2020年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷
展开
绝密★启用前
2020年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：xxx 分钟；命题人：xxx
题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 |
得分 |
|
|
|
|
| 一、 选择题（共10题） |
1. 下面四幅图是我国传统文化与艺术中的几个经典图案，其中不是轴对称图形的是．
A．
B．
C．
D．
2. 年月抗击“新冠肺炎”居家学习期间，小华计划每天背诵个汉语成语．将超过的个数记为正数，不足的个数记为负数，某一周连续天的背诵记录如下：，，，，，则这天他共背诵汉语成语．
A．个 B．个 C．个 D．个
3. 下列运算正确的是．
A．
B．
C．
D．
4. 已知电流在一定时间段内正常通过电子元件“”的概率是；则在一定时间段内，由该元件组成的图示电路、之间，电流能够正常通过的概率是．
A． B． C． D．
5. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关；初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是；有人要去某关口，路程为里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，则此人第一和第六这两天共走了．
A．里 B．里 C．里 D．里
6. 已知二次函数，当取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值总相等，则关于的一元二次方程的两根之积为．
A． B． C． D．
7. 关于二次函数，下列说法错误的是．
A．若将图象向上平移个单位，再向左平移个单位后过点，则
B．当时，有最小值
C．对应的函数值比最小值大
D．当时，图象与轴有两个不同的交点
8. 命题① 设的三个内角为、、且，，，则、、中，最多有一个锐角；② 顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形；③ 从个评委分别给出某选手的不同原始评分中，去掉个最高分、个最低分，剩下的个评分与个原始评分相比，中位数和方差都不发生变化．其中错误命题的个数为．
A．个 B．个 C．个 D．个
9. 在同一坐标系中，若正比例函数与反比例函数的图象没有交点，则与的关系，下面四种表述① ；② 或；③ ；④ ．正确的有．
A．个 B．个 C．个 D．个
10. 如图，把某矩形纸片沿，折叠（点、在边上，点，在边上），使点和点落在边上同一点处，点的对称点为、点的对称点为，若，，，则矩形的长为．
A． B． C． D．
| 二、 填空题（共6题） |
11. 如图，在中，为的中点，以为圆心，以长为半径画弧交于点，若，，，则扇形的面积为 ．
12. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．
13. 分式与的最简公分母是________，方程的解是________．
14. 公司以元的成本价购进柑橘，并希望出售这些柑橘能够获得元利润，在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，需要先进行“柑橘损坏率”统计，再大约确定每千克柑橘的售价，如表是销售部通过随机取样，得到的“柑橘损坏率”统计表的一部分，由此可估计柑橘完好的概率为________（精确到；从而可大约每千克柑橘的实际售价为________元时（精确到，可获得元利润．
柑橘总质量 | 损坏柑橘质量 | 柑橘损坏的频率（精确到） |
15. “书法艺术课”开课后，某同学买了一包纸练习软笔书法，且每逢星期几写几张，即每星期一写张，每星期二写张，，每星期日写张，若该同学从某年的月日开始练习，到月日练习完后累积写完的宣纸总数过张，则可算得月日到月日他共用宣纸张数为________，并可推断出月日应该是星期几________．
16. 已知为的直径且长为，为上异于，的点，若与过点的的切线互相垂直，垂足为．① 若等腰三角形的顶角为度，则，② 若为正三角形，则，③ 若等腰三角形的对称轴经过点，则，④ 无论点在何处，将沿折叠，点一定落在直径上，其中正确结论的序号为________．
| 三、 解答题（共8题） |
17. （1）计算：；
（2）已知是小于的常数，解关于的不等式组：．
18. 如图，正方形，是边上任意一点（不与、重合），于点，，且交于点．
（1）求证：；
（2）四边形是否可能是平行四边形，如果可能，请指出此时点的位置，如不可能，请说明理由．
19. 如图，一艘船由港沿北偏东方向航行到港，然后再沿北偏西方向航行至港，已知港在港北偏东方向．
（1）直接写出的度数；
