人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直优秀第1课时学案

8.6.2　直线与平面垂直

第1课时　直线与平面垂直的定义及判定定理

知识点1　直线与平面垂直的定义

直线与平面垂直定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”“无数条直线”？

[提示]　定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的，但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直．

1．直线l与平面α内的无数条直线垂直，则(　　)

A．l和α相互平行

B．l和α相互垂直

C．l在平面α内

D．不能确定

D　[直线l和α相互平行或直线l和α相互垂直或直线l在平面α内都有可能，如图所示．

①　　　　②　　 　③]

知识点2　直线与平面垂直的判定定理

2．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直． (　　)

(2)若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线． (　　)

(3)若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线． (　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)×

3．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于(　　)

A．平面OAB　　　　　 B．平面OAC

C．平面OBC   D．平面ABC

C　[∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，∴OA⊥平面OBC．]

知识点3　直线与平面所成的角

1．相关概念：

2．定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．

3．直线与平面所成的角θ的取值范围：0°≤θ≤90°．

4．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于________；

AB1与平面ADD1A1所成的角等于________；

AB1与平面DCC1D1所成的角等于________．

45°　45°　0°　[∠B1AB为AB1与平面ABCD所成的角，即45°；∠B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角，即45°；AB1与平面DCC1D1平行， 即所成的角为0°．]

类型1　直线与平面垂直的判定

【例1】　如图，在三棱锥S­ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC．

(1)求证：SD⊥平面ABC；

(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC．

[证明]　(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，

所以SD⊥AC．在Rt△ABC中，AD＝BD，

由已知SA＝SB，

所以△ADS≌△BDS，

所以SD⊥BD．又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC，

所以SD⊥平面ABC．

(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，

所以BD⊥AC．由(1)知SD⊥BD．

又因为SD∩AC＝D，SD，AC⊂平面SAC，所以BD⊥平面SAC．

证线面垂直的方法

(1)线线垂直证明线面垂直：

①定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)；

②判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直，也与另一条垂直等结论来论证线线垂直．

(2)平行转化法(利用推论)：

①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；

②α∥β，a⊥α⇒a⊥β．

1．如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N．

求证：AN⊥平面PBM．

[证明]　设圆O所在的平面为α，

∵PA⊥α，且BM⊂α，

∴PA⊥BM．

又∵AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点，

∴AM⊥BM． 由于直线PA∩AM＝A，

∴BM⊥平面PAM，而AN⊂平面PAM，

∴BM⊥AN．

又AN⊥PM，

∴AN与PM、BM两条相交直线互相垂直．

故AN⊥平面PBM．

类型2　直线与平面所成的角

【例2】　(对接教材P152例4)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，

(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；

(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．

1．若图中的∠POA是斜线PO与平面α所成的角，则需具备哪些条件？

[提示]　需要PA⊥α，A为垂足，OA为斜线PO的射影，这样∠POA就是斜线PO与平面α所成的角．

2．空间几何体中，确定线面角的关键是什么？

[提示]　在空间几何体中确定线面角时，过斜线上一点向平面作垂线，确定垂足位置是关键，垂足确定，则射影确定，线面角确定．

[解]　(1)∵直线A1A⊥平面ABCD，

∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角，

设A1A＝1，则AC＝，

∴tan∠A1CA＝．

(2)连接A1C1交B1D1于O，

在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，

∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，

∴BB1⊥A1C1，

又BB1∩B1D1＝B1，

∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足为O．

∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角，

在Rt△A1BO中，

A1O＝A1C1＝A1B，

∴∠A1BO＝30°，

即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°．

在本例正方体中，若E为棱AB的中点，求直线B1E与平面BB1D1D所成角的正切值．

[解]　连接AC交BD于点O，过E作EO1∥AC交BD于点O1，易证AC⊥平面BB1D1D，

∴EO1⊥平面BB1D1D，

∴B1O1是B1E在平面BB1D1D内的射影，

∴∠EB1O1为B1E与平面BB1D1D所成的角．

设正方体的棱长为a．

∵E是AB的中点，EO1∥AC，∴O1是BO的中点，

∴EO1＝AO＝×＝，

B1O1＝＝＝，

∴tan∠EB1O1＝＝＝．

求直线与平面所成角的步骤是什么？

[提示]　(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．

(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．

(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．

2．在正三棱柱ABC ­A′B′C′中，AB＝1，AA′＝2，求直线BC′与平面ABB′A′所成角的正弦值．

[解]　如图所示，取A′B′的中点D，连接C′D，BD．

因为底面△A′B′C′是正三角形，所以C′D⊥A′B′．

因为AA′⊥底面A′B′C′，所以A′A⊥C′D．

又AA′∩A′B′＝A′，所以C′D⊥侧面ABB′A′，

所以BD是斜线BC′在平面ABB′A′上的射影，∠C′BD是直线BC′与平面ABB′A′所成的角．

等边三角形A′B′C′的边长为1，C′D＝，

在Rt△BB′C′中，BC′＝＝，

故直线BC′与平面ABB′A′所成的角的正弦值为

sin∠C′BD＝＝．

1．(多选题)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是(　　)

A　　　　　　　　　B

C　　　　　　　　　D

BD　[对于A，由AB与CE所成角为45°，可得直线AB与平面CDE不垂直；对于B，由AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，可得AB⊥平面CDE；对于C，由AB与CE所成角为60°，可得直线AB与平面CDE不垂直；对于D，连接AC，由ED⊥平面ABC，可得ED⊥AB，同理可得EC⊥AB，又ED∩EC＝E，所以AB⊥平面CDE．故选BD．]

2．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是(　　)

A．60°　　　　 B．45°

C．30°   D．120°

A　[∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝，即∠ABO＝60°． 故选A．]

3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D．

[证明]　如图，连接AC，

则AC⊥BD，

又∵BD⊥A1A，AC∩AA1＝A，

AC，A1A⊂平面A1AC，

∴BD⊥平面A1AC，

∵A1C⊂平面A1AC，

∴BD⊥A1C．

同理可证BC1⊥A1C．

又∵BD∩BC1＝B，

BD，BC1⊂平面BC1D，

∴A1C⊥平面BC1D．

回顾本节知识，自我完成以下问题：

(1)直线与平面垂直的定义是什么？

(2)直线与平面垂直的判定定理的内容是什么？应用该定理应注意哪些方面？

(3)直线与平面所成角的定义是什么？角的取值范围是什么？如何求解？