2022-2023 数学华师大版中考考点经典导学 考点06一元二次方程

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真题演练
一、单选题
1．（2021·山东滨州·中考真题）下列一元二次方程中，无实数根的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
计算出各个选项中的Δ的值，然后根据Δ＞0有两个不等式的实数根，Δ=0有两个相等实数根，Δ＜0无实数根判断即可．
【详解】
解：在x2-2x-3=0中，Δ=b2-4ac=（-2）2-4×1×（-3）=16＞0，即该方程有两个不等实数根，故选项A不符合题意；
在x2+3x+2=0中，Δ=b2-4ac=32-4×1×2=1＞0，即该方程有两个不等实数根，故选项B不符合题意；
在x2-2x+1=0中，Δ=b2-4ac=（-2）2-4×1×1=0，即该方程有两个相等实数根，故选项C不符合题意；
在x2+2x+3=0中，Δ=b2-4ac=22-4×1×3=-8＜0，即该方程无实数根，故选项D符合题意；
故选：D．
2．（2021·山东潍坊·中考真题）若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该菱形的边长为（ ）
A．B．4C．25D．5
【答案】A
【分析】
先求出方程的解，即可得到，根据菱形的性质求出和 ，根据勾股定理求出即可．
【详解】
解：解方程，得，
即，
∵四边形是菱形，
∴，
由勾股定理得，
即菱形的边长为，
故选：．
3．（2021·山东菏泽·中考真题）关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．且B．且C．D．
【答案】D
【分析】
根据方程有实数根，利用根的判别式来求的取值范围即可．
【详解】
解：当方程为一元二次方程时，
∵关于的方程有实数根，
∴，且 ，
解得，且，
当方程为一元一次方程时，k=1，方程有实根
综上，
故选：D．
4．（2021·山东枣庄·中考真题）在平面直角坐标系中，直线垂直于轴于点（点在原点的右侧），并分别与直线和双曲线相交于点，，且，则的面积为（ ）
A．或B．或
C．D．
【答案】B
【分析】
设点的坐标为，从而可得，，再根据可得一个关于的方程，解方程求出的值，从而可得的长，然后利用三角形的面积公式即可得．
【详解】
解：设点的坐标为，则，
，
，
，
解得或，
经检验，或均为所列方程的根，
（1）当时，，
则的面积为；
（2）当时，，
则的面积为；
综上，的面积为或，
故选：B．
5．（2021·山东济宁·中考真题）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ）
A．2019B．2020C．2021D．2022
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程根的定义得到，则，再利用根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：∵m是一元二次方程的实数根，
∴，
∴，
∴，
∵m、n是一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴，
故选：B．
6．（2021·山东聊城·中考真题）关于x的方程x2＋4kx＋2k2＝4的一个解是﹣2，则k值为（ ）
A．2或4B．0或4C．﹣2或0D．﹣2或2
【答案】B
【分析】
把x=-2代入方程即可求得k的值；
【详解】
解：将x=-2代入原方程得到：，
解关于k的一元二次方程得：k=0或4，
故选：B．
7．（2021·山东临沂·中考真题）方程的根是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
利用因式分解法解方程即可得到正确选项．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴x+7=0，x-8=0，
∴x1=-7，x2=8．
故选：C．
8．（2021·山东·邹城市看庄中学一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．且C．D．且
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且△＞0，即（-2）2-4×k×（-1）＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴k≠0且△＞0，即（-2）2-4×k×（-1）＞0，
解得k＞-1且k≠0．
∴k的取值范围为k＞-1且k≠0．
故选：B．
9．（2021·山东·日照港中学二模）已知关于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则二次项系数a的取值范围是（ ）
A．a＞1B．a＞﹣2C．a＞1且a≠0D．a＞﹣1且a≠0
【答案】D
【分析】
由关于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，即可得判别式△＞0且二次项系数a≠0，继而可求得a的范围．
【详解】
解：∵一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝（﹣2）2﹣4×a×（﹣1）＞0，且a≠0，
解得：a＞﹣1且a≠0，
故选：D．
10．（2021·山东周村·一模）如图，在等边三角形中，，点是边上一点，且，点是边上一动点（，两点均不与端点重合），作，交边于点．若，当满足条件的点有且只有一个时，则的值为（ ）