（2）求、两港之间的距离．（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）
20. 已知自变量与因变量的对应关系如表呈现的规律．
（1）直接写出函数解析式及其图象与轴和轴的交点，的坐标；
（2）设反比列函数的图象与（1）求得的函数的图象交于，两点，为坐标原点且，求反比例函数解析式；已知，点与分别在反比例函数与（1）求得的函数的图象上，直接写出与的大小关系．
21. 为了发展学生的健康情感，学校开展多项体育活动比赛，促进学生加强体育锻炼，注重增强体质，从全校名学生秒跳绳比赛成绩中，随机抽取名同学的成绩，通过分组整理数据得到下面的样本频数分布表．
跳绳的次数 | 频数 |
________ | |
________________ | |
________________ | |
________________ | |
________________ | |
________________ | |
________________ |
|
（1）已知样本中最小的数是，最大的数是，组距是，请你将该表左侧的每组数据补充完整；
（2）估计全校学生秒跳绳成绩能达到最好一组成绩的人数；
（3）若以各组组中值代表各组的实际数据，求出样本平均数（结果保留整数）及众数；分别写出用样本平均数和众数估计全校学生秒跳绳成绩得到的推断性结论．
22. “通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程，就可以利用该思维方式，设，将原方程转化为：这个熟悉的关于的一元二次方程，解出，再求，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题．
已知实数，满足，求的值．
23. 某同学在学习了正多边形和圆之后，对正五边形的边及相关线段进行研究，发现多处出现著名的黄金分割比．如图，圆内接正五边形，圆心为，与交于点，、与分别交于点、．根据圆与正五边形的对称性，只对部分图形进行研究．（其它可同理得出）
（1）求证：是等腰三角形且底角等于，并直接说出的形状；
（2）求证：，且其比值；
（3）由对称性知，由（1）（2）可知也是一个黄金分割数，据此求的值．
24. 已知某厂以小时千克的速度匀速生产某种产品（生产条件要求）且每小时可获得利润元．
（1）某人将每小时获得的利润设为元，发现时，，所以得出结论：每小时获得的利润，最少是元，他是依据什么得出该结论的，用你所学数学知识帮他进行分析说明；
（2）若以生产该产品小时获得利润元的速度进行生产，则天（小时计算）可生产该产品多少千克；
（3）要使生产千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．
参考答案及解析
一、 选择题
1. 【答案】D
【解析】．是轴对称图形，故此选项不合题意；
．是轴对称图形，故此选项不合题意；
．是轴对称图形，故此选项不符合题意；
．不是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．
2. 【答案】A
【解析】个，
这天他共背诵汉语成语个．
故选：
【点评】本题考查了正数和负数，正确理解所记录的数的意义，列出代数式是关键．
3. 【答案】C
【解析】．，故选项错误；
．，故选项错误；
．
，故选项正确；
．，故选项错误．
故选：
【点评】本题考查了二次根式的乘法，幂的乘方和积的乘方，分式的混合运算，分式的除法法则，解题的关键是学会计算，掌握运算法则．
4. 【答案】A
【解析】根据题意，电流在一定时间段内正常通过电子元件的概率是，
即某一个电子元件不正常工作的概率为，
则两个元件同时不正常工作的概率为，
故在一定时间段内之间电流能够正常通过的概率为．
故选：
【点评】本题考查了等可能事件的概率，属于基础题，用到的知识点为：电流能正常通过的概率电流不能正常通过的概率．
5. 【答案】D
【解析】设第六天走的路程为里，则第五天走的路程为里，依此往前推，第一天走的路程为里，
依题意，得：，
解得：．
，
，
此人第一和第六这两天共走了里．
故选：
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
6. 【答案】D
【解析】二次函数，
当取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值总相等，
可知二次函数图象的对称轴为直线，即轴，
则，
解得：，
则关于的一元二次方程为，
则两根之积为．
故选：
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是得出二次函数图象的对称轴为轴．
7. 【答案】C
【解析】．将二次函数向上平移个单位，再向左平移个单位后，
表达式为：，
若过点，
则，解得：，故选项正确；
．，开口向上，
当 时，有最小值，故选项正确；
当时，，最小值为，，即对应的函数值比最小值大，故选项错误；
．，当时，，
