第五章　三角函数 易错点习题-2022学年-数学人教版（2019）-必修第一册

本章复习提升

易混易错练

易错点1　忽略轴线角致错

1.(2022黑龙江齐齐哈尔龙江一中月考)设角α的顶点为坐标原点,始边为x轴的非负半轴,则“角α的终边在第二或第三象限”是“cos α<0”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.已知角α的终边过点P(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,则实数a的取值范围是　　　　. 

易错点2　应用三角函数的定义求值时忽略参数的范围致错

3.已知角α的终边过点P(-8m,-6sin 30°),且cos α=-,则m的值为　　　　. 

4.已知角α的终边过点P(-3m,m)(m≠0),则sin α=　　　　. 

易错点3　利用三角函数的基本关系时忽略隐含条件致错

5.已知sin θ=,cos θ=,若θ为第二象限角,则下列结论正确的是(　　)

A.a∈　　　　　　B.a=1

C.a=1或a=　　　　　　D.a=

6.(2022黑龙江大庆铁人中学期末)已知-π<x<0,sin x+cos x=.则:

(1)sin x-cos x的值为　　　　; 

(2)的值　　　　. 

易错点4　忽略对参数进行分类讨论致错

7.化简(n∈Z)的结果为　　　　. 

8.已知函数y=2asin+b的定义域为,函数的最大值为1,最小值为-5,求a和b的值.

易错点5　忽略三角函数的定义域、值域致错

9.函数f(x)=(　　)

A.是奇函数

B.是偶函数

C.既是奇函数又是偶函数

D.既不是奇函数也不是偶函数

10.(2020山西长治期末)函数y=2sin2x-2sin x+1的值域是　　　　　. 

易错点6　图象变换中因忽视自变量x的系数和平移的方向致错

11.要得到函数y=cos的图象,只需把函数y=sin 2x的图象(　　)

A.向左平移个单位长度

B.向左平移个单位长度

C.向右平移个单位长度

D.向右平移个单位长度

思想方法练

一、函数与方程思想在三角函数中的应用

1.(2020辽宁阜新二中期末)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则φ=　　　　. 

2.(2020广西兴安中学期中)已知扇形的周长为20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少?

二、数形结合思想在三角函数中的应用

3.(2020黑龙江牡丹江一中月考)已知f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)是奇函数,直线y=与函数f(x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为,则(　　)

A.f(x)在上单调递减

B.f(x)在上单调递减

C.f(x)在上单调递增

D.f(x)在上单调递增

4.(2020山西期末)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)求方程f(x)=-在区间[0,4]内的所有实数根之和.

三、分类讨论思想在三角函数中的应用

5.(2020广东湛江期末)已知函数f(x)=sin ωx-cos ωx(ω>0)的最小正周期为π,g(x)=2sin2-4λf(x)-1.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)当x∈时,函数g(x)的最小值为-,求实数λ的值.

四、转化与化归思想在化简、求值及三角函数性质中的应用

6.(2020安徽安庆期末)在△ABC中,已知sin A=2sin Bcos C,则此三角形一定为(　　)

A.锐角三角形　　　　　　B.直角三角形

C.等腰三角形　　　　　　D.钝角三角形

7.(2022重庆八中期末)已知α,β∈,cos α=,cos(α+β)

=-,则sin β=　　　　. 

8.已知关于x 的方程2sin+m-1=0 在 上有两个不同的实数根,求m 的取值范围.

五、数学建模思想在三角函数中的应用

9.如图,点A,B分别是圆心在原点,半径为1和2的圆上的动点.动点A从初始位置A0开始,按逆时针方向以2 rad/s的角速度做圆周运动,同时点B从初始位置B0(2,0)开始,按顺时针方向以2 rad/s的角速度做圆周运动.记t(s)时刻,点A,B的纵坐标分别为y1,y2.

(1)求t=时,A,B两点间的距离;

(2)求y=y1+y2关于时间t(t>0)的函数关系式,并求当t∈时,这个函数的值域.

答案全解全析

易混易错练

1.A　若角α的终边在第二或第三象限,则cos α<0,充分性成立;

若cos α<0,则角α的终边在第二或第三象限,或在x轴负半轴上,必要性不成立.

故“角α的终边在第二或第三象限”是“cos α<0”的充分不必要条件.故选A.

易错警示　由角的象限可以确定三角函数值的符号;反过来,由三角函数值的符号确定角的范围时,要注意轴线角这种特殊情况,防止遗漏导致解题错误.

2.答案　(-2,3]

解析　∵cos α≤0,∴α的终边在第二或第三象限,也可能在y轴上或在x轴负半轴上.