A．4B．5C．D．
【答案】D
【分析】
先利用三角形相似的判定定理证明三角形相似，再根据相似的性质建立等量关系，最后把满足条件的点只有一个是，转化成方程的根只有一个，利用根的判别式求解．
【详解】
解：等边三角形，
，
,，
，
，
又，
，
，
若令，则有：，
由题意只有一个解，
，
解得：，
故选：D．
二、填空题
11．（2021·山东济南·中考真题）关于的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是__________．
【答案】-3
【分析】
由题意可把x=2代入一元二次方程进行求解a的值，然后再进行求解方程的另一个根．
【详解】
解：由题意把x=2代入一元二次方程得：
，解得：，
∴原方程为，
解方程得：，
∴方程的另一个根为-3；
故答案为-3．
12．（2021·山东枣庄·中考真题）若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为______．
【答案】8或9
【分析】
分4为等腰三角形的腰长和4为等腰三角形的底边长两种情况，再利用一元二次方程根的定义、根的判别式求解即可得．
【详解】
解：由题意，分以下两种情况：
（1）当4为等腰三角形的腰长时，则4是关于的方程的一个根，
因此有，
解得，
则方程为，解得另一个根为，
此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系定理；
（2）当4为等腰三角形的底边长时，则关于的方程有两个相等的实数根，
因此，根的判别式，
解得，
则方程为，解得方程的根为，
此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系定理；
综上，的值为8或9，
故答案为：8或9．
13．（2021·山东乳山·模拟预测）如图，，，，…是分别以，，，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点，，，…均在反比例函数的图象上，则的值为____________．
【答案】20
【分析】
根据点C1的坐标，确定y1，由点C1是等腰直角三角形的斜边中点，可以得到OA1的长，然后再设未知数，表示点C2的坐标，确定y2，代入反比例函数的关系式，建立方程解出未知数，表示点C3的坐标，确定y3，，y100，然后再求和，即可求解．
【详解】
解：如图，过点C1、C2、C3 分别作x轴的垂线，垂足分别为D1、D2、D3，则∠OD1C1=∠OD2C2=∠OD3C3=90°，
∵，，，…是分别以，，，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，
∴∠OC1D1=∠C1OD1=45°，
∴OD1=C1D1，
∴x1=y1，
∵点在反比例函数的图象上，
∴x1y1=4，
解得：x1=2，y1=2，
即OD1=C1D1=2，
∴OA1=2OD1=4，
设A1D2=a，则C2D2=a，此时C2（4+a，a），代入，得：
a(4+a)=4，解得： 或（舍去），
即，
同理， ，
，

，
∴．
故答案为： ．
14．（2021·山东乳山·模拟预测）若方程的两个根是，，则的值为________．
【答案】
【分析】
利用一元二次方程根与系数的关系可得 ， ，然后利用完全平方公式的变形可求出，即可求解．
【详解】
解：∵方程的两个根是，，
∴ ， ，
∵，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵，
∴
∴．
故答案为：．
15．（2021·山东省诸城市树一中学三模）商家通常依据“乐观系数准则”确定商品的销售价格，即根据商品的最低销售限价，最高销售限价以及实数确定实际销售价格，这里的被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数恰好使得，据此可得，最佳乐观系数的值等于__________．
【答案】
【分析】
由得到：，再根据，可得
，再列方程，解方程可得答案；
【详解】
解：由得到：，
即：，
，
，
，
，
解得：，，
，
不合题意，
，
故答案为：．
三、解答题
16．（2021·山东日照·中考真题）某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量（桶）与每桶降价（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
（1）求与之间的函数关系式；
（2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？
【答案】（1）y=10x+100；（2）这种消毒液每桶实际售价43元
【分析】
（1）设与之间的函数表达式为，将点、代入一次函数表达式，即可求解；
（2）根据利润等于每桶的利润乘以销售量得关于的一元二次方程，通过解方程即可求解．
【详解】
解：（1）设与销售单价之间的函数关系式为：，
将点、代入一次函数表达式得：，
解得：，
故函数的表达式为：；
（2）由题意得：，
整理，得．
解得，（舍去）．
所以．
答：这种消毒液每桶实际售价43元．
17．（2021·山东滨州·中考真题）某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同．
（1）求该商品每次降价的百分率；
（2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？
【答案】（1）10%；（2）6件
【分析】
（1）根据某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同，可设每次降价的百分率为x，从而可以列出方程60（1-x）2=48.6，然后求解即可；
（2）根据题意和（1）中的结果，可以列出相应的不等式，然后即可求得第一次降价出售的件数的取值范围，再根据件数为整数，即可得到第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价．
【详解】
解：（1）设该商品每次降价的百分率为x，
60（1-x）2=48.6，
解得x1=0.1，x2=1.9（舍去），
答：该商品每次降价的百分率是10%；
（2）设第一次降价售出a件，则第二次降价售出（20-a）件，
由题意可得，[60（1-10%）-40]a+（48.6-40）×（20-a）≥200，
解得a≥，
∵a为整数，
∴a的最小值是6，
答：第一次降价至少售出6件后，方可进行第二次降价．
18．（2021·山东潍坊·中考真题）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：（x，y）是函数y＝2x与的图象的交点坐标．
【答案】（1）9；（2）y-x，1或-1．
【分析】
（1）根据实数的运算法则计算；
（2）首先根据图象交点的求法得到x与y的值，再对原式进行化简，然后把x与y的值代入化简后的算式可得解．
【详解】
解：（1）原式=1+9+（1-×18）
=1+9-1=9；
（2）由已知可得：
，
解之可得：或，
∵原式=
=
=y-x，
∴当时，原式=2-1=1；知识点一：一元二次方程及其解法
关键点拨及对应举例
1. 一元二次方程的相关概念
(1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方程．
(2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项、常数项，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．
例：方程是关于x的一元二次方程，则方程的根为－1.
2.一元二次方程的解法
（1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解.
( 2 )因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解.
( 3 )公式法:一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0的求根公式为x=（b2-4ac≥0）.
(4)配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法．
解一元二次方程时，注意观察， 先特殊后一般，即先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，不能用这两种方法解时，再用公式法.
例：把方程x2+6x+3=0变形为(x+h)2=k的形式后，h=-3,k=6.
知识点二 ：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
3.根的判别式
(1)当Δ＝>0时，原方程有两个不相等的实数根．
(2)当Δ＝=0时，原方程有两个相等的实数根．
(3)当Δ＝<0时，原方程没有实数根．
例：方程的判别式等于8，故该方程有两个不相等的实数根；方程的判别式等于－8，故该方程没有实数根.
*4.根与系数的关系
（1）基本关系：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根分别为x1、x2,则x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.注意运用根与系数关系的前提条件是△≥0.
（2）解题策略：已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式的值时，先把所求代数式变形为含有x1+x2、x1x2的式子，再运用根与系数的关系求解.
与一元二次方程两根相关代数式的常见变形：
(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1,x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2,等.
失分点警示
在运用根与系数关系解题时，注意前提条件时△=b2-4ac≥0.
知识点三 ：一元二次方程的应用
4.列一元二次方程解应用题
（1）解题步骤：①审题；② 设未知数；③ 列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答．
运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义.
（2）应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用.
①平均增长率（降低率）问题：公式：b＝a(1±x)n，a表示基数，x表示平均增长率（降低率），n表示变化的次数，b表示变化n次后的量；
②利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%；
③传播、比赛问题：
④面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程.