即方程有两个不同的实数根，即二次函数图象与轴有两个不同的交点，故选项正确．
故选：
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，涉及到二次函数的基本知识点，解题的关键是掌握二次函数的性质，以及与一元二次方程的关系．
8. 【答案】B
【解析】① 设、、中，有两个或三个锐角，
若有两个锐角，假设、为锐角，则，，
，
，不成立，
若有三个锐角，同理，不成立，
假设，，则，
最多只有一个锐角，故命题① 正确；
② 如图，菱形中，点、、、分别是边、、、的中点，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形，故命题② 正确；
③ 去掉一个最高分和一个最低分，不影响中间数字的位置，故不影响中位数，
但是当最高分过高或最低分过低，平均数有可能随之变化，同样，方差也会有所变化，
故命题③ 错误；
综上：错误的命题个数为．
故选：
【点评】本题考查了命题与定理，涉及到三角形内角和，菱形的性质与矩形的判定，中位数和方差，解题时要根据所学知识逐一判定，同时要会运用反证法．
9. 【答案】B
【解析】同一坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象没有交点，若，则正比例函数经过一、三象限，从而反比例函数经过二、四象限，
则，
若，则正比例函数经过二、四象限，从而反比例函数经过一、三象限，
则，
综上：和异号，
① 和的绝对值的大小未知，故不一定成立，故① 错误；
② 或，故② 正确；
③ ，故③ 正确；
④ 和异号，则，故④ 正确；
故正确的有个，
故选：
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的图象，绝对值的意义，解题的关键是得到和异号．
10. 【答案】D
【解析】四边形是矩形，
，，设，
由翻折可知：，，
的面积为，的面积为，
又，
，则，
，
，
，
，
，
，
，即，
（负根舍弃），
，，，，
，，
，
即矩形的长为．
故选：
【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
二、 填空题
11. 【答案】；
【解析】解：，，
，
，，
，
，
，
扇形的面积．
故答案为
根据三角形内角和定理求出，根据三角形的外角的性质求出，根据扇形面积公式计算．
本题考查的是扇形面积计算，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．
12. 【答案】；
【解析】观察该几何体的三视图发现其为半个圆柱，
半圆柱的直径为，高为，
故其表面积为：，
故答案为：．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是首先根据三视图得到几何体的形状，难度不大．
13. 【答案】； ；
【解析】，
分式与的最简公分母是，
方程，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，变形得：，
解得：或，
当时，，当时，，
是增根.
方程的解为：
【点评】本题考查了最简公分母和解分式方程，解题的关键是掌握分式方程的解法．
14. 【答案】；；
【解析】从表格可以看出，柑橘损坏的频率在常数左右摆动，并且随统计量的增加这种规律逐渐明显，所以柑橘的完好率应是；
设每千克柑橘的销售价为元，则应有，
解得，
所以去掉损坏的柑橘后，水果公司为了获得元利润，完好柑橘每千克的售价应为元．
故答案为：；
【点评】本题考查了用频率估计概率的知识，用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．得到售价与利润的等量关系是解决问题的关键．
15. 【答案】；五、六、日．；
【解析】月日月日共天，包括四个完整的星期，
月日月日写的张数为：，
若月日为星期一，所写张数为，
若月日为星期二，所写张数为，
若月日为星期三，所写张数为，
若月日为星期四，所写张数为，
若月日为星期五，所写张数为，
若月日为星期六，所写张数为，
若月日为星期日，所写张数为，
故月日可能为星期五、六、日．
故答案为：；五、六、日
【点评】此题主要考查了规律型：数字的变化类和推理与论证，根据题意分别得出月日时所有的可能是解题关键．
16. 【答案】② ③ ④ ．；
【解析】① ，
，
和圆相切，，
，，
，，
，过点作，垂足为，
则，
而，，，
，故① 错误；
② 若为正三角形，
，，
，
，，
过点作，垂足为，
四边形为矩形，
，故② 正确；
③ 若等腰三角形的对称轴经过点，如图，
，而，
，又，
，
四边形为矩形，
，故③ 正确；
④ 过点作，垂足为，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，，，
，
，
垂直平分，则点和点关于对称，
即点一定落在直径 上，故④ 正确．
故正确的序号为：② ③ ④ ．
