2022-2023 数学华师大版中考考点经典导学 考点13二次函数的应用

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真题演练
一、单选题
1．（2021·山东日照·中考真题）如图，平面图形由直角边长为1的等腰直角和扇形组成，点在线段上，，且交或交于点．设，图中阴影部分表示的平面图形（或）的面积为，则函数关于的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据点的位置，分点在上和点在弧上两种情况讨论，分别写出和的函数解析式，即可确定函数图象．
【详解】
解：当在上时，即点在上时，有，
此时阴影部分为等腰直角三角形，
，
该函数是二次函数，且开口向上，排除，选项；
当点在弧上时，补全图形如图所示，
阴影部分的面积等于等腰直角的面积加上扇形的面积，再减去平面图形的面积即减去弓形的面积，
设，则，
，，
当时，，，
，
当时，，，
，
在，选项中分别找到这两个特殊值，对比发现，选项符合题意．
故选：D．
2．（2021·山东威海·中考真题）如图，在菱形ABCD中，，，点P，Q同时从点A出发，点P以1cm/s的速度沿A﹣C﹣D的方向运动，点Q以2cm/s的速度沿A﹣B﹣C﹣D的方向运动，当其中一点到达D点时，两点停止运动．设运动时间为x（s），的面积为y（cm2），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
先证明∠CAB=∠ACB=∠ACD=60°，再分0≤x≤1、1＜x≤2、2＜x≤3三种情况画出图形，求出函数解析式，根据二次函数、一次函数图象与性质逐项排除即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，
∴△ABC，ACD都是等边三角形，
∴∠CAB=∠ACB=∠ACD=60°．
如图1，当0≤x≤1时，AQ=2x，AP=x，
作PE⊥AB于E，
∴，
∴，
故D选项不正确；
如图2，当1＜x≤2时，CP=2-x，CQ=4-2x，BQ=2x-2，
作PF⊥BC与F，作QH⊥AB于H，
∴，
，
∴，
故B选项不正确；
当2＜x≤3时，CP=x-2，CQ=2x-4，
∴PQ=x-2，
作AG⊥CD于G，
∴，
∴，
故C不正确．
故选：A
3．（2021·山东聊城·中考真题）如图，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为4，AD＝5，CD＝3，∠ABC＝45°，点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQ⊥AB，已知点P的移动速度为每秒1个单位长度，设点P的移动时间为x秒，△APQ的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
依次分析当、、三种情况下的三角形面积表达式，再根据其对应图像进行判断即可确定正确选项．
【详解】
解：如图所示，分别过点D、点C向AB作垂线，垂足分别为点E、点F，
∵已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为4，
∴DE=CF=4，
∵点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQ⊥AB，
∴PQ∥DE∥CF，
∵AD=5，
∴,
∴当时，P点在AE之间，此时，AP=t，
∵,
∴，
∴，
因此，当时，其对应的图像为，故排除C和D；
∵CD＝3，
∴EF=CD=3，
∴当时，P点位于EF上，此时，Q点位于DC上，其位置如图中的P1Q1，则，
因此当时，对应图像为，即为一条线段；
∵∠ABC＝45°，
∴BF=CF=4，
∴AB=3+3+4=10，
∴当时，P点位于FB上，其位置如图中的P2Q2，此时，P2B=10-x，
同理可得，Q2P2=P2B=10-x，
，
因此当时，对应图像为，其为开口向下的抛物线的的一段图像；
故选：B．
4．（2021·山东罗庄·二模）如图，正方形ABCD的边长为5，动点P的运动路线为A→B→C，动点Q的运动路线为B→D．点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，当一个点到达终点停止运动时另一个点也随之停止．设点P运动的路程为x，△BPQ的面积为y，则下列能大致表示y与x的函数关系的图象为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
分两种情况：P点在AB上运动和P点在BC上运动时；分别求出解析式即可．
