考前必背-2022学年-数学人教版（2019）-必修第一册
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一、集合
元素与集合 | 集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性 |
集合间的 基本关系 | 子集:若对任意x∈A,都有x∈B,则A⊆B(或B⊇A) |
真子集:若A⊆B,且B中至少有一个元素不属于A, 则A⫋B(或B⫌A) | |
相等:若A⊆B,且B⊆A,则A=B | |
结论:若有限集A中有n(n∈N*)个元素,则A的子集有2n个,真子集有(2n-1)个 | |
集合的基本 运算 | 并集:A∪B={x|x∈A,或x∈B},A⊆B⇔A∪B=B |
交集:A∩B={x|x∈A,且x∈B},A⊆B⇔A∩B=A | |
补集:∁UA={x|x∈U,且x∉A},A⊆B⇔∁UA⊇∁UB |
二、充分条件与必要条件
命题真假 | “若p,则q”为真命题 | “若p,则q”为假命题 |
推出关系 | 由p能推出q,记作p⇒q | 由p不能推出q,记作pq |
条件关系 | p是q的充分条件 | p不是q的充分条件 |
q是p的必要条件 | q不是p的必要条件 |
三、充要条件
如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q.此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的充分必要条件,简称为充要条件.概括地说,如果p⇔q,那么p与q互为充要条件.
四、全称量词与全称量词命题
全称量词 | 全称量词命题 | 全称量词命题 的真假判断 |
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号 “∀”表示 | 含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中任意一个x,p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M,p(x) | 全真为真,一假为假 |
五、存在量词与存在量词命题
存在量词 | 存在量词命题 | 存在量词命题的真假判断 |
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示 | 含有存在量词的命题,叫做存在量词命题. 存在量词命题“存在M中的元素x,p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M,p(x) | 一真为真,全假为假 |
六、全称量词命题和存在量词命题的否定
命题的类型 | 命题的符号表示 | 命题的否定 的符号表示 | 命题的否定 的类型 |
全称量词命题 | p:∀x∈M,p(x) | ¬p:∃x∈M,¬p(x) | 存在量词命题 |
存在量词命题 | p:∃x∈M,p(x) | ¬p:∀x∈M,¬p(x) | 全称量词命题 |
七、不等式的主要性质
1.对称性:a>b⇔b<a.
2.传递性:a>b,b>c⇒a>c.
3.加法法则:a>b⇒a+c>b+c;a>b,c>d⇒a+c>b+d.
4.乘法法则:a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac<bc;
a>b>0,c>d>0⇒ac>bd.
5.倒数法则:a>b,ab>0⇒<.
6.乘方法则:a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥2).
7.开方法则:a>b>0⇒>(n∈N,n≥2).
八、基本不等式
如果a,b是正数,那么≤(当且仅当a=b时,等号成立).
九、二次函数与一元二次方程、不等式
设一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两根为x1、x2,且x1≤x2,Δ=b2-4ac,则不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a>0)的解集的各种情况如下表:
| Δ>0 | Δ=0 | Δ<0 |
y=ax2+bx+c (a>0)的图象 | |||
ax2+bx+c=0 (a>0)的根 | 有两个不相等的实数根x1,x2(x1<x2) | 有两个相等的实数根x1=x2=- | 没有实数根 |
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 | {x|x<x1,或x>x2} | R | |
ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 | {x|x1<x<x2} | ⌀ | ⌀ |
十、函数的概念及其表示
函数 | 一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数 |
表示法 | 解析法、列表法和图象法 |
十一、函数的单调性与奇偶性
1.函数的单调性
增函数 | 减函数 |
设函数f(x)的定义域为I,区间D⊆I:如果∀x1,x2∈D | |
当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就称f(x)在区间D上单调递增,D叫做f(x)的递增区间 | 当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就称f(x)在区间D上单调递减,D叫做f(x)的递减区间 |
2.函数的最大(小)值
前提 | 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足 | |
条件 | ∀x∈I,都有f(x)≤M; ∃x0∈I,使得f(x0)=M | ∀x∈I,都有f(x)≥M; ∃x0∈I,使得f(x0)=M |
结论 | 那么称M是函数f(x)的最大值 | 那么称M是函数f(x)的最小值 |
3.函数的奇偶性
奇偶性 | 定义 | 图象特点 |
偶函数 | 一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果∀x∈I,都有-x∈I,且f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数 | 关于y轴对称 |
奇函数 | 一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果∀x∈I,都有-x∈I,且f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数 | 关于原点对称 |
十二、幂函数
定义 | 一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数 |
常见五 种幂函 数的图象 | |
性质 | 幂函数在(0,+∞)上都有定义 |
当α>0时,图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增 | |
当α<0时,图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减 |
十三、指数与指数函数
1.正数的分数指数幂
定义 | =(a>0,m,n∈N*,n>1) | ==(a>0,m,n∈N*,n>1) |
运算性质 | aras=ar+s;(ar)s=ars;(ab)r=arbr,其中a>0,b>0,r,s∈Q | |
2.指数函数及其性质
(1)概念:一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R.
