人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.2 函数的基本性质精品第1课时导学案及答案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.2 函数的基本性质精品第1课时导学案及答案，共14页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，课堂小结，参考答案等内容，欢迎下载使用。

3.2 函数的基本性质
3.2.1 单调性与最大（小）值
第1课时 函数的单调性
【学习目标】
课程标准
学科素养
1.理解增函数、减函数、单调区间、单调性的定义．
2.掌握定义法证明函数单调性的步骤（重点、难点）．
3.掌握求函数单调区间的方法(重点).
4.会用函数的单调性解答有关问题.
1、逻辑推理
2、数学抽象
3、直观想象
【自主学习】
一．增函数与减函数的定义
条件
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1，x2∈D，当x1＜x2时
都有
都有
结论
那么就称函数f(x)在区间D上是 函数
那么就称函数f(x)在区间D上是 函数
图示


思考1：在增函数与减函数的定义中，能否把“∀x1，x2∈D”改为“∃x1，x2∈D”？


思考2：设x1、x2是f(x)定义域某一个子区间M上的两个变量，如果f(x)满足以下条件，该函数f(x)是否为增函数？
(1)对任意x1 (2)对任意x1，x2，都有[f(x1)－f(x2)](x1－x2)>0；
(3)对任意x1、x2都有 >0.


思考3：由思考2推广，能否写出减函数的几个等价命题？


二．函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上是____________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的_____________.
解读：(1)函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，它是函数的一个局部性质．
(2)函数f(x)在定义域的某个区间D上单调，不一定在定义域上单调．如f(x)＝x2等．
(3)并非所有的函数都具有单调性，如f(x)＝，它的定义域是N，但不具有单调性．
思考4：函数的单调区间与其定义域是什么关系？


三．基本初等函数的单调区间如下表所示：
函数
条件
单调递增区间
单调递减区间
正比例函数(y＝kx，k≠0)与一次函数(y＝kx＋b，k≠0)
k＞0
R
无
k＜0
无
R
反比例函数(y＝，k≠0)
k＞0
无
(－∞，0)和(0，＋∞)
k＜0
(－∞，0)和(0，＋∞)
无
二次函数(y＝ax2＋bx＋c，a≠0)
a＞0
[－，＋∞)
(－∞，－]
a＜0
(－∞，－]
[－，＋∞)
思考5：函数y＝在定义域上是减函数吗？


【小试牛刀】
1.思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)因为f(－1) (2)若f(x)为R上的减函数，则f(0)>f(1)．(　　)
(3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数．(　　)
(4)若函数f(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，则f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减． (　　)
2.函数f(x)＝x2－2x＋3的单调减区间是________．
【经典例题】
题型一 函数单调性的判定与证明
点拨：利用定义证明函数单调性的步骤
1.取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1 2.作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子.
3.定号：确定f(x1)－f(x2)的符号.
4.结论：根据f(x1)－f(x2)的符号及定义判断单调性.
例1 用定义证明：函数f(x)＝x＋在(－1,0)上是减函数．



【跟踪训练】1 用定义证明，函数y＝在(－1，＋∞)上为增函数．



题型二 求函数的单调区间
点拨：1.求函数单调区间的方法：(1)利用基本初等函数的单调性，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解；(2)利用函数的图象，即先画出图象，根据图象求单调区间．
2．若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接.　
例2 求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．
(1)f(x)＝－；(2)f(x)＝(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.




【跟踪训练】2 (1)根据如图所示，写出函数在每一单调区间上函数是增函数还是减函数；

(2)写出y＝|x2－2x－3|的单调区间．


题型三 函数单调性的应用
角度1：利用函数的单调性比较函数值大小
点拨：利用函数的单调性可以将比较两个函数值的大小转化为比较两个自变量的大小．要注意两个自变量应在同一个单调区间上.
例3 已知函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减的，试比较f(a2－a＋1)与的大小．



【跟踪训练】3设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，若a∈R，则(　 　)
A．f(a)>f(2a)　　　　　 B．f(a2) C．f(a2＋a) 角度2：利用函数的单调性解不等式
点拨：对于x1 例4已知函数f(x)的定义域为[－2,2]，且f(x)在区间[－2,2]上是减函数，且f(1－m)＞f(m)，求实数m的取值范围．





【跟踪训练】4已知函数f(x)是定义在R上的增函数，且f(3a－7)>f(11＋8a)，则实数a的取值范围是 .


角度3：已知函数单调性求参数范围
点拨：已知函数的单调性，求函数中参数的取值范围的一般方法
(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，通过与已知单调区间比较，求参数的取值范围．
(2)运用函数的单调性的定义建立关于参数的不等式(组)，解不等式(组)求出参数的取值范围，即将函数值之间的不等关系与自变量间的不等关系进行等价转化．
注意：“函数f(x)的增区间是(a，b)”与“函数f(x)在区间(a，b)上单调递增”是不同的，后者意味着区间(a，b)是函数f(x)的增区间的一个子集．
例5 函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2，
(1)若函数f(x)的单调递减区间是(－∞，4]，则实数a的值(或范围)是________．
(2)若函数f(x)在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a的值(或范围)是________．

【跟踪训练】5已知函数f(x)＝若函数f(x)在[－7，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围．



【当堂达标】
1. (多选)如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法正确的是(　　)
A．函数在区间[－5，－3]上单调递增
B．函数在区间[1,4]上单调递增
C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减
D．函数在区间[－5,5]上没有单调性
2.已知f(x)＝(3a－1)x＋b在(－∞，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是 (　　)
A．(－∞，)　　 　B．(，＋∞) C．(－∞，] D．[，＋∞)
3.若函数f(x)＝x2－2ax＋3在(2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是 。
4.已知函数 f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0,3) B．(0,3] C．(0,2) D．(0,2]
5.已知函数f(x)为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f(x) 6.求证：函数f(x)＝在区间(0，＋∞)上是减函数，在区间(－∞，0)上是增函数.