【详解】
解：（1）点P在AB上运动时，0＜x≤5，如图，
∵正方形ABCD的边长为5，点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，
作QE⊥AB交AB于点E，
则有AP＝BQ＝x，∠EBQ＝∠DBC＝45°，
∴BP＝5−x，QE＝，
∴△BPQ的面积为：y＝BP•QE＝×(5−x)×=（0＜x≤5），
∴此时图象为抛物线开口方向向下；
（2）点P在BC上运动时，5＜x≤5，如图，
∵正方形ABCD的边长为5，点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，
作QE⊥BC交BC于点E，
则有AB＋BP＝BQ＝x，∠DBC＝45°，
∴BP＝x−5，QE＝，
∴△BPQ的面积为：y＝BP•QE＝×（x−5）×=（5＜x≤5），
∴此时图象是抛物线一部分，开口方向向上，且y随x的增大而增大；
综上，只有选项B的图象符合，
故选：B．
5．（2021·山东邹城·二模）如图，四边形是边长为1的正方形，点E是射线上的动点（点E不与点A，点B重合），点F在线段的延长线上，且，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接．设，四边形的面积为y，下列图象能正确反映出y与x的函数关系的是（ ）
B．
C．D．
【答案】B
【分析】
分两种情况求出函数的解析式，再由函数解析式对各选项进行判断．
【详解】
解：∵四边形ABCD是边长为1的正方形，
∴∠DAB=90°，AD=AB，
在△ADE和△ABF中，
∴△ADE≌△ABF（SAS），
∴∠ADE=∠ABF，DE=BF，
∵∠DEG=90°，
∴∠ADE+∠AED=∠AED+∠BEG，
∴∠BEG=∠ADE，
∴∠BEG=∠ABF，
∴EGBF，
∵DE=BF，DE=GE，
∴EG=BF，
∴四边形BFEG是平行四边形，
∴四边形EFBG的面积=2△BEF的面积=2BE•AF，
设AE=x，四边形EFBG的面积为y，
当0≤x≤1时，y=（1-x）•x=-x2+x；
当x＞1时，y=（x-1）•x=x2-x；
综上可知，当0≤x≤1时，函数图象是开口向下的抛物线；当x＞1时，函数图象是开口向上的抛物线，
符合上述特征的只有B，
故选：B．
6．（2021·山东淄川·二模）某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，每人的单价就降低10元，若这个旅行社要获得最大营业额，此时旅行团人数为（ ）人
A．56B．55C．54D．53
【答案】B
【分析】
设旅行团人数为人，此时的营业额为元，根据优惠规定可建立与之间的函数关系式，再利用二次函数的性质即可得．
【详解】
解：设旅行团人数为人，此时的营业额为元，则，
由题意得：，
由二次函数的性质可知，在内，当时，取得最大值，
即若这个旅行社要获得最大营业额，此时旅行团人数为55人，
故选：B．
7．（2021·山东聊城·二模）如图．正方形中，，对角线，相交于点，点，分别从，两点同时出发，以的速度沿，运动，到点，时停止运动，设运动时间为，的面积为，则与的函数关系可用图象表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
因BE=CF，根据正方形的性质，可证明△BOE≌△COF，从而这两个三角形的面积相等，故四边形OECF的面积等于△BOC的面积，故有△OEF的面积=四边形OECF的面积−△ECF的面积，而△ECF的面积则可以用t的代数式表示出来，从而可得△OEF的面积关于t的函数关系式，最后可判定结果．
【详解】
由题意，得：BE=CF=tcm，则CE=BC-BE=(8-t)cm
∵四边形ABCD是正方形
∴∠OBE=∠OCF=45゜，OB=OC
∴△OBE≌△OCF
∴
∴
∵
∴
∴
根据函数解析式知正确答案为：B
故选：B．
8．（2021·山东张店·二模）如图，在边长为的菱形中，，是边上的动点，是边上的动点，满足，则的最大面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
过点F作FM⊥CD，交CD的延长线于点M，设DE=x，则DF=-x，得到=，进而即可求解．
【详解】
解：过点F作FM⊥CD，交CD的延长线于点M，∵，
∴∠FDM=60°，
∴MF=DF×sin60°=DF，
∵在菱形中，AB=BC=CD=AD=，，
∴DF+DE=，
设DE=x，则DF=-x，（0＜x＜），
∴=，
∴当x=时，的最大面积=．
故选D．