(2)指数函数的图象与性质
底数 | a>1 | 0<a<1 |
图象 | ||
性质 | 定义域:R;值域:(0,+∞) | |
过定点(0,1),即x=0时,y=1 | ||
x>0时,y>1;x<0时,0<y<1 | x<0时,y>1;x>0时,0<y<1 | |
在(-∞,+∞)上是增函数 | 在(-∞,+∞)上是减函数 | |
十四、对数与对数函数
1.对数的概念与运算(a>0,且a≠1,M>0,N>0)
定义 | 一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN |
常用对数 | 以10为底的对数叫做常用对数,并把log10N记为lg N |
自然对数 | 以无理数e=2.718 28…为底的对数叫做自然对数,并把logeN记为ln N |
结论 | loga1=0;logaa=1;=N;logaab=b |
运算性质 | loga(MN)=logaM+logaN;loga=logaM-logaN; logaMn=nlogaM(n∈R) |
换底公式 | logab=(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1) |
2.对数函数及其性质
(1)概念:一般地,函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是(0,+∞).
(2)对数函数的图象与性质
底数 | a>1 | 0<a<1 |
图象 | ||
性质 | 定义域:(0,+∞);值域:R | |
过定点(1,0),即x=1时,y=0 | ||
x>1时,y>0;0<x<1时,y<0 | x>1时,y<0;0<x<1时,y>0 | |
在(0,+∞)上是增函数 | 在(0,+∞)上是减函数 | |
十五、函数与方程
1.函数的零点
概念 | 对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点 |
等价关系 | 方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点 |
函数零点 存在定理 | 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解 |
2.二分法求函数的零点
二分法 的概念 | 对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法 |
步骤 (给定精 确度ε) | (1)确定零点x0的初始区间[a,b],验证f(a)f(b)<0. (2)求区间(a,b)的中点c. (3)计算f(c),并进一步确定零点所在的区间:①若f(c)=0(此时x0=c),则c就是函数的零点;②若f(a)f(c)<0(此时零点x0∈(a,c)),则令b=c;③若f(c)f(b)<0(此时零点x0∈(c,b)),则令a=c. (4)判断是否达到精确度ε:若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复步骤(2)~(4) |
十六、三角函数
1.同角三角函数的基本关系
(1)sin2α+cos2α=1;
(2)tan α=.
2.诱导公式
记忆口诀:奇变偶不变,符号看象限.
公式一:
sin(2kπ+α)=sin α(k∈Z);cos(2kπ+α)=cos α(k∈Z);
tan(2kπ+α)=tan α(k∈Z).
公式二:
sin(π+α)=-sin α;cos(π+α)=-cos α;tan(π+α)=tan α.
公式三:
sin(-α)=-sin α;cos(-α)=cos α;tan(-α)=-tan α.
公式四:
sin(π-α)=sin α;cos(π-α)=-cos α;tan(π-α)=-tan α.
公式五:
sin=cos α;cos=sin α.
公式六:
sin=cos α;cos=-sin α.
3.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
(1)cos(α±β)=cos αcos β∓sin αsin β;
(2)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β;
(3)tan(α±β)=.
4.二倍角公式
(1)sin 2α=2sin αcos α;
(2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;
(3)tan 2α=.
5.辅助角公式
asin α+bcos α=sin(α+φ).
6.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
函数 | y=sin x | y=cos x | y=tan x |
图象 | |||
定义域 | R | R | xx≠kπ+,k∈Z |
值域 | [-1,1] | [-1,1] | R |
单调性 | 单调递增区间:2kπ-,2kπ+,k∈Z; 单调递减区间:2kπ+,2kπ+,k∈Z | 单调递增区间:[2kπ-π,2kπ],k∈Z; 单调递减区间: [2kπ,2kπ+π], k∈Z | 单调递增区间:kπ-,kπ+,k∈Z |
奇偶性 | 奇函数 | 偶函数 | 奇函数 |
对称性 | 对称中心: (kπ,0),k∈Z | 对称中心:kπ+,0,k∈Z | 对称中心: ,k∈Z |
对称轴: x=kπ+,k∈Z | 对称轴: x=kπ,k∈Z |
| |
周期 | 2π | 2π | π |
7.三角函数的图象变换
由函数y=sin x的图象通过变换得到函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种方法:
