2022年贵州省黔东南州中考数学试卷（含解析）
展开2022年贵州省黔东南州中考数学试卷
题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 |
得分 |
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一、选择题（本大题共10小题，共40分）
- 下列说法中，正确的是( )
A. 与互为倒数 B. 与互为相反数
C. 的相反数是 D. 的绝对值是
- 下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
- 一个物体的三视图如图所示，则该物体的形状是( )
A. 圆锥
B. 圆柱
C. 四棱柱
D. 四棱锥
- 一块直角三角板按如图所示方式放置在一张长方形纸条上，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
- 已知关于的一元二次方程的两根分别记为，，若，则的值为( )
A. B. C. D.
- 如图，已知正六边形内接于半径为的，随机地往内投一粒米，落在正六边形内的概率为( )
A.
B.
C.
D. 以上答案都不对
- 若二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象为( )
A.
B.
C.
D.
- 如图，、分别与相切于点、，连接并延长与交于点、，若，，则的值为( )
A. B. C. D.
- 如图，在边长为的等边三角形的外侧作正方形，过点作，垂足为，则的长为( )
A. B. C. D.
- 在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离．当取得最小值时，的取值范围是( )
A. B. 或
C. D.
二、填空题（本大题共10小题，共30分）
- 有一种新冠病毒直径为米，数用科学记数法表示为______．
- 分解因式：______．
- 某中学在一次田径运动会上，参加女子跳高的名运动员的成绩如下单位：：，，，，，，这组数据的中位数是______．
- 若，则的值是______．
- 如图，矩形的对角线，相交于点，，若，则四边形的周长是______．
- 如图，在中，，半径为的是的内切圆，连接、，则图中阴影部分的面积是______结果用含的式子表示
- 如图，校园内有一株枯死的大树，距树米处有一栋教学楼，为了安全，学校决定砍伐该树，站在楼顶处，测得点的仰角为，点的俯角为小青计算后得到如下结论：米；米；若直接从点处砍伐，树干倒向教学楼方向会对教学楼有影响；若第一次在距点的米处的树干上砍伐，不会对教学楼造成危害．其中正确的是______填写序号，参考数值：，
- 在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点旋转，再向下平移个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是______．
- 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的斜边轴于点，直角顶点在轴上，双曲线经过边的中点，若，则______．
- 如图，折叠边长为的正方形纸片，折痕是，点落在点处，分别延长、交于点、，若点是边的中点，则______．
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
- 计算：；
先化简，再求值：，其中． - 某县教育局印发了上级主管部门的“法治和安全等知识”学习材料，某中学经过一段时间的学习，同学们都表示有了提高，为了解具体情况，综治办开展了一次全校性竞赛活动，王老师抽取了这次竞赛中部分同学的成绩，并绘制了下面不完整的统计图、表．
参赛成绩 | ||||
人数 | ||||
级别 | 及格 | 中等 | 良好 | 优秀 |
请根据所给的信息解答下列问题：
王老师抽取了______名学生的参赛成绩；抽取的学生的平均成绩是______分；
将条形统计图补充完整；
若该校有名学生，请估计竞赛成绩在良好以上的学生有多少人？
在本次竞赛中，综治办发现七班、八班的成绩不理想，学校要求这两个班加强学习一段时间后，再由电脑随机从、、、四套试卷中给每班派发一套试卷进行测试，请用列表或画树状图的方法求出两个班同时选中同一套试卷的概率．
- 请在图中作出的外接圆尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；
如图，是的外接圆，是的直径，点是的中点，过点的切线与的延长线交于点．
求证：；
若，，求的半径．
- 某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买、两种型号的机器人来搬运货物，已知每台型机器人比每台型机器人每天少搬运吨，且型机器人每天搬运吨货物与型机器人每天搬运吨货物所需台数相同．
求每台型机器人和每台型机器人每天分别搬运货物多少吨？
每台型机器人售价万元，每台型机器人售价万元，该公司计划采购、两种型号的机器人共台，必须满足每天搬运的货物不低于吨，购买金额不超过万元．