9．（2021·山东冠县·一模）如图，点在半径为2的上，过线段上的一点作直线，与过点的切线交于点，且，设，则的面积关于的函数图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据已知得出S与x之间的函数关系式，进而得出函数是二次函数，当x= 时，S取到最小值为：即可得出图象．
【详解】
∵A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB=60°，
∴AO=2，OP=，则AP=2-，
∴tan60°=
解得：AB=
∴S△ABP=
故此函数为二次函数，
∵＞0
∴当x=时，S取到最小值为：
根据图象得出只有D符合要求．
故选：D．
10．（2021·山东沂南·一模）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣k）2+h．已知球与D点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，球网与D点的水平距离为9m．高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是（ ）
A．球不会过网B．球会过球网但不会出界
C．球会过球网并会出界D．无法确定
【答案】C
【详解】
分析：（1）将点A(0,2)代入求出a的值；分别求出x=9和x=18时的函数值，再分别与2.43、0比较大小可得．
详解：根据题意,将点A(0,2)代入
得：36a+2.6=2，
解得：
∴y与x的关系式为
当x=9时,
∴球能过球网，
当x=18时,
∴球会出界.
故选C.
点睛：考查二次函数的应用题，求范围的问题，可以利用临界点法求出自变量的值，根据题意确定范围.
二、填空题
11．（2020·山东淄博·中考真题）某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站（包括甲站、乙站），一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是_____个．
【答案】210
【详解】
根据理解题意找出题目中所给的等量关系，找出规律，写出货包数量的函数解析式，再根据二次函数最值的求法求出快递货车装载的货包数量最多的站．
【解答】解：当一辆快递货车停靠在第x个服务驿站时，
快递货车上需要卸下已经通过的（x﹣1）个服务驿站发给该站的货包共（x﹣1）个，
还要装上下面行程中要停靠的（n﹣x）个服务驿站的货包共（n﹣x）个．
根据题意，完成下表：
由上表可得y＝x（n﹣x）．当n＝29时，y＝x（29﹣x）＝﹣x2+29x＝﹣（x﹣14.5）2+210.25，
当x＝14或15时，y取得最大值210．
答：在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是210个．
故答案为：210．
12．（2021·山东历下·三模）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；③一组对边平行，一条对角线平分一个内角的四边形是广义菱形；④若M、N的坐标分别为（0，2），（0，2），P是二次函数图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线于点Q，则四边形PMNQ是广义菱形．其中正确的是_________．（填序号）
【答案】①③④
【分析】
①正方形与菱形对边平行，邻边相等．②对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形不满足对边平行的条件．③通过对边平行与角平分线可得邻边相等．④数形结合，计算出PM与PN的长度作比较．
【详解】
解：①正方形与菱形对边平行，邻边相等，满足题意．
②对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形不满足对边平行的条件，不满足题意．
③如图，四边形，，平分，
，
，
平分，
，
，
，满足题意．
④如图，
设点坐标为，
则．
．
，
，
四边形是广义菱形满足题意．
故答案为：①③④．
13．（2021·山东·东营市胜利油田第十五中学一模）如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于 A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ，则线段OQ的最小值是_____．
【答案】
【分析】
