人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直优质第2课时导学案

第2课时　线面垂直的性质与空间距离

知识点1　直线与平面垂直的性质定理

在长方体ABCD­A′B′C′D′中，棱AA′，BB′所在直线与平面ABCD位置关系如何？这两条直线又有什么样的位置关系？

[提示]　棱AA′，BB′所在直线都与平面ABCD垂直；这两条直线互相平行．

1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，若直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1C1，则(　　)

A．B1B⊥l

B．B1B∥l

C．B1B与l异面但不垂直

D．B1B与l相交但不垂直

B　[因为B1B⊥平面A1C1，又因为l⊥平面A1C1，所以l∥B1B．]

知识点2　空间距离

1．过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离．

2．一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．

3．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．

2．已知在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，则点C到平面BDD1B1的距离为(　　)

A．1　　　　B．　　　　C．2　　　　D．2

B　[如图，连接AC，DB交于点O，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，

∵DB⊥AC，BB1⊥AC，BB1∩DB＝B，

∴AC⊥平面BDD1B1．

∴点C到平面BDD1B1的距离为CO．

∵AB＝2，∴AC＝2，

∴CO＝AC＝．]

类型1　线面垂直性质定理的应用

【例1】　如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．求证：MN∥AD1．

[解]　因为四边形ADD1A1为正方形，

所以AD1⊥A1D．

又因为CD⊥平面ADD1A1，

所以CD⊥AD1．

因为A1D∩CD＝D，

所以AD1⊥平面A1DC．

又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1．

证明线线平行常用的方法

(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点．

(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线．

(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行．

(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直．

(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．

1．如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，直线a⊂β，a⊥AB．求证：a∥l．

[证明]　因为EA⊥α，α∩β＝l，即l⊂α，所以l⊥EA．

同理l⊥EB．又EA∩EB＝E，

所以l⊥平面EAB．

因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a，

又a⊥AB，EB∩AB＝B，

所以a⊥平面EAB．

由线面垂直的性质定理，得a∥l．

类型2　空间中的距离问题

【例2】　如图，在四棱锥P­ABCD中，CD⊥平面PAD，AD＝2PD＝4，AB＝6，PA＝2，∠BAD＝60°，点Q在棱AB上．

(1)证明：PD⊥平面ABCD；

(2)若三棱锥P­ADQ的体积为2，求点B到平面PDQ的距离．

[解]　(1)证明：因为AD＝2PD＝4，PA＝2，所以PA2＝PD2＋AD2，即PD⊥AD，因为CD⊥平面PAD，

所以CD⊥PD，且AD∩CD＝D．

所以PD⊥平面ABCD．

(2)因为三棱锥P­ADQ的体积为2，

所以S△ADQ·PD＝2，

所以S△ADQ＝3．

所以AD·AQ·sin 60°＝3，

所以AQ＝3．

所以Q为AB中点，即点A到平面PDQ的距离等于点B到平面PDQ的距离．

在△ADQ中，由余弦定理可得DQ＝

＝．

所以S△PDQ＝×PD×DQ＝．

由VP­ADQ＝VA­PDQ⇒2＝××d，所以d＝．

所以点B到平面PDQ的距离为．

空间中距离的转化

(1)利用线面、面面平行转化：利用线面距离、面面距离的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离．

(2)利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离．

(3)通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高．

2．在如图所示的几何体中，ABC­A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，AA1＝AC，四边形ABCD为平行四边形，AD＝2CD，∠ADC＝60°．

(1)求证：AC1⊥平面A1B1CD；

(2)若CD＝2，求C1到平面A1B1CD的距离．

[解]　(1)因为ABC­A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，又AA1＝AC，四边形ABCD为平行四边形，AD＝2CD，∠ADC＝60°，

所以四边形AA1C1C是正方形，

所以AC1⊥A1C．

设CD＝a，则AD＝2a，

AC＝

＝a，所以CD2＋AC2＝AD2，

所以AC⊥DC，所以AC⊥AB，

因为AA1⊥AB，AC∩AA1＝A，

所以AB⊥平面ACC1A1，又AB∥A1B1，AC1⊂平面ACC1A1，所以A1B1⊥AC1．

因为A1B1∩A1C＝A1，

所以AC1⊥平面A1B1CD．

(2)因为CD＝2，所以AD＝4，AC＝AA1＝＝2，所以AC1＝2．

所以点C1到平面A1B1CD的距离为AC1＝．

类型3　直线与平面垂直关系的综合应用

【例3】　如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AF⊥PC，求证：PB⊥EF．

[证明]　因为PA⊥平面ABC，BC在平面ABC上，所以PA⊥BC．

又AB是圆O的直径，所以AC⊥BC．

又AC，PA在平面PAC中交于A，

所以BC⊥平面PAC．又AF⊂平面PAC，

所以BC⊥AF．

因为AF⊥PC，BC，PC在平面PBC中交于C，所以AF⊥平面PBC．又PB⊂平面PBC，所以AF⊥PB．

又AE⊥PB，AF，AE在平面AEF中交于A，所以PB⊥平面AEF，所以PB⊥EF．

关于线面垂直判定、性质的应用

(1)分析已知的垂直关系，得出能够推出的线线、线面垂直，即挖掘已知条件，以方便后续证明．

(2)证明垂直关系时往往需要逆向思维，如要证明直线a垂直于平面α内直线b，可以考虑证明直线b垂直于直线a所在的平面β．

(3)掌握线线、线面垂直的相互转化．

3．如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，PA＝AD＝2．

(1)求证：CD⊥平面PAC；

(2)在棱PC上是否存在点H，使得AH⊥平面PCD？若存在，确定点H的位置；若不存在，说明理由．

[解]　(1)由题意，可得DC＝AC＝，又AD＝2，

所以AC2＋DC2＝AD2，即AC⊥DC，

又因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，

又因为PA∩AC＝A，所以DC⊥平面PAC．

(2)过点A作AH⊥PC，垂足为H，

由(1)可得CD⊥AH，又PC∩CD＝C，

所以AH⊥平面PCD，因为在Rt△PAC中，PA＝2，AC＝，＝，解得PH＝，所以PH＝PC，即在棱PC上存在点H，且PH＝PC，使得AH⊥平面PCD．

1．如图，P为△ABC所在平面α外一点，PB⊥α，PC⊥AC，则△ABC的形状为(　　)

A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．不确定

B　[由PB⊥α，AC⊂α，得PB⊥AC，

又AC⊥PC，PC∩PB＝P，

所以AC⊥平面PBC，所以AC⊥BC，所以△ABC为直角三角形．]

2．如图，ABCD­A1B1C1D1为正方形，则以下结论：①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1，其中正确结论的个数是(　　)

A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3

D　[由正方体的性质得BD∥B1D1，所以结合线面平行的判定定理可得BD∥平面CB1D1，所以①正确．

由正方体的性质得AC⊥BD，因为AC是AC1在底面ABCD内的射影，所以由三垂线定理可得：AC1⊥BD，所以②正确．

由正方体的性质得BD∥B1D1，由②可得AC1⊥BD，所以AC1⊥CB1，进而结论线面垂直的判定定理得到：AC1⊥平面CB1D1，所以③正确．

故选：D．]

3．已知四边形ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，当平行四边形ABCD满足条件________时，有PC⊥BD(填上你认为正确的一个条件即可)．

[答案]　四边形ABCD为菱形(答案不唯一)

4．在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上存在点Q满足PQ⊥DQ，则a的最小值为________．

4　[假设在BC边上存在点Q，使得PQ⊥DQ，连接AQ，因为在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝a，PA⊥平面ABCD，所以PA⊥DQ，因为PQ⊥DQ，PA∩PQ＝P，所以DQ⊥平面PAQ，所以DQ⊥AQ，所以∠AQD＝90°，

由题意得△ABQ∽△QCD，所以＝，

设BQ＝x，所以x(a－x)＝8，

即x2－ax＋8＝0(*)，

当Δ＝a2－32≥0时，(*)方程有解，

所以当a≥4时，在BC上存在点Q满足PQ⊥DQ，故a的最小值为4．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

(1)线面垂直的性质定理的内容是什么？

(2)空间中的距离包括哪几类？它们之间是如何转化的？

(3)如何求空间中点到平面的距离？