2020年山东省淄博市中考数学试卷
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2020年山东省淄博市中考数学试卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：xxx 分钟；命题人：xxx
题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 |
得分 |
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| 一、 选择题（共12题） |
1. 若实数的相反数是，则等于．
A． B． C． D．
2. 下列图形中，不是轴对称图形的是．
A．
B．
C．
D．
3. 李老师为了解学生家务劳动时间情况，更好地弘扬“热爱劳动”的民族传统美德，随机调查了本校名学生在上周参加家务劳动的时间，收集到如下数据（单位：小时）：，，，，，，，，，．则这组数据的中位数和众数分别是．
A．， B．， C．， D．，
4. 如图，在四边形中，，，若，则等于．
A． B． C． D．
5. 下列运算正确的是．
A． B． C． D．
6. 已知，运用科学计算器求锐角时（在开机状态下），按下的第一个键是．
A．
B．
C．
D．
7. 如图，若，则下列结论中一定成立的是．
A． B． C． D．
8. 化简的结果是．
A． B． C． D．
9. 如图，在直角坐标系中，以坐标原点，，为顶点的，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点，且点恰好在反比例函数的图象上，则的值为．
A． B． C． D．
10. 如图，放置在直线上的扇形．由图① 滚动（无滑动）到图② ，再由图② 滚动到图③ ．若半径，，则点所经过的最短路径的长是．
A． B． C． D．
11. 如图1，点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图2是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中是曲线部分的最低点，则的面积是．
A． B． C． D．
12. 如图，在中，，分别是，边上的中线，且，垂足为点，设，，，则下列关系式中成立的是．
A． B． C． D．
| 二、 填空题（共5题） |
13. 计算：________．
14. 如图，将沿方向平移至处．若，则的长为________．
15. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是________．
16. 如图，矩形纸片，，，为边上一点．将沿所在的直线折叠，点恰好落在边上的点处，过点作，垂足为点，取的中点，连接，则________．
17. 某快递公司在甲地和乙地之间共设有个服务驿站（包括甲站、乙站），一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各个，又要装上该站发往后面各站的货包各个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是________个．
| 三、 解答题（共7题） |
18. 解方程组：
19. 已知：如图，是的边延长线上的一点，且．
求证：．
20. 某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“．通讯；．民法典；．北斗导航；．数字经济；．小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．
请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）数学实践小组在这次活动中，调查的居民共有________人；
（2）将上面的最关注话题条形统计图补充完整；
（3）最关注话题扇形统计图中的________，话题所在扇形的圆心角是________度；
（4）假设这个小区居民共有人，请估计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多少？
21. 如图，在直角坐标系中，直线与双曲线分别相交于第二、四象限内的，两点，与轴相交于点．已知，．
（1）求，对应的函数表达式；
（2）求的面积；
（3）直接写出当时，不等式的解集．
22. 如图，著名旅游景区位于大山深处，原来到此旅游需要绕行地，沿折线方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从地到景区的笔直公路．请结合，，千米，，等数据信息，解答下列问题：
（1）公路修建后，从地到景区旅游可以少走多少千米？
（2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加，结果提前天完成了施工任务．求施工队原计划每天修建多少千米？
23. 如图，内接于，平分交边于点，交于点，过点作于点，设的半径为，．
（1）过点作直线，求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）设，求的值（用含的代数式表示）．
24. 如图，在直角坐标系中，四边形是平行四边形，经过，，三点的抛物线与轴的另一个交点为，其顶点为，对称轴与轴交于点．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）已知是抛物线上的点，使得的面积是的面积的，求点的坐标；
（3）已知是抛物线对称轴上的点，满足在直线上存在唯一的点，使得，求点的坐标．
参考答案及解析
一、 选择题
1. 【答案】A
【解析】的相反数是，
．
故选：
【点评】本题考查了实数的性质、相反数，解决本题的关键是掌握相反数的概念．
2. 【答案】D
【解析】．是轴对称图形，故本选项不符合题意；
．是轴对称图形，故本选项不符合题意；
．是轴对称图形，故本选项不符合题意；
．不是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3. 【答案】C
【解析】这组数据，，，，，，，，，中，出现次数最多的是，因此众数是，
将这组数据从小到大排列后，处在第、位的两个数都是，因此中位数是．
故选：
【点评】本题考查中位数、众数的意义和计算方法，理解中位数、众数的意义是正确解答的前提，掌握计算方法是解决问题的关键．
4. 【答案】C
【解析】，
，
又，
，
，
．
故选：
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及直角三角形的性质，根据题意得出的度数是解答本题的关键．
5. 【答案】B
【解析】．，所以选项错误；
．，所以选项正确；
．，所以选项错误；
．，所以选项错误．
故选：
【点评】本题考查了同底数幂的乘法和除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，解决本题的关键是综合掌握以上知识．
