2020年山东省聊城市中考数学试卷
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2020年山东省聊城市中考数学试卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：xxx 分钟；命题人：xxx
题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 |
得分 |
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| 一、 选择题（共12题） |
1. 在实数，，，中，最小的实数是．
A． B． C． D．
2. 如图所示的几何体的俯视图是．
A．
B．
C．
D．
3. 如图，在中，，，点是边上任意一点，过点作交于点，则的度数是．
A． B． C． D．
4. 下列计算正确的是．
A．
B．
C．
D．
5. 为了增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展疫情防控知识竞赛．来自不同年级的名参赛同学的得分情况如下表所示，这些成绩的中位数和众数分别是．
成绩分 | |||||
人数人 |
A．分，分
B．分，分
C．分，分
D．分，分
6. 计算的结果正确的是．
A． B． C． D．
7. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为．
A． B． C． D．
8. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是．
A． B．
C． D．
9. 如图，是的直径，弦，垂足为点，连接，．如果，，那么图中阴影部分的面积是．
A． B． C． D．
10. 如图，有一块半径为，圆心角为的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为．
A． B．
C． D．
11. 人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一块地砖．如果按图① ② ③ 的次序铺设地砖，把第个图形用图表示，那么图中的白色小正方形地砖的块数是．
A． B． C． D．
12. 如图，在中，，，将绕点旋转得到，使点的对应点落在上，在上取点，使，那么点到的距离等于．
A． B．
C． D．
| 二、 填空题（共5题） |
13. 因式分解：________．
14. 如图，在中，四边形为菱形，点在上，则的度数是________．
15. 计算：________．
16. 某校开展读书日活动，小亮和小莹分别从校图书馆的“科技”、“文学”、“艺术”三类书籍中随机地抽取一本，抽到同一类书籍的概率是________．
17. 如图，在直角坐标系中，点，是第一象限角平分线上的两点，点的纵坐标为，且，在轴上取一点，连接，，，，使得四边形的周长最小，这个最小周长的值为________．
| 三、 解答题（共8题） |
18. 解不等式组并写出它的所有整数解．
19. 为了提高学生的综合素养，某校开设了五门手工活动课，按照类别分为： “剪纸”、 “沙画”、 “葫芦雕刻”、 “泥塑”、 “插花”．为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为________；统计图中的________，________；
（2）通过计算补全条形统计图；
（3）该校共有名学生，请你估计全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数．
20. 今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的，两种树苗，每捆种树苗比每捆种树苗多棵，每捆种树苗和每捆种树苗的价格分别是元和元，而每棵种树苗和每棵种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的倍和倍．
（1）求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？
（2）如果购进的这批树苗共棵，种树苗至多购进棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进种树苗和种树苗各多少棵？并求出最低费用．
21. 如图，在平行四边形中，为的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，，若，求证：四边形是矩形．
22. 如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼的高度进行测量，先测得居民楼与之间的距离为，后站在点处测得居民楼的顶端的仰角为，居民楼的顶端的仰角为，已知居民楼的高度为，小莹的观测点距地面．求居民楼的高度（精确到）．（参考数据：，，）．
23. 如图，已知反比例函数的图象与直线相交于点，．
（1）求出直线的表达式；
（2）在轴上有一点使得的面积为，求出点的坐标．
24. 如图，在中，，以的边为直径作，交于点，过点作，垂足为点．
（1）试证明是的切线；
（2）若的半径为，，求此时的长．
25. 如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，抛物线的顶点为，其对称轴与线段交于点，垂直于轴的动直线分别交抛物线和线段于点和点，动直线在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿轴正方向移动到点．
（1）求出二次函数和所在直线的表达式；
（2）在动直线移动的过程中，试求使四边形为平行四边形的点的坐标；
（3）连接，，在动直线移动的过程中，抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
参考答案及解析
一、 选择题
1. 【答案】D
【解析】，
，
实数，，，中，．
故个实数中最小的实数是：．
故选：
【点评】此题主要考查了实数比较大小，正确掌握实数大小比较方法是解题关键．
2. 【答案】C
【解析】从上面看，是一个矩形，矩形的靠右边有一条纵向的实线．
故选：
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
3. 【答案】B
【解析】，，
，
，
，
．
故选：
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质以及三角形的外角性质；熟练掌握等腰三角形的性质和平行线的性质是解题的关键．
4. 【答案】C
【解析】．，原计算错误，故此选项不合题意；
．，原计算错误，故此选项不合题意；
．，原计算正确，故此选项合题意；
．，原计算错误，故此选项不合题意．
故选：
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法和除法，幂的乘方与积的乘方的法则以及完全平方公式，熟记运算法则和公式是解答本题的关键．
5. 【答案】B
【解析】把这些数据从小到大排列，最中间的两个数是第、个数的平均数，
所以全班名同学的成绩的中位数是：；
出现了次，出现的次数最多，则众数是，
所以这些成绩的中位数和众数分别是分，分．
故选：
【点评】此题考查了中位数和众数众数．解题的关键是掌握求中位数和众数的方法，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．
6. 【答案】A
【解析】原式
．
故选：
【点评】本题主要考查了二次根式的乘除，熟记二次根式的性质是解答本题的关键．