连接BP，如图，先解方程x2﹣4＝0得A（﹣4，0），B（4，0），再判断OQ为△ABP的中位线得到OQ＝BP，利用点与圆的位置关系，连接BC交圆于P时，PB最小，然后计算出BP的最小值即可得到线段OQ的最小值．
【详解】
解：连接BP，如图，
当y＝0时，x2﹣4＝0，解得x1＝4，x2＝﹣4，则A（﹣4，0），B（4，0），
∵Q是线段PA的中点，
∴OQ为△ABP的中位线，
∴OQ＝BP，
当BP最小时，OQ最小，
连接BC交圆于P时，PB最小，
∵BC＝＝5，
∴BP的最小值＝5﹣2＝3，
∴线段OQ的最小值为．
故答案为：．
14．（2021·山东·宁津县教育和体育局教育科学研究所一模）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为3m处达到最高，高度为5m，水柱落地处离池中心距离为9m，则水管的长度OA是_____m．
【答案】．
【分析】
设抛物线的表达式为：y=a（x-h）2+k=（x-3）2+5，将点（9，0）代入上式求出a，进而求解．
【详解】
解：设抛物线的表达式为：y=a（x-h）2+k=a（x-3）2+5，
将点（9，0）代入上式并解得：，
故抛物线的表达式为：，
令x=0，则，即
故答案为：
15．（2021·山东城阳·一模）平时我们在跳绳时，绳子甩到最高处的形状可近似看作抛物线，如图，建立平面直角坐标系，抛物线的函数表达式为y＝－x2＋x＋(单位：m)，绳子甩到最高处时刚好通过站在x＝2点处跳绳的学生小明的头顶，则小明的身高为______m.
【答案】1.5
【详解】
试题解析：在中，
当时,得
即小明的身高为米.
故答案为1.5.
三、解答题
16．（2021·山东聊城·中考真题）如图，抛物线y＝ax2＋x＋c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，C两点坐标分别是A（1，0），C（0，﹣2），连接AC，BC．
（1）求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式；
（2）将ABC沿BC所在直线折叠，得到DBC，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上，若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；
（3）若点P是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接AP交BC于点Q，连接BP，BPQ的面积记为S1，ABQ的面积记为S2，求的值最大时点P的坐标．
【答案】（1）；；（2）点D不在抛物线的对称轴上，理由见解析；（3）点P坐标为（－2，－3）
【分析】
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点B坐标，再结合点A、C坐标利用相似三角形的判定及性质可证得，延长AC 到点D，使 DC＝AC，过点D作DEy轴，垂足为点E，由此可得，进而可求得点D的横坐标为－1，最后根据抛物线的对称轴是直线即可判断出点B不在对称轴上；
（3）先利用待定系数法求出直线BC的函数表达式，然后过点A作x轴的垂线交BC的延长线于点M，则点M坐标为，过点P作x轴的垂线交BC于点N，垂足为点H，设点P 坐标为，则点N坐标为，根据相似三角形的判定及性质可得，由此可得答案．
【详解】
解；（1）∵抛物线过A（1，0），C（0，﹣2），
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为 ．
设 AC 所在直线的表达式为，
∴，
解得，
∴AC 所在直线的表达式为；
（2）点D不在抛物线的对称轴上，理由是∶
∵抛物线的表达式是，
∴令y＝0，则，
解得，，
∴点B坐标为（－4，0）．
，，
∴．
又
∴．
∴．
∴，
∴．
∴将△ABC沿 BC折叠，点 A 的对应点D一定在直线AC上．
如下图，延长AC 到点D，使 DC＝AC，过点D作DEy轴，垂足为点E．
又∵，
∴，
∴DE＝OA＝1，
∴点D的横坐标为－1，
∵抛物线的对称轴是直线，
∴点D不在抛物线的对称轴上；
（3）设过点 B，C的直线表达式为，
∵点C 坐标是（0，－2），点B 坐标是（－4，0），
∴过点 B，C的直线表达式为．
过点 A 作x 轴的垂线交BC的延长线于点M，
则点M坐标为，
如下图，过点P作x轴的垂线交BC于点N，垂足为点H，
设点P 坐标为，则点N坐标为，
∴．
∵，
∴，
∵若分别以PQ，AQ为底计算△BPQ与△BAQ的面积，则△BPQ与△BAQ的面积的比为，
即．
∴，
∵，