【课堂小结】
1.函数的单调性
定义单调性时应强调x1，x2在其定义域内的任意性，其本质是把区间上无限多个函数值的大小比较转化为两个任意值的大小比较．
2.证明函数的单调性
证明函数的单调性(利用定义)一定要严格遵循设元、作差、变形、 定号、结论的步骤，特别在变形上，一定要注意因式分解、配方等技巧的运用，直到符号判定水到渠成才可．
3.等价转化、数形结合
已知函数单调性求参数的范围时，要树立两种意识：一是等价转化意识， 如f(x)在D上递增，则f(x1)














【参考答案】
【自主学习】
一．f(x1)＜f(x2)；增；f(x1)＞f(x2)；减
思考1：不能，如图所示：虽然 f(－1)
思考2：是增函数，它们是增函数的几种等价命题．
思考3：(1)对任意x1f(x2)；
(2)对任意x1，x2，都有[f(x1)－f(x2)](x1－x2)<0；
(3)对任意x1、x2都有 <0.
思考4：函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的，故单调区间是定义域的子集．
思考5：不是．y＝在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上也递减，但不能说y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减．
二．增函数或减函数；单调区间
【小试牛刀】
1.(1) × (2) √ (3) × (4) ×
2. (－∞，1] 解析：因为f(x)＝x2－2x＋3是图象开口向上的二次函数，其对称轴为
x＝1，所以函数f(x)的单调减区间是(－∞，1]．
【经典例题】
例1 证明：设－1＜x1＜x2＜0，
则有f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2)＋＝，
由于－1＜x1＜x2＜0,0＜x1x2＜1，x1x2－1＜0，又x1x2＞0，x1－x2＜0，
则f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，所以函数在(－1,0)上为减函数．
【跟踪训练】1解：设x1>x2>－1，
y1－y2＝－＝>0，
∴y1>y2，∴函数y＝在(－1，＋∞)上为增函数．
例2 解：(1)函数f(x)＝－的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数．
(2)当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，
所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，
并且函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．
(3)因为f(x)＝－x2＋2|x|＋3＝
根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，
函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，(－1,0)，[0,1)，[1，＋∞)．
f(x)在(－∞，－1]，[0,1)上是增函数，在(－1,0)，[1，＋∞)上是减函数．

【跟踪训练】2 解：(1)函数在[－1,0]，[2,4]上是减函数，在[0,2]，[4,5]上是增函数．
(2)先画出的图象，如图．

所以y＝|x2－2x－3|的单调减区间为(－∞，－1]，[1,3]；
单调增区间为[－1,1]，[3，＋∞)．
例3 解：∵a2－a＋1＝2＋≥，
∴与a2－a＋1都是区间(0，＋∞)上的值．
∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减的，
∴≥f(a2－a＋1)．
【跟踪训练】3 D解析：选项D中，∵a2＋1>a，f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，∴f(a2＋1) 例4 解：因为f(x)在区间[－2,2]上单调递减，所以当－2≤x1＜x2≤2时，总有f(x1)>f(x2)成立，反之也成立，即若f(x1)>f(x2)，则－2≤x1＜x2≤2.
因为f(1－m)＞f(m)，所以解得＜m≤2.
【跟踪训练】4 解析：由题意3a－7>11＋8a，解得a<－.
例5 (1)－3　(2)(－∞， －3] 解析：(1)因为函数f(x)的单调递减区间是(－∞，4]，且函数f(x)图象的对称轴为直线x＝1－a，所以有1－a＝4，即a＝－3.故应填－3.
(2)因为函数f(x)在区间(－∞，4]上单调递减，且函数f(x)图象的对称轴为直线x＝1－a，所以1－a≥4，即a≤－3.故应填(－∞，－3]．
【跟踪训练】5 解：令g(x)＝2－，h(x)＝x2＋2ax－3a＋3.显然，函数g(x)＝2－在(1，＋∞)上递增，且g(x)>2－＝－2；
函数h(x)＝x2＋2ax－3a＋3在[－a,1]上递增，且h(1)＝4－a，故若函数f(x)在[－7，＋∞)上为增函数，
则即∴a≥7，
∴a的取值范围为[7，＋∞)．
【当堂达标】
1.ABD 解析：由图可知，f(x)在区间[－3,1]，[4,5]上单调递减，单调区间不可以用并集“∪”连接，故选C.
2.B 解析：　f(x)＝(3a－1)x＋b为增函数，应满足3a－1＞0，即a＞，故选B.
3.a≤2 解析：因为函数f(x)＝x2－2ax＋3是图象开口向上的二次函数，其对称轴为x＝a，
所以其单调增区间为(a，＋∞)，由题意可得(2，＋∞)⊆(a，＋∞)，所以a≤2.
4. D 解析：依题意得实数a满足，解得0 5. 解析：因为f(x)在区间[－1,1]上为增函数，且f(x) 6.证明：对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，
有f(x1)－f(x2)＝－＝＝.
因为x1＜x2＜0，所以x2－x1＞0，x1＋x2＜0，xx＞0.所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．
所以函数f(x)＝在(－∞，0)上是增函数．
对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，有f(x1)－f(x2)＝.
因为0＜x1＜x2，所以x2－x1＞0，x2＋x1＞0，xx＞0.所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．
所以函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数．