7. 【答案】D
【解析】如图，过点作于．
在中，，，
，
．
故选：
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
8. 【答案】A
【解析】由原方程，得
，
，
．
故选：
【点评】本题考查了解一元二次方程配方法．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数．
9. 【答案】B
【解析】如图：
连接，，
，，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积．
故选：
【点评】本题考查了垂径定理、扇形面积的计算，圆周角定理，通过解直角三角形得到相关线段的长度是解答本题的关键．
10. 【答案】C
【解析】设底面半径为，则，
解得：，
所以其高为：．
故选：
【点评】考查了圆锥的计算，解题的关键是首先求得圆锥的底面的半径，难度不大．
11. 【答案】C
【解析】由图形可知图的地砖有块，
当时，．
故选：
【点评】考查了规律型：图形的变化，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“层数”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．
12. 【答案】D
【解析】方法一：
在中，，，
，，
将绕点旋转得到，使点的对应点落在上，
，，
，
延长交于，
，
，
，，
，
，
过作于，
，
方法二：
过作于，于，
则，，
在中，，，
，，
将绕点旋转得到，使点的对应点落在上，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
．
故选：
【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
二、 填空题
13. 【答案】；
【解析】原式．
故答案为：．
【点评】此题考查了提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14. 【答案】；
【解析】四边形内接于，
，
四边形为菱形，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，菱形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
15. 【答案】；
【解析】原式
．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了分式的混合运算，正确化简分式是解题关键．
16. 【答案】；
【解析】画树状图如下：
由树状图知，共有种等可能结果，其中抽到同一类书籍的有种结果，
所以抽到同一类书籍的概率为．
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．
17. 【答案】；
【解析】点，点的纵坐标为，
轴，
，
，
，
，
，
，
作关于轴的对称点，连接交轴于，
则此时，四边形的周长最小，这个最小周长的值，
过作交的延长线于，
则，，
，
最小周长的值．
故答案为：．
【点评】本题考查了轴对称最短路线问题，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、 解答题
18. 【答案】；它的所有整数解为，，
【解析】，
解不等式① ，，
解不等式② ，得，
原不等式组的解集为．
它的所有整数解为，，．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19. 【答案】（1）；；
（2）补全条形统计图如图所示：
（3）人
【解析】（1）（人），因此样本容量为；
（人），（人），
故答案为：，，；
（2）组频数：（人），
补全条形统计图如图所示：
（3）（人），
故：该校名学生中喜爱“葫芦雕刻”的有人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量和数量关系是正确解答的关键．
20. 【答案】（1）元
（2）购进种树苗棵，种树苗棵时，能使得购进这批树苗的费用最低，最低费用为元
【解析】（1）设这一批树苗平均每棵的价格是元，根据题意列，得：
，
解这个方程，得，
经检验，是原分式方程的解，并符合题意，
故答案为：这一批树苗平均每棵的价格是元；
（2）由（1）可知种树苗每棵的价格为：（元），种树苗每棵的价格为：（元），
设购进种树苗棵，这批树苗的费用为元，则：
，
是的一次函数，，
随的增大而减小，
又，
当棵时，最小，
此时，种树苗每棵有：（棵），
，
故答案为，购进种树苗棵，种树苗棵时，能使得购进这批树苗的费用最低，最低费用为元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用以及一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
21. 【答案】答案见解析
【解析】证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
为的中点，
，
，
．
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
22. 【答案】米
【解析】过点作交于点，交于点，
则，
，
，
，，
则，
在中，
，
，
，
在中，
，
，
．
故：居民楼的高度约为米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
23. 【答案】（1）
（2）或
【解析】（1）将点的坐标代入反比例函数表达式并解得：，
故反比例函数表达式为：，
将点的坐标代入上式并解得：，故点，
将点、的坐标代入一次函数表达式得，解得，
故直线的表达式为：；
（2）
连接、，
设直线与轴的交点为，当时，，故点，
分别过点、作轴的垂线、，垂足分别为、，
则，解得：，
故点的坐标为或．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
24. 【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】（1） 证明：连接、，
是直径，
，
，
，
为中点，
，
，
，
，
为半径，
是的切线；
（2）由（1）知是的中线，
，
的半径为，
，
，
，
，
，
，
，即，
．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理等知识点的综合运用．
25. 【答案】（1）；
（2）
（3）存在，点的坐标为：
【解析】（1）将点，，代入，
得：，
解得：，
二次函数的表达式为：，
当时，，
，
设所在直线的表达式为：，
将、代入，
得：，
解得：，
所在直线的表达式为：；
（2）轴，轴，
，
只要，四边形即为平行四边形，
，
点的坐标为：，
将代入，即，
点的坐标为：，
，
设点的横坐标为，
则的坐标为：，的坐标为：，
，
由得：，
解得：（不合题意舍去），，
当时，，
点的坐标为；
（3）存在，理由如下：
如图所示：
由（2）得：，
，
又与有共同的顶点，且在的内部，
，
只有时，，
，
、，
，
由（2）得：，，的坐标为：，
，
，
，
，
解得：，
当时，，
点的坐标为：．
【点评】本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、二次函数的性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握待定系数法求函数解析式，熟记二次函数的性质是解题的关键．
