高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直学案

8.6.2 直线与平面垂直【学习目标】【自主学习】 直线与平面垂直的定义直线与平面垂直的判定定理直线和平面所成的角四．直线与平面垂直的性质定理五．线面距与面面距1.一条直线与一个平面平行时，这条直线上 到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．2.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的 到另一个平面的距离都 ，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．【小试牛刀】1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直． (　　)(2) 如果一条直线与一个平面内所有直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．(　　)(3)若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线． (　　)(4)如果直线l与平面α所成的角为60°，且m⊂α，则直线l与m所成的角也是60°.(　　)(5)若直线a∥平面α，直线b⊥平面α，则直线b⊥直线a.(　　)2.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于________．【经典例题】题型一 直线与平面垂直的判定点拨：证线面垂直的方法①线面垂直的定义．②线面垂直的判定定理．③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．例1 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N.求证：AN⊥平面PBM.【跟踪训练】1在正方体ABCD­A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D．题型二：直线与平面所成的角点拨：例2 如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是(　　)A．60° B．45° C．30° D．120°【跟踪训练】2在正方体ABCD­A1B1C1D1中，(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________；(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是________．题型三 线面垂直性质定理的应用点拨：直线与平面垂直的性质1.垂直于同一个平面的两条直线平行；2.如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内任一条直线垂直；3.若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；4.如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．　 例3 如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．求证：MN∥AD1.【跟踪训练】3 如图，已知正方体A1C. (1)求证：A1C⊥B1D1；(2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证：MN∥A1C.【当堂达标】1.直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是(　　)A.平行　　　　　　　B.垂直 C.在平面α内 D.无法确定2.如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是(　　)3.如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有______个．①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．4.等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α所成的角为30°，则斜边上的中线CM与α所成的角为________．5.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1.(1)求证：AB1⊥平面A1BC1；(2)若D为B1C1的中点，求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值．6.如图，已知四棱锥S­ABCD中ABCD为矩形，SA⊥平面AC，AE⊥SB于点E，EF⊥SC于点F.(1)求证：AF⊥SC；(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD.【课堂小结】一．证明线面垂直的方法：(1)线面垂直的定义．(2)线面垂直的判定定理．(3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．二．线线垂直和线面垂直的相互转化【参考答案】【自主学习】任意一条 垂线 垂面 垂足 两条相交直线 a∩b＝P 相交 垂直 交点 垂线 垂足 斜足 90° 0° 平行 a∥b 任意一点 任意一点 相等 【小试牛刀】1.(1)×　(2) √　(3)√　 (4)×　(5)√　2.45°　解析：如图所示，因为正方体ABCD­A1B1C1D1中，B1B⊥平面ABCD，所以AB即为AB1在平面ABCD中的射影，∠B1AB即为直线AB1与平面ABCD所成的角．由题意知，∠B1AB＝45°，故所求角为45°.【经典例题】例1 证明：设圆O所在的平面为α，∵PA⊥α，且BM⊂α，∴PA⊥BM.又∵AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点，∴AM⊥BM. 由于直线PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM，而AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN.∴AN与PM、BM两条相交直线互相垂直．故AN⊥平面PBM.【跟踪训练】1证明：如图，连接AC，∴AC⊥BD，又∵BD⊥A1A，AC∩AA1＝A，AC，A1A⊂平面A1AC，∴BD⊥平面A1AC，∵A1C⊂平面A1AC，∴BD⊥A1C．同理可证BC1⊥A1C．又∵BD∩BC1＝B，BD，BC1⊂平面BC1D，∴A1C⊥平面BC1D．例2 A 解析：∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝eq \f(1,2)，即∠ABO＝60°. 故选A．【跟踪训练】2 (1)45°　(2)30°　(3)90°解析：(1)由已知知∠A1BA为A1B与平面ABCD所成的角，∠A1BA＝45°.