高中数学8.6 空间直线、平面的垂直学案

这是一份高中数学8.6 空间直线、平面的垂直学案，共30页。学案主要包含了知识点一，知识点二，知识点三，知识点四，知识点五，例1-1，例2-1，例2-2等内容，欢迎下载使用。


【知识点二】直线和平面垂直的判定定理
【知识点三】直线与平面垂直的性质定理
【知识点四】平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直
①定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
②画法：
③记作：α⊥β.
(2)判定定理
【知识点五】平面与平面垂直的性质定理
【例1-1】（概念的理解）下列命题中，正确的序号是__________．
①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；
②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
③若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；
④若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；
⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条．
【变式1】 (1)若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于( )
A．平面OAB B．平面OAC
C．平面OBC D．平面ABC
(2)如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是________．(填序号)
【变式2】下列说法中，正确的有( )
①如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直；
②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直；
③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面；
④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面；
⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内．
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
【例2-1】(线面垂直的判定)在四棱锥中，，，平面，为的中点，为的中点，．
（1）取中点，证明：平面；
（2）求点到平面的距离.
【变式1】如图，在三棱锥S－ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
【变式2】将棱长为2的正方体沿平面截去一半（如图1所示）得到如图2所示的几何体，点，分别是，的中点.
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积.
【例2-2】(线面垂直的性质)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.
【变式1】如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B，a⊂α，a⊥AB.求证：a∥l.
【例3-1】（概念理解）下列不能确定两个平面垂直的是( )
A．两个平面相交，所成二面角是直二面角 B．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线
C．一个平面经过另一个平面的一条垂线 D．平面α内的直线a垂直于平面β内的直线b
【例3-2】已知直线m，n与平面α，β，给出下列三个结论：
①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则m⊥n；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β.
其中正确结论的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式1】过两点与一个已知平面垂直的平面( )
A．有且只有一个 B．有无数个
C．有且只有一个或无数个 D．可能不存在
【例3-3】（证明面面垂直）如图，四棱锥中，底面是正方形，平面，，为与的交点，为棱上一点.
（1）证明：平面平面；
（2）若平面，求三棱锥的体积.
【变式1】如图，在三棱锥中，，，，，为线段的中点，为线段上一点．
（1）求证：平面平面；
（2）当面时，求三棱锥的体积．
【例3-4】（面面垂直的性质）如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.
求证：BC⊥AB.
【变式1】如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC.
求证：AM⊥平面EBC.
课后练习题
1．如图，已知⊙O所在平面，AB为⊙O的直径，C是圆周上的任意一点，过A作于E．求证：平面PBC．
2．如图，在正方体中，E为的中点，.求证：
（1）平面；
（2）平面.
3．如图所示，在正方体中，点为底面的中心，点为的中点，求证：平面．
4．已知直三棱柱中，，，是中点，是的中点.
（1）求证：；
（2）求证：平面.
5．如图，在四棱锥中，底面，，是的中点．
证明：（Ⅰ）；
（Ⅱ）平面．
6．如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是 上异于，的点.证明：平面平面.
7．如图，在三棱锥P-ABC中，平面ABC且，D、E分别为PC、AC的中点.
（1）求证：平面BDE；
（2）求证：平面平面PAC.
8．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为，的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面之间的距离.
8.6.1 空间直线、平面的垂直
【知识点一】直线与平面垂直的定义
【知识点二】直线和平面垂直的判定定理
【知识点三】直线与平面垂直的性质定理
【知识点四】平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直
①定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
②画法：
③记作：α⊥β.
(2)判定定理
【知识点五】平面与平面垂直的性质定理
【例1-1】（概念的理解）下列命题中，正确的序号是__________．
①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；
②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
③若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；
④若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；
⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条．
【答案】④⑤
【解析】当直线l与平面α内的无数条直线垂直时，l与α不一定垂直，所以①不正确；当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以②不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以③不正确，④正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以⑤正确．
【变式1】 (1)若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于( )
A．平面OAB B．平面OAC
C．平面OBC D．平面ABC
(2)如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是________．(填序号)
【解析】(1)∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC⊂平面OBC，
∴OA⊥平面OBC.
