2020年湖南省怀化市中考数学试卷
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2020年湖南省怀化市中考数学试卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：xxx 分钟；命题人：xxx
题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 |
得分 |
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| 一、 选择题（共10题） |
1. 下列数中，是无理数的是．
A． B． C． D．
2. 下列运算正确的是．
A． B．
C． D．
3. 《三国演义》《红楼梦》《水浒传》《西游记》是我国古典长篇小说四大名著．其中年光明日报出版社出版的《红楼梦》有万字，则“万”用科学记数法表示为．
A． B． C． D．
4. 若一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数为．
A． B． C． D．
5. 如图，已知直线，被直线所截，且，若，则的度数为．
A． B． C． D．
6. 小明到某公司应聘，他想了解自己入职后的工资情况，他需要关注该公司所有员工工资的．
A．众数 B．中位数 C．方差 D．平均数
7. 在中，，平分，交于点，，垂足为点，若，则的长为．
A． B． C． D．
8. 已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为．
A． B． C． D．
9. 在矩形中，、相交于点，若的面积为，则矩形的面积为．
A． B． C． D．
10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象如图所示、则当时，自变量的取值范围为．
A． B． C． D．
| 二、 填空题（共6题） |
11. 代数式有意义，则的取值范围是________．
12. 因式分解： ．
13. 某校招聘教师，其中一名教师的笔试成绩是分，面试成绩是分，综合成绩笔试占，面试占，则该教师的综合成绩为________分．
14. 如图，在和中，，，，则________．
15. 如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是________（结果保留）．
16. 如图，，，，…，，都是一边在轴上的等边三角形，点，，，…，都在反比例函数的图象上，点，，，…，，都在轴上，则的坐标为________．
| 三、 解答题（共8题） |
17. 计算：．
18. 先化简，再求值：，然后从，，中选择适当的数代入求值．
19. 为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“．书画类、．文艺类、．社会实践类、．体育类”．现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题：
（1）本次被抽查的学生共有________名，扇形统计图中“．书画类”所占扇形的圆心角的度数为________度；
（2）请你将条形统计图补全；
（3）若该校七年级共有名学生，请根据上述调查结果估计该校学生选择“．社会实践类”的学生共有多少名？
（4）本次调查中抽中了七（）班王芳和小颖两名学生，请用列表法或画树状图法求她们选择同一个项目的概率．
20. 如图,某数学兴趣小组为测量一棵古树的高度,在距离古树点处测得古树顶端的仰角为，然后向古树底端步行米到达点处，测得古树顶端的仰角为，且点、、在同一直线上，求古树的高度．（已知：，，结果保留整数）
21. 定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．
（1）下面四边形是垂等四边形的是________；（填序号）
① 平行四边形；② 矩形；③ 菱形；④ 正方形
（2）图形判定：如图，在四边形中，，，过作垂线交的延长线于点，且，证明：四边形是垂等四边形．
（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图中，面积为的垂等四边形内接于中，．求的半径．
22. 某商店计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑共台，已知甲型平板电脑进元，售价元；乙型平板电脑进价为元，售价元．
（1）设该商店购进甲型平板电脑台，请写出全部售出后该商店获利与之间函数表达式．
（2）若该商店采购两种平板电脑的总费用不超过元，全部售出所获利润不低于元，请设计出所有采购方案，并求出使商店获得最大利润的采购方案及最大利润．
23. 如图，在中，为直径，点为圆上一点，延长到点，使，且．
（1）求证：是的切线．
（2）分别过、两点作直线的垂线，垂足分别为、两点，过点作的垂线，垂足为点．求证：．
24. 如图所示，抛物线与轴相交于、两点，与y轴相交于，点为抛物线的顶点．
（1）求点及顶点的坐标．
（2）若点是第四象限内抛物线上的一个动点，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标．
（3）若点是抛物线对称轴上的动点，点是抛物线上的动点，是否存在以点、、、为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由．
