高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直教案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直教案设计，共4页。

第八章 立体几何初步
8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.2 直线与平面垂直
教学设计
一、 教学目标
1. 理解直线与平面垂直的定义。
2. 理解直线与平面垂直的判定定理。
3. 理解直线与平面垂直的性质定理，并能够证明。
4. 能运用判定定理证明直线与平面垂直的简单命题。
5. 能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题。
二、 教学重难点
1. 教学重点
直观感知、操作确认，概括出直线与平面垂直的判定定理、性质定理。
2. 教学难点
直线与平面垂直的判定定理的应用、性质定理的证明。
三、 教学过程
1. 新课导入
在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识。比如，旗杆与地面的位置关系，教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的形象。
2. 探索新知
一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α。直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面。直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫做垂足。
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直。
可以发现，过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条。
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离。
下面我们来研究直线与平面垂直的判定，即探究直线与平面垂直的充分条件。根据定义可以进行判断，但无法验证一条直线与一个平面内的所有直线都垂直。那么，有没有可行的方法？
一般地，我们有如下判定直线与平面垂直的定理。
定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直。
如图，一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足。过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂足PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上射影，平面的一条斜线和它平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°。直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°。
下面我们研究直线与平面垂直的性质，即探究在直线a与平面α垂直的条件下能推出哪些结论。
根据已有经验，我们可以探究直线a与平面α内的直线的关系.但由定义，a与α内的所有直线都垂直。所以，可以探究a，α与其他直线或平面的关系。
我们知道，在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行， 在空间中是否有类似的性质呢？
可以发现，这些直线相互平行。这样，我们得到了直线与平面垂直的一条性质定理：
定理 垂直于同一个平面的两条直线平行。
直线与平面垂直的性质定理告诉我们，可以由两条直线与一个平面垂直判定这两条直线互相平行。直线与平面垂直的性质定理揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系。在a⊥α的条件下，如果平面α外的直线b与直线a垂直，你能得到什么结论？如果平面β与平面α平行，你又能得到什么结论？你还能自己提出更多的问题，发现更多的结论吗？
一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离。由例5我们还可以进一步得出，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离。
3. 课堂练习
1．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于(　　)
A．平面OAB B．平面OAC
C．平面OBC D．平面ABC
答案：C　[由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.]
2．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是(　　)
A．平行 B．垂直
C．相交不垂直 D．不确定
答案：B　[一条直线和三角形的两边同时垂直，则其垂直于三角形所在平面，从而垂直第三边．]
3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于________．
答案：45°　[如图所示，因为正方体ABCD­A1B1C1D1中，

B1B⊥平面ABCD，所以AB即为AB1在平面ABCD中的射影，∠B1AB即为直线AB1与平面ABCD所成的角．由题意知，∠B1AB＝45°，故所求角为45°.]
4．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能(　　)
A．平行 B．相交　　　C．异面　　　D．垂直
答案：A　[若l∥m，l⊄α，m⊂α，则l∥α，这与已知l⊥α矛盾．所以直线l与m不可能平行．]
5．垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是(　　)
A．垂直 B．相交但不垂直
C．平行 D．不确定
答案：A　[因为梯形两腰所在直线为两条相交直线，所以由线面垂直的判定定理知，直线与平面垂直．选A.]
6．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是(　　)

A．60° B．45° C．30° D．120°
答案：A　[∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝，即∠ABO＝60°. 故选A.]
7．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D.
[证明]　如图，连接AC，

∴AC⊥BD，
又∵BD⊥A1A，AC∩AA1＝A，
AC，A1A⊂平面A1AC，
∴BD⊥平面A1AC，
∵A1C⊂平面A1AC，
∴BD⊥A1C.
同理可证BC1⊥A1C.
又∵BD∩BC1＝B，BD，BC1⊂平面BC1D，
∴A1C⊥平面BC1D.
4. 小结作业
小结：本节课学习了直线与平面垂直的判定定理的应用、性质定理的证明。
作业：完成本节课课后习题。
四、 板书设计
8.6.2 直线与平面垂直
定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直。
如图，一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足。过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂足PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上射影，平面的一条斜线和它平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°。直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°。
定理 垂直于同一个平面的两条直线平行。
一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离。如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离。