(2)根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件．
【变式2】下列说法中，正确的有( )
①如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直；
②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直；
③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面；
④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面；
⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内．
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】①④不正确，其他三项均正确．
【例2-1】(线面垂直的判定)在四棱锥中，，，平面，为的中点，为的中点，．
（1）取中点，证明：平面；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明: 因为中点，
在中，，则．
而，则在等腰三角形中，①.
又在中，, 则，
因为平面，平面，则，
又，即，，
则平面，因为平面，所以，因此②.
又，由①②知平面；
（2）在中，，，
又，平面，
平面，即为三棱锥的高，
，
在中，，，
设点到平面的距离为，
则，
，即点到平面的距离为.
【变式1】如图，在三棱锥S－ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
【解析】证明 (1)因为SA＝SC，D是AC的中点，
所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，
由已知SA＝SB，
所以△ADS≌△BDS，
所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC，
所以SD⊥平面ABC.
(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，
所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.
又因为SD∩AC＝D，SD，AC⊂平面SAC，所以BD⊥平面SAC.
【变式2】将棱长为2的正方体沿平面截去一半（如图1所示）得到如图2所示的几何体，点，分别是，的中点.
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）1.
【解析】（Ⅰ）如图所示：
连接，易知，
因为平面，平面，
所以，又，
所以平面.
在中，点，分别是，的中点，
所以.
所以平面.
（Ⅱ）∵平面，
∴是三棱锥在平面上的高，且.
∵点，分别是，的中点，
∴.
∴.
∴.
【例2-2】(线面垂直的性质)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.
【解析】证明 ∵AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，∴AE⊥AB，
又AB∥CD，∴AE⊥CD.
∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，
∴AE⊥平面PCD.
∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.
又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，
∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN.
【变式1】如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B，a⊂α，a⊥AB.求证：a∥l.
【解析】证明 ∵PA⊥α，l⊂α，∴PA⊥l.同理PB⊥l.
∵PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB，∴l⊥平面PAB.
又∵PA⊥α，a⊂α，∴PA⊥a.
∵a⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，
∴a⊥平面PAB.
∴a∥l.
【例3-1】（概念理解）下列不能确定两个平面垂直的是( )
A．两个平面相交，所成二面角是直二面角 B．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线
C．一个平面经过另一个平面的一条垂线 D．平面α内的直线a垂直于平面β内的直线b
【答案】D
【解析】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1B1CD内的直线A1B1垂直于平面ABCD内的一条直线BC，但平面A1B1CD与平面ABCD显然不垂直．
【例3-2】已知直线m，n与平面α，β，给出下列三个结论：
①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则m⊥n；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β.
其中正确结论的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】①若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交或异面，故①错误；易知②③正确．所以正确结论的个数是2.
【变式1】过两点与一个已知平面垂直的平面( )
A．有且只有一个 B．有无数个
C．有且只有一个或无数个 D．可能不存在
【答案】C
【解析】若过两点的直线与已知平面垂直时，此时过这两点有无数个平面与已知平面垂直，若过两点的直线与已知平面不垂直时，则有且只有一个过这两点的平面与已知平面垂直．
【例3-3】（证明面面垂直）如图，四棱锥中，底面是正方形，平面，，为与的交点，为棱上一点.
（1）证明：平面平面；
（2）若平面，求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）因为四边形为正方形，则，
底面，平面，，
，平面，
平面，平面平面；
（2）如下图所示，连接，
四边形为正方形，且，则为的中点，
因为平面，平面，平面平面，，
为的中点，为的中点，
平面，平面，且，
的面积为，
所以，.
【变式1】如图，在三棱锥中，，，，，为线段的中点，为线段上一点．
（1）求证：平面平面；
（2）当面时，求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：由，为线段的中点，
可得，
由，，，
可得 平面，
又平面，
可得
又
所以平面，平面，
所以平面平面；
（2）解：平面，平面，
且平面平面，
可得，
又为的中点，
可得为的中点，且，
由平面，可得平面，
可得，
则三棱锥的体积V= ．
【例3-4】（面面垂直的性质）如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.
求证：BC⊥AB.
【解析】证明 如图，在平面PAB内，
作AD⊥PB于点D.
∵平面PAB⊥平面PBC，
且平面PAB∩平面PBC＝PB，
AD⊂平面PAB，
∴AD⊥平面PBC.
又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC.
又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，
又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.
又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB.
【变式1】如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC.
求证：AM⊥平面EBC.
【解析】证明 ∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，BC⊥AC，
∴BC⊥平面ACDE.
又AM⊂平面ACDE，∴BC⊥AM.
∵四边形ACDE是正方形，∴AM⊥CE.
又BC∩CE＝C，BC，EC⊂平面EBC，
∴AM⊥平面EBC.
课后练习题
1．如图，已知⊙O所在平面，AB为⊙O的直径，C是圆周上的任意一点，过A作于E．求证：平面PBC．
【答案】证明见解析.
【解析】证明：由AB是⊙O的直径，
得.
又⊙O所在平面
⊙O所在平面内
所以，又，
所以面PAC，面PAC.
所以，又，，
所以平面PBC．
2．如图，在正方体中，E为的中点，.求证：
（1）平面；
（2）平面.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）在正方体中，平面，
平面，，
，，
平面；
（2）连接，
在正方体中，且，
四边形是平行四边形，且，
分别为中点，，
四边形是平行四边形，，
平面，平面，
平面.
3．如图所示，在正方体中，点为底面的中心，点为的中点，求证：平面．
【答案】证明见解析.
【解析】证明：在正方形中，，
平面，平面，可得，
而，可得平面，
而平面，则，
在直角三角形和直角三角形中，
，，，
，，即，即，
又，而，则平面．
4．已知直三棱柱中，，，是中点，是的中点.
（1）求证：；
（2）求证：平面.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】证明：（1），为等腰三角形
为中点，，
为直棱柱，平面平面，
平面平面，平面，
平面，
.
（2）取中点，连结，，
，，分别为，，的中点
，，
，
平面平面，
平面
平面.
5．如图，在四棱锥中，底面，，是的中点．
证明：（Ⅰ）；
（Ⅱ）平面．
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析.
【解析】（Ⅰ）因为底面，底面，
所以，
又，，
所以平面，
又平面
所以；
（Ⅱ）因为，是的中点，
所以，又，，
所以平面，又平面，
所以,
又因为，且，
所以平面，
又平面，
所以，又，
所以平面．
6．如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是 上异于，的点.证明：平面平面.
【答案】证明见解析
【解析】
由题设知，平面⊥平面，交线为.
因为⊥，平面，所以⊥平面，故⊥.
因为为上异于，的点，且为直径，所以⊥.
又=，所以⊥平面.
而平面，故平面⊥平面.
7．如图，在三棱锥P-ABC中，平面ABC且，D、E分别为PC、AC的中点.
（1）求证：平面BDE；
（2）求证：平面平面PAC.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）∵D、E分别为PC、AC的中点，∴，
∵平面BDE，平面BDE，
∴平面BDE．
（2）∵在三棱锥P-ABC中，平面ABC，，
D、E分别为PC、AC的中点，
∴，，
∵，∴平面PAC．
∵平面ABC，
∴平面BDE⊥平面PAC．
8．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为，的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面之间的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明：∵正方体中E，F分别为，的中点，
∴∥，=
∴四边形是平行四边形.
∴.
又平面，平，
∴平面.
∵∥，=
∴四边形是平行四边形.
∴.
又平向，平面，
∴AE∥平面.
又∵，
∴平面平面.
（2）平面与平面之间的距离也就是点B到面的距离，设为h，
∵正方体的棱长为2，
∴，，
∴的面积
∴三棱锥的体积，.
又三棱锥的体积.
由可得，
解得.
∴平面与平面之间的距离为.
定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法
l⊥α
有关概念
直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足
图示
画法
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
文字语言
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
符号语言
l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α
图形语言
文字语言
垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b
图形语言
文字语言
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
图形语言
符号语言
l⊥α，l⊂β⇒α⊥β
文字语言
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
符号语言
α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β
图形语言
定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法
l⊥α
有关概念
直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足
图示
画法
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
文字语言
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
符号语言
l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α
图形语言
文字语言
垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b
图形语言
文字语言
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
图形语言
符号语言
l⊥α，l⊂β⇒α⊥β
文字语言
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
符号语言
α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β
图形语言