6. 【答案】D
【解析】已知，运用科学计算器求锐角时（在开机状态下）的按键顺序是：，，，
按下的第一个键是．
故选：
【点评】本题考查了计算器三角函数，解决本题的关键是熟练利用计算器．
7. 【答案】B
【解析】，
，，，，
，
即．故，，选项错误，选项正确．
故选：
【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
8. 【答案】B
【解析】原式
．
故选：
【点评】本题主要考查了分式的加减，熟记运算法则是解答本题的关键．
9. 【答案】A
【解析】过分别作、轴、轴的垂线，垂足分别为、、，如图，
，，
，，
，
的两个锐角对应的外角角平分线相交于点，
，，
，
设，则，
，
，
解得，
，
把代入得．
故选：
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了角平分线的性质和三角形面积公式．
10. 【答案】C
【解析】如图，
点的运动路径的长的长的长
．
故选：
【点评】本题考查轨迹，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
11. 【答案】D
【解析】由图2知，，
当时，的值最小，即中，边上的高为（即此时，
当时，，
的面积．
故选：
【点评】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
12. 【答案】A
【解析】设，，
，分别是，边上的中线，
点为的重心，，，
，，
，
，
在中，，①
在中，，②
在中，，③
②③ 得，
，④
①④ 得，
即．
故选：
【点评】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为． 也考查了勾股定理．
二、 填空题
13. 【答案】；
【解析】．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了立方根与算术平方根，熟记立方根与二次根式的性质是解答本题的关键．
14. 【答案】；
【解析】沿方向平移至处．
，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．
15. 【答案】；
【解析】方程有两个不相等的实数根，，，
，
解得，
故答案为：．
【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系：
（1）方程有两个不相等的实数根；
（2）方程有两个相等的实数根；
（3）方程没有实数根．
16. 【答案】；
【解析】连接，．
由翻折的性质可知，垂直平分线段，
，
，，共线，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，属于中考常考题型．
17. 【答案】；
【解析】当一辆快递货车停靠在第个服务驿站时，
快递货车上需要卸下已经通过的个服务驿站发给该站的货包共个，
还要装上下面行程中要停靠的个服务驿站的货包共个．
根据题意，完成下表：
服务驿站序号 | 在第服务驿站启程时快递货车货包总数 |
由上表可得．
当时，，
当或时，取得最大值．
故在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是个．
故答案为：．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，二次函数的性质在实际生活中的应用，二次函数的最值在时取得．
三、 解答题
18. 【答案】
【解析】
①② ，得：，
解得，
把代入① ，得：，
解得，
所以原方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
19. 【答案】答案见解析
【解析】四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定方法是解题的关键．
20. 【答案】（1）
（2）
（3）；
（4）
【解析】（1）调查的居民共有：（人，
故答案为：；
（2）选择的居民有：（人，
选择的有：（人，
补全的条形统计图如图所示；
（3），
话题所在扇形的圆心角是：，
故答案为：；；
（4）（人，
故该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21. 【答案】（1）；
（2）
（3）
【解析】（1）设直线与轴交于点，
在中，，．
，
即点，
把点，代入直线得，，，解得，，
直线的关系式为；
把，代入得，
，，
，，
，
反比例函数的关系式为，
因此；；
（2）由，
，
．
（3）由图象可知，当时，不等式的解集为．
【点评】本题考查一次函数、反比例函数的图象和性质，把点的坐标代入是常用的方法，线段与坐标的相互转化是解决问题的关键．
22. 【答案】（1）
（2）
【解析】（1）过点作的垂线，垂足为，
在直角中，，，千米，
（千米），
（千米），
在直角中，（千米），
（千米），
（千米），
从地到景区旅游可以少走：（千米）．
故从地到景区旅游可以少走千米；
（2）设施工队原计划每天修建千米，依题意有，
，
解得，
经检验是原分式方程的解．
故施工队原计划每天修建千米．
【点评】本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形的知识，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．同时考查了分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，即① 根据题意找出等量关系，② 列出方程，③ 解出分式方程，④ 检验，⑤ 作答．注意：分式方程的解必须检验．
23. 【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析
（2）
【解析】（1）如图1，连接，
平分，
，
，
又是半径，
，
，
，
是的切线；
（2）如图2，连接并延长交于，
是直径，
，
又，
，
，
；
（3）如图3，过点作于，，交延长线于，连接，
，平分，
，
，
，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形是本题的关键．
24. 【答案】（1）
（2）点的坐标为或或或
（3）
【解析】（1），故函数的对称轴为，则① ，
将点的坐标代入抛物线表达式得：② ，
联立① ② 并解得，
故抛物线的表达式为：③ ；
（2）由抛物线的表达式得，点、点；
的面积是的面积的，
，则，解得：④ ，
联立④ ③ 并解得或，
故点的坐标为或或或；
（3）作的外接圆，
，
故，则为等腰直角三角形，
当直线上存在唯一的点，则，
点、的坐标分别为、，
则，，则，
过点作于点，
设点，则，
则圆的半径为，则点，
，
即，
，解得，
故点．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、圆的基本知识、面积的计算等，综合性强，难度较大．