请根据以上要求，完成如下问题：
设购买型机器人台，购买总金额为万元，请写出与的函数关系式；
请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？ - 阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：
如图，和都是等边三角形，点在上．
求证：以、、为边的三角形是钝角三角形．
【探究发现】小明通过探究发现：连接，根据已知条件，可以证明，，从而得出为钝角三角形，故以、、为边的三角形是钝角三角形．
请你根据小明的思路，写出完整的证明过程．
【拓展迁移】如图，四边形和四边形都是正方形，点在上．
试猜想：以、、为边的三角形的形状，并说明理由．
若，试求出正方形的面积．
- 如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点，，与轴交于点，连接．
求此抛物线的解析式；
已知点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
已知点是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：选项，与互为相反数，故该选项不符合题意；
选项，与互为倒数，故该选项不符合题意；
选项，的相反数是，故该选项符合题意；
选项，的绝对值是，故该选项不符合题意；
故选：．
根据倒数的定义判断选项；根据相反数的定义判断选项；根据的相反数是判断选项；根据正数的绝对值等于它本身判断选项．
本题考查了倒数，相反数，绝对值，掌握乘积为的两个数互为倒数，只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：、，故A选项不符合题意；
B、，故B选项不符合题意；
C、，故C选项不符合题意；
D、，故D选项符合题意；
故选：．
A、根据同底数幂的除法公式计算，即可判断；、非同类项，不能合并；、根据去括号法则计算，即可判断；、根据积的乘方进行计算，即可判断．
本题主要考查整式化简，掌握相关运算法则是解题关键．
3.【答案】
【解析】解：根据主视图和左视图都是长方形，判定该几何体是个柱体，
俯视图是个圆，
判定该几何体是个圆柱．
故选：．
根据三视图的定义解答即可．
本题主要考查了三视图，熟练掌握三视图的定义是解答本题的关键．
4.【答案】
【解析】解：如下图所示，
过直角的顶点作，交于点，交于点，
则．
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
．
．
故选：．
过直角的顶点作，利用平行线的性质解答即可．
本题主要考查平行线的性质：两直线平行，内错角相等，过直角的顶点作是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程的两根分别记为，，
，，
，
，，
，
原式
．
故选：．
根据根与系数的关系求出，的值，代入代数式求值即可．
本题考查了根与系数的关系，掌握，是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：圆的面积为，
正六边形的面积为，
所以正六边形的面积占圆面积的，
故选：．
求出正六边形的面积占圆面积的几分之几即可．
本题考查几何概率，正多边形圆，求出正多边形面积占圆面积的几分之几是正确解答的关键．
7.【答案】
【解析】解：抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴在轴左侧，
，
抛物线与轴交点在轴下方，
，
直线经过第一，二，四象限，反比例函数图象经过一，三象限，
故选：．
由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与轴交点位置判断，，的符号，从而可得直线与反比例函数图象的大致图象．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握函数图象与系数的关系．
8.【答案】
【解析】解连接，，
、分别与相切于点、，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
．
故选：．
连接，，根据切线长定理，圆周角定理，锐角三角函数解答即可．
本题主要考查了切线长定理，圆周角定理，三角函数，熟练掌握相关性质是解答本题的关键．
9.【答案】
【解析】解：如图，过点作于点，作于点，
则，
是边长为的等边三角形，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，，
，，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
故选：．
过点作于点，作于点，利用解直角三角形可得，，再证明≌，可得，即可求得答案．
本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形，题目的综合性很好，难度不大．
10.【答案】
【解析】解：当时，，，
；
当时，，，
；