∴当m＝－2时，的最大值为，
将m＝－2代入，得，
∴当取得最大值时，点P坐标为（－2，－3）．
17．（2021·山东临沂·中考真题）公路上正在行驶的甲车，发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s） 的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．
（1）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？
（2）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？
【答案】（1）87.5m；（2）6秒时两车相距最近，最近距离是2米
【分析】
（1）根据图像分别求出一次函数和二次函数解析式，令v=9求出t，代入求出s即可；
（2）分析得出当v=10m/s时，两车之间距离最小，代入计算即可．
【详解】
解：（1）由图可知：二次函数图像经过原点，
设二次函数表达式为，一次函数表达式为，
∵一次函数经过（0，16），（8，8），
则，解得：，
∴一次函数表达式为，
令v=9，则t=7，
∴当t=7时，速度为9m/s，
∵二次函数经过（2，30），（4，56），
则，解得：，
∴二次函数表达式为，
令t=7，则s==87.5，
∴当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是87.5m；
（2）∵当t=0时，甲车的速度为16m/s，
∴当10＜v＜16时，两车之间的距离逐渐变小，
当0＜v＜10时，两车之间的距离逐渐变大，
∴当v=10m/s时，两车之间距离最小，
将v=10代入中，得t=6，
将t=6代入中，得，
此时两车之间的距离为：10×6+20-78=2m，
∴6秒时两车相距最近，最近距离是2米．
18．（2021·山东济宁·中考真题）某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元．
（1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？
（2）甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱．如调整价格，每降价1元，平均每天可以多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元；（2）当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元．
【分析】
（1）设甲种商品每箱盈利x元，则乙种商品每箱盈利（x-5）元，根据题意列出方程，解方程即可得出结论；
（2）设甲种商品降价a元，则每天可多卖出20a箱，利润为w元，根据题意列出函数解析式，根据二次函数的性质求出函数的最值．
【详解】
解：（1）设甲种商品每箱盈利x元，则乙种商品每箱盈利（x-5）元，根据题意得：知识点一：二次函数的应用
关键点拨
实物抛物线
一般步骤
若题目中未给出坐标系，则需要建立坐标系求解，建立的原则：①所建立的坐标系要使求出的二次函数表达式比较简单；②使已知点所在的位置适当（如在x轴，y轴、原点、抛物线上等），方便求二次函数丶表达式和之后的计算求解.
据题意，结合函数图象求出函数解析式；
②确定自变量的取值范围；
③根据图象，结合所求解析式解决问题.
实际问题中
求最值
分析问题中的数量关系，列出函数关系式；
研究自变量的取值范围；
确定所得的函数；
④ 检验x的值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值；
⑤解决提出的实际问题.
解决最值应用题要注意两点：
①设未知数，在“当某某为何值时，什么最大（最小）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；
②求解最值时，一定要考虑顶点（横、纵坐标）的取值是否在自变量的取值范围内.
结合几何图形
根据几何图形的性质，探求图形中的关系式；
根据几何图形的关系式确定二次函数解析式；
利用配方法等确定二次函数的最值，解决问题
由于面积等于两条边的乘积，所以几何问题的面积的最值问题通常会通过二次函数来解决.同样需注意自变量的取值范围.
服务驿站序号
在第x服务驿站启程时快递货车货包总数
1
n﹣1
2
（n﹣1）﹣1+（n﹣2）＝2（n﹣2）
3
2（n﹣2）﹣2+（n﹣3）＝3（n﹣3）
4
3（n﹣3）﹣3+（n﹣4）＝4（n﹣4）
5
4（n﹣4）﹣4+（n﹣5）＝5（n﹣5）
…
…
n
0