(2)连接A1D，AD1，BC1，交点为O，则易证A1D⊥平面ABC1D1，所以A1B在平面ABC1D1内的射影为OB，所以A1B与平面ABC1D1所成的角为∠A1BO，因为A1O＝eq \f(1,2)A1B，所以∠A1BO＝30°.(3)因为A1B⊥AB1，A1B⊥B1C1，又因为AB1∩B1C1＝B1，所以A1B⊥平面AB1C1D，即A1B与平面AB1C1D所成的角为90°.例3 证明：因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D．又因为CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC．又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.【跟踪训练】3 (1)如图，连接A1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1D1.因为四边形A1B1C1D1是正方形，所以A1C1⊥B1D1.又因为CC1∩A1C1＝C1，所以B1D1⊥平面A1C1C.又因为A1C⊂平面A1C1C，所以B1D1⊥A1C.(2)如图，连接B1A，AD1.因为B1C1eq \o(\s\do3(═),\s\up3(∥))AD，所以四边形ADC1B1为平行四边形，所以C1D∥AB1，因为MN⊥C1D，所以MN⊥AB1.又因为MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，所以MN⊥平面AB1D1.由(1)知A1C⊥B1D1.同理可得A1C⊥AB1.又因为AB1∩B1D1＝B1，所以A1C⊥平面AB1D1.所以A1C∥MN. 【当堂达标】1. D2.D解析：对于A，易证AB⊥MN，AB⊥NQ，即可得直线AB⊥平面MNQ；对于B，易证AB⊥MN，AB⊥NQ，即可得直线AB⊥平面MNQ；对于C，易证AB⊥NQ，AB⊥MQ，即可得直线AB⊥平面MNQ；对于D，由图可得MN与直线AB相交且不垂直，故直线AB与平面MNQ不垂直．故选D.3.4 解析：因为SD⊥底面ABCD，所以AC⊥SD．因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD．又BD∩SD＝D，所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB，故①正确．因为AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，所以AB∥平面SCD，故②正确．因为AD是SA在平面ABCD内的射影，所以SA与平面ABCD所成的角是∠SAD．故③正确．因为AB∥CD，所以AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角，故④正确．4.45° 解析：如图，设C在平面α内的射影为点O，连接AO，MO，则∠CAO＝30°，∠CMO就是CM与α所成的角．设AC＝BC＝1，则AB＝eq \r(2)，所以CM＝eq \f(\r(2),2)，CO＝eq \f(1,2)，所以sin∠CMO＝eq \f(CO,CM)＝eq \f(\r(2),2)，所以∠CMO＝45°.5.解：(1)证明：由题意知四边形AA1B1B是正方形，∴AB1⊥BA1.由AA1⊥平面A1B1C1得AA1⊥A1C1.又∵A1C1⊥A1B1，AA1∩A1B1＝A1，∴A1C1⊥平面AA1B1B．又∵AB1⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥AB1.又∵BA1∩A1C1＝A1，∴AB1⊥平面A1BC1.(2)连接A1D．设AB＝AC＝AA1＝1.∵AA1⊥平面A1B1C1，∴∠A1DA是AD与平面A1B1C1所成的角．在等腰直角三角形A1B1C1中，D为斜边B1C1的中点，∴A1D＝eq \f(1,2)B1C1＝eq \f(\r(2),2).在Rt△A1DA中，AD＝eq \r(A1D2＋A1A2)＝eq \f(\r(6),2).∴sin∠A1DA＝eq \f(A1A,AD)＝eq \f(\r(6),3)，即AD与平面A1B1C1所成角的正弦值为eq \f(\r(6),3).6.证明：(1)因为SA⊥平面AC，BC⊂平面AC，所以SA⊥BC.因为四边形ABCD为矩形，所以AB⊥BC.又因为SA∩ AB＝A，所以BC⊥平面SAB.所以BC⊥AE.又SB⊥AE，BC∩SB＝B，所以AE⊥平面SBC.又因为SC⊂平面SBC，所以AE⊥SC.又EF⊥SC，EF∩ AE＝E，所以SC⊥平面AEF.因为AF⊂平面AEF，所以AF⊥SC.(2)因为SA⊥平面AC，所以SA⊥DC.又AD⊥DC，AD∩SA＝A，所以DC⊥平面SAD.又AG⊂平面SAD，所以DC⊥AG.又由(1)有SC⊥平面AEF，AG⊂平面AEF，所以SC⊥AG.又SC∩DC＝C，所以AG⊥平面SDC.因为SD⊂平面SDC，所以AG⊥SD.素 养 目 标学 科 素 养1.了解直线与平面垂直的定义．2.理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直．3.理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题．4.能利用直线与平面垂直的判定定理和性质定理进行证明．1.直观想象;2.逻辑推理；3.数学运算定义如果直线l与平面α内的 直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直记法l⊥α有关概念直线l叫做平面α的 ，平面α叫做直线l的 ，它们唯一的公共点P叫做 画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直图示性质过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条垂线段与点面距过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离文字语言如果一条直线与一个平面内的 垂直，那么该直线与此平面垂直符号语言l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α， ⇒l⊥α图形语言斜线一条直线l与一个平面α ，但不与这个平面α ，图中直线PA斜足斜线和平面的 ，图中点A射影过斜线上斜足以外的一点P向平面α引 PO，过 O和 A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影直线和平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，图中∠PAO规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是 ；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是 图示取值范围[0°，90°]文字语言垂直于同一个平面的两条直线 符号语言a⊥α，b⊥α⇒ 图形语言作用线面垂直⇒线线平行