当时，，，
；
综上所述，当时，取得最小值，
所以当取得最小值时，的取值范围是．
故选C．
以和为界点，将数轴分成三部分，对的值进行分类讨论，然后根据绝对值的意义去绝对值符号，分别求出代数式的值进行比较即可．
本题结合数轴考查了绝对值的意义以及绝对值的性质，解题的关键是以和为界点对的值进行分类讨论，进而得出代数式的值．
11.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
应用学计数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．即可得出答案．
本题主要考查了科学记数法表示较小的数，熟练掌握学计数法表示较小的数的方法进行求解是解决本题的关键．
12.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握分解因式的方法是解本题的关键．
13.【答案】
【解析】解：把这组数据从小到大排列：，，，，，，．
所以这组数据的中位数为：．
故答案为：．
根据中位数的定义进行求解即可得出答案．
本题主要考查了中位数，熟练掌握中位数的定义进行求解是解决本题的关键．
14.【答案】
【解析】解：根据题意可得，
，
由得，
．
故答案为：．
根据非负数的性质可得，应用整体思想即可得出答案．
本题主要考查了非负数的性质及解二元一次方程组，熟练掌握非负数的性质及解二元一次方程组的方法进行求解是解决本题的关键．
15.【答案】
【解析】解：，，
四边形是平行四边形，
，，
矩形的对角线，相交于点，
，，，
，
，
平行四边形是菱形，
菱形的周长，
故答案为：．
先证四边形是平行四边形，得，，再由矩形的性质得，则，得平行四边形是菱形，即可得出结论．
本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质得知识，熟练掌握矩形的性质和菱形的判定与性质是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：，是的内切圆，
，
，
故答案为：．
根据角的度数和内切圆的性质，得出圆心角的度数即可得出阴影部分的面积．
本题主要考查三角形内切圆的知识，熟练掌握三角形内切圆的性质及扇形面积的计算是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：过点作，垂足为，
则，米，
在中，，
米，
米，
米，
故不正确；
在中，米，
米，
故正确；
米，
，
若直接从点处砍伐，树干倒向教学楼方向会对教学楼有影响，
故正确；
米，
米米，
若第一次在距点的米处的树干上砍伐，不会对教学楼造成危害，
故正确；
小青计算后得到如上结论，其中正确的是：，
故答案为：．
过点作，垂足为，则，米，在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，从而求出的长，即可判断；
再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，即可判断；通过比较与的长，即可判断，计算出的值，再和的长比较，即可判断．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：将抛物线绕原点旋转后所得抛物线为：，即，
再将抛物线向下平移个单位得，
所得到的抛物线的顶点坐标是，
故答案为：．
先求出绕原点旋转的抛物线解析式，再求出向下平移个单位长度的解析式，配成顶点式即可得答案．
本题考查二次函数图象与几何变换，熟知二次函数的图象旋转及平移的法则是解答此题的关键．
19.【答案】
【解析】解：如图，过点作于，
等腰直角三角形的斜边轴于点，
，
，
，，
是的中点，
，
．
故答案为：．
如图，过点作于，根据直角三角形斜边中线的性质可得，得点和的坐标，根据中点坐标公式可得点的坐标，从而得结论．
本题考查的是反比例函数的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
20.【答案】
【解析】解：如图，连接，
四边形是正方形，
，，
点是边的中点，
，
由折叠得：，，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
设，则，
，，
在中，，
，
解得：，
，，，
，
，
，
∽，
，即，
，
故答案为：．
如图，连接，可证得≌，则，设，则，利用勾股定理求得，再由∽，即可求得答案．
此题考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质．此题有一定难度，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
21.【答案】解：原式
；
原式
，
把代入上式，
原式．
【解析】应用负整数指数幂，立方根，绝对值，零指数幂，最简二次根式的性质进行计算即可得出答案；
应用分式化简求值的方法化为最简，再应用特殊角三角函数值求出的值代入计算即可得出答案．
本题主要考查了特殊角三角函数值，负整数指数幂，绝对值，分式的化简求值，熟练掌握特殊角三角函数值，负整数指数幂，绝对值，分式的化简求值的方法进行求解是解决本题的关键．
