程为.
11.【答案】 x1=4,x2=2.
【解析】∵△=4,∴b2-4ac=4,即x=,
∴x1=4,x2=2.
12.【答案】7;
【解析】解:∵x1,x2是方程x2+3x+1=0的两个实数根,
∴x1+x2=﹣3,x1x2=1.
∴===7.
故答案为:7.
三、解答题
13.【答案与解析】
(1)证明:∵关于x的方程x2﹣mx﹣3x+m﹣4=0,
∴此方程为x2﹣(m+3)x+m﹣4=0,
∴△=[﹣(m+3)]2﹣4(m﹣4)=m2+2m+25=(m+1)2+24,
∴△>0,
∴关于x的方程x2﹣mx﹣3x+m﹣4=0有两个不相等的实数根.
(2)解:∵x1,x2是方程的两个实数根,
∴x1+x2=﹣=m+3,x1•x2==m﹣4,
∴(x1﹣1)(x2﹣1)=x1•x2﹣(x1+x2)+1
=(m﹣4)﹣(m+3)+1
=﹣6.
14.【答案与解析】
(1)解:由题可得x1+x2=3,x1x2=1,
x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2=32﹣2×1=7.
(2)证明:∵(x1﹣1)(x2﹣1)=x1x2﹣(x1+x2)+1=1﹣3+1=﹣3<0,
∴(x1﹣1)与(x2﹣1)异号,
∴x1﹣1>0,则x2﹣1<0,
∴x1>1,x2<1,即两根中一根大于1,另一根小于1.
15.【答案与解析】
∵x1、x2是方程x2+(2a-1)x+a2=0的两个实数根,
∴x1+x2=1-2a,x1﹒x2=a2,
∵(x1+2)(x2+2)=11,
∴x1x2+2(x1+x2)+4=11,
∴a2+2(1-2a)-7=0,即a2-4a-5=0,
解得a=-1,或a=5.
又∵Δ=(2a-1)2-4a2=1-4a≥0, ∴a≤.
∴a=5不合题意,舍去,
∴a=-1.