第2章 一元二次方程辅导讲义9：一元二次方程根与系数的关系—知识讲解（基础）

一元二次方程根与系数的关系—知识讲解（基础）

【学习目标】

1. 理解并掌握一元二次方程的根与系数的关系；

2. 能应用一元二次方程的根与系数的关系解决以下问题：已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程.

【要点梳理】

要点一、一元二次方程的根与系数的关系   

1.一元二次方程的根与系数的关系

如果一元二次方程的两个实数根是，

那么，.

注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.

也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.

2.一元二次方程的根与系数的关系的应用

    (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；

    (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；

    (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：

①；

②；

③；

④；

⑤；

⑥；

⑦；

⑧；

⑨；

⑩．

(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；

以两个数为根的一元二次方程是.

(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；

（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.

设一元二次方程的两根为、，则

①当△≥0且时，两根同号．

当△≥0且，时，两根同为正数；

当△≥0且，时，两根同为负数．

②当△＞0且时，两根异号．

     当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大；

当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大．

要点诠释：

（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；

（2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）．

【典型例题】

类型一、一元二次方程的根与系数的关系的应用（1）

1．（2015秋•定陶县期末）已知方程x2+5x﹣3=0，不解方程，求作一个一元二次方程使它的根分别是已知方程各根的2倍．

【思路点拨】设方程x2+5x﹣3=0的两根分别为a、b，根据根与系数的关系得到a+b=﹣5，ab=﹣3，再计算2a+2b和2a•2b的值，然后根据根与系数的关系写出新方程．

【答案与解析】

解：设方程x2+5x﹣3=0的两根分别为a、b，则a+b=﹣5，ab=﹣3，

∵2a+2b=2（a+b）=2×（﹣5）=﹣10，

2a•2b=4ab=﹣12，

∴所求的新方程为x2+10x﹣12=0．

【总结升华】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．

举一反三：

【变式】已知方程2x2-3x-3=0的两个根分别为a，b，利用根与系数的关系，求一个一元二次方程，使它的两个根分别是a+1，b+1．         

2.（2016•江西校级模拟）已知关于x的方程mx2+2x﹣1=0有实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）若方程有两个实数根x1，x2，求+的值．

【思路点拨】（1）由关于x的方程mx2+2x﹣1=0有实数根，分两种情况：①m=0时，为一元一次方程，必有实数根；②m≠0时，为一元二次方程，由判别式△≥0，可得22﹣4×m×（﹣1）≥0，解此不等式即可求得答案；

（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣，x1x2=﹣，再代入+，计算即可求解．

【答案与解析】

解：（1）分两种情况：

①m=0时，原方程即为2x﹣1=0，为一元一次方程，必有实数根；

②m≠0时，原方程为一元二次方程．

△=22﹣4×m×（﹣1）=4+4m≥0，

解得：m≥﹣1，

即m≥﹣1且m≠0．

综上可知m≥﹣1；

（2）∵x1+x2=﹣，x1x2=﹣，

∴+===2．

【总结升华】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系．

【变式】设一元二次方程2x2-5x+1=0的两根分别为x1，x2，不解方程，求 的值．

【答案】

      ∵x1+x2=-=，x1x2=，∴．

类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用（2）

3．已知方程的一个根是2，求另一个根及k的值．

【思路点拨】

   根据方程解的意义，将x＝2代入原方程，可求k的值，再由根与系数的关系求出方程的另外一个根．

【答案与解析】

方法一：设方程另外一个根为x1，则由一元二次方程根与系数的关系，

得，，从而解得：，k＝-7．

    方法二：将x＝2代入方程，得5×22+2k-6＝0，从而k＝-7．

设另外一根为x1，则由一元二次方程根与系数的关系，

得，从而，

故方程的另一根为，k的值为-7．

【总结升华】根据一元二次方程根与系数的关系，易得另一根及k的值．

举一反三：

【变式】（2015秋•泉州校级期中）若关于x的一元二次方程x2+9k+3x+k=0的一个根是﹣2，求方程另一个根和k的值．

【答案】解：由根与系数的关系得，

解得：x2=1，k=﹣2

故方程的另一个根是x2=1，k=﹣2．

4．求作一个一元二次方程，使它的两根分别是，． 

【答案与解析】

解法一：因为，

，

所以所求方程为，即．

解法二：所求方程为，即．

【总结升华】根据一元二次方程的根与系数的关系可知，只需求出x1+x2和xl-x2的值即可．