22.【答案】
【解析】解：王老师抽取的学生人数为：名，
中等成绩的学生人数为：人，良好成绩的学生人数为：人，
抽取的学生的平均成绩分，
故答案为：，；
将条形统计图补充完整如下：
人，
答：估计竞赛成绩在良好以上的学生有人；
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中两个班同时选中同一套试卷的结果有种，
两个班同时选中同一套试卷的概率为．
由成绩优秀的学生人数除以所占百分比得出王老师抽取的学生人数，即可解决问题；
由的结果将条形统计图补充完整即可；
由该校有学生人数乘以竞赛成绩在良好以上的学生所占的百分比即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中两个班同时选中同一套试卷的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图和扇形统计图．
23.【答案】解：如图，即为的外接圆；
证明：如图，连接，
是的切线，
，
点是的中点，
，
，
，
，
，
，
；
解：如图，连接，
由圆周角定理得：，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
的半径为．
【解析】利用尺规作图分别作出、的垂直平分线交于点，以为圆心、为半径作圆即可；
连接，根据切线的性质得到，证明，根据平行线的性质证明结论；
连接，根据圆周角定理得到，根据正切的定义求出，根据勾股定理求出，得到答案．
本题考查的是切线的性质、圆周角定理、解直角三角形，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
24.【答案】解：设每台型机器人每天搬运货物吨，则每台型机器人每天搬运货物吨，
由题意得：，
解得：，
当时，，
是分式方程的根，
吨，
答：每台型机器人每天搬运货物吨，则每台型机器人每天搬运货物吨；
由题意得：；
由题意得：，
解得：，
，
随的增大而减小，
当时，最小，此时，
购买型机器人台，型机器人台时，购买总金额最低是万元．
【解析】设每台型机器人每天搬运货物吨，则每台型机器人每天搬运货物吨，根据题意列出分式方程，解方程检验后即可得出答案；
根据题意列出一次函数解析式即可；
先根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组求出的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求出答案．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意找出题目中的相等关系，不等关系列出分式方程，一元一次不等式组及列出一次函数关系式是解决问题的关键．
25.【答案】证明：如图，连接，
和都是等边三角形，
，，，
，
即，
≌，
，，
，
为钝角三角形，
以、、为边的三角形是钝角三角形．
解：以、、为边的三角形是直角三角形，理由如下：
如图，连接，
四边形和四边形都是正方形，
，，，，
，
即，
≌，
，，
，
是直角三角形，
即以、、为边的三角形是直角三角形；
由可知，，，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
．
【解析】连接，证≌，得，，则，即可得出结论；
连接，证≌，得，，再证，得是直角三角形，即可得出结论；
由勾股定理得，则，再由正方形的性质和勾股定理得，即可得出结论．
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
26.【答案】解：抛物线的对称轴是直线，与轴交于点，，
，
，解得，
抛物线的解析式；
，
，
设直线的解析式为，
将点代入得：，
解得：，
直线的解析式为；
设点坐标为，则点，
，，
，
，
，
当时，，
，
解得，不合题意，舍去，
点的坐标为；
当时，，
，
解得，不合题意，舍去，
点的坐标为；
当时，，
，
解得，
点的坐标为；
综上，存在，点的坐标为或或；
设，，
，，
，
以为对角线时，，
，
解得：，或，
或，
，，
，或，
，或，
点的坐标为或；
以为边时，或，
或，
解得：或，
或，
，，
，或，，
，或，，
点的坐标为或，
综上所述：存在，点的坐标为或或或．
【解析】由抛物线的对称轴为直线，抛物线经过点，可得，用待定系数法即可求解；
求出直线的解析式，设点坐标为，则点，利用勾股定理表示出，，，然后分当时，当时，当时三种情况进行讨论，列出关于的方程，求出的值，即可写出点的坐标；
分两种情形讨论：当为对角线时，当为边时，先求出点的坐标，再利用平行四边形的中心对称性求出点的坐标即可．
本题是二次函数综合题，本题考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，二次函数的性质，勾股定理，矩形的判定和性质等，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会分类讨论，属于中考压轴题．
