人教B版 (2019)必修 第一册2.2.4 均值不等式及其应用导学案

这是一份人教B版 (2019)必修 第一册2.2.4 均值不等式及其应用导学案，共3页。

掌握基本不等式 ab≤a+b2(a，b>0)．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题．
新知初探·自主学习——突出基础性
教 材 要 点
知识点一 算术平均值与几何平均值
给定两个正数a，b，数________称为a，b的算术平均值；数________称为a，b的几何平均值．
知识点二 基本不等式
(1)重要不等式：对于任意实数a、b，都有a2＋b2________2ab，当且仅当________时，等号成立．
(2)基本不等式：ab________a+b2(a＞0，b＞0)，当且仅当________时，等号成立．其中a+b2和ab分别叫做正数a，b的________和________．
状元随笔 基本不等式ab≤a+b2(a，b∈R＋)的应用：
(1)两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a＞0，b＞0，且a ＋b＝M，M为定值，则ab≤M 24，当且仅当a＝b时等号成立．即：a ＋b＝M，M为定值时，(ab)max＝M 24.
(2)两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a＞0，b＞0，且ab ＝P，P为定值，则a ＋b≥2P，当且仅当a ＝b时等号成立．
基 础 自 测

1．已知a，b∈R，且ab＞0，则下列结论恒成立的是( )
A．a2＋b2＞2ab B．a＋b≥2ab
C．1a+1b＞2ab D．ba+ab≥2
2．已知x>0，则x＋12x的最小值为( )
A．12 B．1 C．22 D．2
3．(多选)下列不等式中，不正确的是( )
A．a＋4a≥4 B．a2＋b2≥4ab
C．ab≥a+b2 D．x2＋3x2≥23
4．已知x，y都是正数．
(1)如果xy＝15，则x＋y的最小值是________；
(2)如果x＋y＝15，则xy的最大值是________．
2．2.4 均值不等式及其应用
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一 a+b2 ab
知识点二
(1)≥ a＝b (2)≤ a＝b 算术平均值 几何平均值
[基础自测]
1．解析：对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，所以A错误；对于B，C，虽然ab>0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D，因为ab>0，所以ba>0，ab>0，所以ba+ab≥2 ba·ab(当且仅当b＝a时，等号成立)，即ba+ab≥2成立．
答案：D
2．解析：因为x>0，所以x＋12x≥2x·12x＝2，故最小值为2，当且仅当x＝12x，即x＝22时取到最小值．
答案：D
3．解析：a<0，则a＋4a≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2<4ab，故B错，a＝4，b＝16，则ab答案：ABC
4．解析：(1)x＋y≥2xy＝215，即x＋y的最小值是215；当且仅当x＝y＝15时取最小值．
(2)xy≤x+y22＝1522＝2254，
即xy的最大值是2254.
当且仅当x＝y＝152时xy取最大值．
答案：(1)215 (2)2254