（4）直线交轴于点，若点是线段上的一个动点，是否存在以点、、为顶点的三角形与相似．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案及解析
一、 选择题
1. 【答案】D
【解析】，，是有理数，是无理数．
故选：
【点评】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：① 开方开不尽的数，② 无限不循环小数，③ 含有的数．
2. 【答案】B
【解析】与不是同类项，不能合并，因此选项计算错误，不符合题意；
，因此选项计算正确，符合题意；
，因此选项计算错误，不符合题意；
，因此选项计算错误，不符合题意．
故选：
【点评】本题考查了合并同类项、同底数幂的除法和乘法以及积的乘方等运算法则，属于基本题型，熟练掌握上述基础知识是关键．
3. 【答案】A
【解析】万．
故选：
【点评】本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值较大的数，关键是在理解科学记数法的基础上确定好，的值，同时掌握小数点移动对一个数的影响．
4. 【答案】C
【解析】设这个多边形的边数为，
根据题意得：，
得：．
故选：
【点评】此题考查了多边形的内角和公式．此题比较简单，注意熟记公式是准确求解此题的关键，注意方程思想的应用．
5. 【答案】D
【解析】
，
，
，
．
故选：
【点评】此题主要考查了对顶角相等和平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等的知识点．
6. 【答案】B
【解析】根据题意，小明到某公司应聘，了解这家公司的员工的工资情况，就要全面的了解中间员工的工资水平，
故最应该关注的数据是中位数．
故选：
【点评】本题考查的是平均数，众数，中位数，方差的含义，以及在实际情境中统计意义，掌握以上知识是解题的关键．
7. 【答案】A
【解析】，
，
又平分，
∴ 由角平分线的性质得．
故选：
【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键
8. 【答案】C
【解析】一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得：．
故选：
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
9. 【答案】C
【解析】∵ 四边形是矩形，对角线、相交于点，
，且，
，
矩形的面积为．
故选：
【点评】此题考查矩形的性质：矩形的对角线相等，且互相平分，由此可以将矩形的面积四等分，由此可以解决问题，熟记矩形的性质定理是解题的关键．
10. 【答案】D
【解析】由图象可得，
当时，自变量的取值范围为．
故选：
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
二、 填空题
11. 【答案】；
【解析】由题意得：，
解得：．
故答案为：
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键．
12. 【答案】；
【解析】解：原式．
故答案为
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13. 【答案】；
【解析】根据题意知，该名老师的综合成绩为（分）．
故答案为：
【点评】本题考查加权平均数及其计算，是中考的常考知识点，熟练掌握其计算方法是解题的关键．
14. 【答案】；
【解析】在和中
，
，
，
，
．
故答案为：
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键．
15. 【答案】；
【解析】由三视图可知该几何体是圆柱体，其底面半径是，高是，
圆柱的侧面展开图是一个长方形，长方形的长是圆柱的底面周长，长方形的宽是圆柱的高，
且底面周长为：，
这个圆柱的侧面积是．
故答案为：
【点评】本题考查由三视图确定几何体和求圆柱体的侧面积，关键是根据三视图确定该几何体是圆柱体．
16. 【答案】；
【解析】如图，
过点作轴于点，过点作轴于点，
过点作轴于点，
为等边三角形，
，，
，
设的长度为，则的坐标为，
把 代入得，解得或（舍去），
，
，
设的长度为，同理得到，则的坐标表示为，
把代入得，解得或（舍去），
，，，
，
设的长度为，同理，为，的坐标表示为，
把代入得，
，，，
，
综上可得： ．
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．灵活运用各类知识求出、、的坐标是解题的关键．
三、 解答题
17. 【答案】
【解析】原式
．
【点评】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握负指数幂公式、熟记特殊锐角三角函数值及二次根式与绝对值的性质等．
18. 【答案】
【解析】原式
．
且且，
且且，
当时，分母不为，代入：
原式．
【点评】本题考查分式的化简求值，注意运算顺序为：先算乘除，再算加减，有括号先算括号内的；另外本题选择合适的数时要注意选择的数不能使分母为．
19. 【答案】（1）；
（2）补全条形统计图如图所示：
（3）
（4）
【解析】（1）本次被抽查的学生共有：（名），
扇形统计图中“．书画类”所占扇形的圆心角的度数为；