故答案为：② ③ ④
【点评】本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，切线的性质，垂径定理，知识点较多，多为一些性质定理，解题时要逐一分析，利用性质定理进行推导．
三、 解答题
17. 【答案】（1）
（2）
【解析】（1）原式
；
（2），
解不等式① 得：，
解不等式② 得：，
是小于的常数，
，
不等式组的解集为：．
【点评】本题考查了实数的混合运算，解一元一次不等式组，解题的关键是掌握运算法则和解法．
18. 【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析
【解析】（1）证明：正方形，
，，
，
，
，
又，
，
，
，，
；
（2）不可能，理由是：
如图，若要四边形是平行四边形，
已知，则当时，四边形为平行四边形，
，
，即此时，
而点不与和重合，
，矛盾．
四边形不能是平行四边形
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，平行四边形的性质，解题的关键是找到三角形全等的条件．
19. 【答案】（1）
（2）
【解析】（1）如图，由题意得：
；
（2）由题意得，，，，
过作于，如图所示：
，
在中，，
是等腰直角三角形，
，
，
在中，，，
，
，两港之间的距离为
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握解直角三角形，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
20. 【答案】（1）；
（2）；当或时，、当或时，、当或时，
【解析】（1）根据表格中数据发现：
和的和为，
，
且当时，，
令，，
，；
（2）设，，
分别过和作轴的垂线，垂足为和，
点和点都在反比例函数图象上，
，
化简得：，
联立，得：，
，，
，
则，解得：，
反比例函数解析式为：，
解，得：或，
，，
在反比例函数上，在一次函数上，当或时，；
当或时，；
当或时，．
【点评】本题考查了反比例函数和一次函数综合，涉及到解一元二次方程，根与系数的关系，解题时要根据图象利用数形结合思想解题．
21. 【答案】（1）
补充表格如下：
；
（2）
（3）平均数、众数；从样本平均数来看：全校学生秒跳绳平均水平约为个
从众数来看：全校学生秒跳绳成绩在到之间的人数较多
【解析】（1）由题意：最小的数是，最大的数是，组距是，可得分组，
，
补充表格如下：
；
（2）全校有名学生，样本中成绩能达到最好一组成绩的人数为，
人，
故全校学生秒跳绳成绩能达到最好一组成绩的人数为人；
（3）由题意可得：
次的有人，次的有人，次的有人，次的有人，次的有人，次的有人，次的有人，
则样本平均数，
众数为，
从样本平均数来看：全校学生秒跳绳平均水平约为个；
从众数来看：全校学生秒跳绳成绩在到之间的人数较多．
【点评】本题考查了频数分布表，样本估计总体，平均数与众数，解题的关键是利用统计表获取信息，同时必须认真观察、分析、研究，才能作出正确的判断和解决问题．
22. 【答案】或
【解析】令，，则原方程组可化为：
，整理得：，
②① 得：，
解得：，代入② 可得：，
方程组的解为：或，
，
当时，，
当时，．
因此的值为或
【点评】此题主要考查了高次方程的解法以及完全平方公式的运用，利用换元的思想，将高次方程转化为二元一次方程组是解题关键．
23. 【答案】（1）等腰三角形
（2）答案见解析
（3）
【解析】（1）连接圆心与正五边形各顶点，
在正五边形中，
，
，
同理，
，
是等腰三角形且底角等于，
，
，
，
，即为等腰三角形；
（2），，
，
，而，
，
设，，则，，
，，
，
，即，则，
两边同时除以，得：，设，
则，解得：或（舍）
；
（3），根据对称性可知：，
而，
．
【点评】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，有一定难度，解题的关键是算出相应角度，找到合适的相似三角形．
24. 【答案】（1）答案见解析
（2）
（3）选取小时千克的速度生产，此时最大利润为元
【解析】（1）他是依据一次函数和反比例函数的增减性质得出结论；
令，当时，，
当时，随的增大而减小，也随的增大而减小，
的值随的增大而减小，
随的增大而减小，
当时，取最小，
他的结论正确．
（2）由题意得：，
整理得：，
解得：，（舍）
即以小时千克的速度匀速生产产品，则天（按小时计算）可生产该产品千克．
天（按小时计算）可生产该产品千克；
（3）生产千克该产品获得的利润为：，
整理得：，
当时，最大，且最大值为元．
该厂应该选取小时千克的速度生产，此时最大利润为元．
【点评】本题考查了一次函数、二次函数和反比例函数的性质及一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并明确相关函数的性质是解题的关键．