故答案为：，；
（2）类人数是：（人），
补全条形统计图如图所示：
（3）（名），
故：计该校学生选择“，社会实践类”的学生共有名；
（4）列表如下：
由表格可得：共有种等可能的结果，其中王芳和小颖两名学生选择同一个项目的结果有种，
王芳和小颖两名学生选择同一个项目的概率．
【点评】本题是统计与概率类综合题,主要考查了条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体和求两次事件的概率等知识,属于常考题型,正确理解题意、熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
20. 【答案】米
【解析】由题意可知，，，，，
是等腰直角三角形，
，
设，则，，
在中，
，
解得，
，
故：的高度为米．
【点评】本题考查了解直角三角形的实际应用，等腰三角形的性质，构造直角三角形是解题关键．
21. 【答案】（1）④
（2）答案见解析
（3）
【解析】（1）① 平行四边形的对角线互相平分但不垂直和相等，故不是垂等四边形；
② 矩形对角线相等但不垂直，故不是垂等四边形；
③ 菱形的对角线互相垂直但不相等，故不是垂等四边形；
④ 正方形的对角线互相垂直且相等，故正方形是垂等四边形；
故选：④ ；
（2），，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
又，
是等腰直角三角形，
，
，
又，
∴ 四边形是垂等四边形；
（3）如图，过点作，
四边形是垂等四边形，
，
又垂等四边形的面积是，
，
解得，，
又，
，
设半径为，根据垂径定理可得：
在中，，，
，
的半径为．
【点评】本题是一道圆的综合题，主要考查了平行四边形的性质、菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、新定义、圆周角定理、垂径定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用新定义解答问题．
22. 【答案】（1）
（2）采购甲型电脑台，乙型电脑台时商店获得最大利润，最大利润是元
【解析】（1）由题意得：，
∴ 全部售出后该商店获利与之间函数表达式为；
（2）由题意得：，
解得，
为正整数，
、、、，
共有四种采购方案：
① 甲型电脑台，乙型电脑台，
② 甲型电脑台，乙型电脑台，
③ 甲型电脑台，乙型电脑台，
④ 甲型电脑台，乙型电脑台，
，且，
随的增大而减小，
当取最小值时，有最大值，
即时，最大值，
采购甲型电脑台，乙型电脑台时商店获得最大利润，最大利润是元．
【点评】此题考查了一次函数的实际应用，不等式组的应用，方案问题的解决方法，正确理解题意，根据题意列出对应的函数关系式或是不等式组解答问题是解题的关键．
23. 【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析
【解析】（1）证明：连接，如图所示，
，且，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2），且，
为等边三角形，
，
又，
，
，
又，
是的角平分线，
，，
，
又，
（HL），
．
，，，
，
又，
是的角平分线，
，，
，
，，
，
，即，
又，，
．
【点评】本题考查了切线的判定和性质、角平分线的性质、相似三角形的判定和性质等，属于中考常考题型，熟练掌握切线性质、角平分线性质是解决此题的关键．
24. 【答案】（1）；
（2）
（3）点坐标存在，为或或
（4）或
【解析】（1）令中，此时，
故点坐标为，
又，
抛物线的顶点的坐标为；
（2）过点作轴的垂线交直线于点，连接，，如图所示：
令，
解得：或，
，，
设直线的解析式为：，
代入，得：
，
解得，
设点坐标为，故点坐标为，其中，
则（其中，，分别表示，，三点的横坐标），且，，
故，其中
当时，有最大值为，
此时点的坐标为，
（3）设点坐标为，点坐标为，且，分情况讨论：
① 当为对角线时，则另一对角线是，由中点坐标公式可知：
线段的中点坐标为，即，
线段的中点坐标为，即，
此时的中点与的中点为同一个点，
，
解得，
经检验此时四边形为平行四边形，此时坐标为；
② 当为对角线时，则另一对角线是，由中点坐标公式可知：
线段的中点坐标为，即，
线段的中点坐标为，即，
此时的中点与的中点为同一个点，
，
解得，
经检验此时四边形为平行四边形，此时坐标为；
③ 当为对角线时，则另一对角线是，由中点坐标公式可知：
线段的中点坐标为，即，
线段的中点坐标为，即，
此时的中点与的中点为同一个点，
，
解得，
经检验此时四边形为平行四边形，此时坐标为；
综上所述，点坐标存在，为或或；
（4）连接，，如图所示：
设的解析式为：，
代入，得，
解得
的解析式为：，令，则，
点坐标为，
，且，
，
，
设，
又点在线段上，
，
则，
由题意知：相似，
分情况讨论：
① ，
，
，
解得，满足，此时的坐标为；
② ，
，
，
解得，满足，此时的坐标为．
综上所述，点的坐标为或．
【点评】本题是二次函数综合题目，考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求直线的解析式、平行四边形的性质、相似三角形的性质和判定、等腰三角形的判定与性质等知识；本题综合性较强，具有一定的难度，熟练掌握二次函数的图形和性质，学会用代数的方法求解几何问题．