∵sin α>0,∴α的终边在第一或第二象限,或在y轴正半轴上.

∴点P在第二象限或在y轴正半轴上.

∴或∴-2<a≤3,

∴实数a的取值范围是(-2,3].

3.答案　

解析　由题意可得cos α==-,

所以m=.

易错警示　在解这类题时,一定要注意题目中的隐含条件,由cos α=-<0可以得到m>0,解题时要注意参数的范围.

4.答案　或-

解析　由题意可得,|OP|==|m|(O为坐标原点).

当m>0时,|OP|=|m|=m,

则sin α==;

当m<0时,|OP|=|m|=-m,

则sin α==-.

故sin α的值为或-.

5.D　∵sin2θ+cos2θ=1,∴+=1,

解得a=1或a=.

当a=1时,sin θ=0,θ不是第二象限角,舍去;

当a=时,sin θ>0,cos θ<0,θ是第二象限角,符合题意.

∴a=.故选D.

易错警示　隐含条件为sin θ>0,cos θ<0,利用平方关系解出a的值后要注意检验.

6.答案　(1)-　(2)-

解析　(1)∵-π<x<0, sin x+cos x=,

∴-<x<0,∴sin x<0,cos x>0.

由sin x+cos x=,sin2x+cos 2x=1,

可得1+2sin xcos x=,即2sin xcos x=-,

因此(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x=,

又sin x-cos x<0,∴sin x-cos x=-.

(2)联立可得sin x=-,cos x=,

∴tan x==-.

∴==-.

易错警示　由条件sin x+cos x=>0及-π<x<0可得-<x<0,进而可确定sin x-cos x<0,若不注意分析角的范围,则易导致解题错误.

7.答案　(-1)n+1sin α(n∈Z)

解析　①当n=2k(k∈Z)时,

原式===-sin α.

②当n=2k+1(k∈Z)时,

原式===sin α.

综上,化简所得的结果为(-1)n+1sin α(n∈Z).

8.解析　∵0≤x≤,

∴-≤2x-≤.

∴-≤sin≤1.

若a>0,则解得

若a<0,则解得

易错警示　形如y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B(A≠0)的函数,其最值与参数A的正负有关,因此在解决这类问题时,要注意分A>0和A<0两种情况进行讨论.

9.D　由题意知sin x≠1,即f(x)的定义域为,不关于原点对称,

∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数.

易错警示　判断三角函数的奇偶性时,首先要考虑函数的定义域是否关于原点对称,再等价变形,最后下结论.

10.答案　

解析　y=2sin2x-2sin x+1=2+.

令t=sin x,则-1≤t≤1,y=2+,

∴当t=-1时,函数取得最大值,为5;

当t=时,函数取得最小值,为.

故函数的值域为.

易错警示　解与三角函数有关的最值问题时,注意正、余弦函数的有界性.

11.B　y=cos=sin=sin2x+=sin,故只需将y=sin 2x的图象向左平移个单位长度即可,故选B.

易错警示　当函数名称不同时,先统一函数名称,再进行图象变换,并注意左右平移变换的对象是自变量x,在此条件下遵循“左加右减”的法则.

思想方法练

1.答案　

解析　由题图可知=2π-=,所以T=,

因此ω==,所以f(x)=sin.

又函数图象过点(2π,1),所以sin=1,

找出关键点,列方程求解参数的值.

即+φ=2kπ+,k∈Z,解得φ=2kπ-,k∈Z,

又因为|φ|<π,所以φ=.

2.解析　设扇形的圆心角为α,半径为r,弧长为l,面积为S,则l=20-2r,

∴S=lr=(20-2r)·r=-r2+10r=-(r-5)2+25,

构建S关于r的一元二次函数,利用函数思想解题.

∴当r=5 cm时,扇形的面积最大,为25 cm2,

此时α===2(rad).

思想方法　在本章中,研究三角函数有关问题时,将条件化为等式或者函数式,通过方程或函数的知识求解,是一种常见的方法.

3.A　f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=sinωx+φ+.由f(x)是R上的奇函数,得f(0)=0,即sin=0,又|φ|<,所以φ=-.

因为直线y=与函数f(x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为,f(x)max=,所以f(x)的最小正周期T=,所以ω==4,

由直线y=与函数f(x)的图象的两个相邻交点(形)的横坐标之差的绝对值得到 f(x)的周期(数),利用周期求出ω的值. 

所以f(x)=sin 4x.

当x∈时,4x∈,函数在此区间内单调递减;

当x∈时,4x∈(0,π),函数在此区间内先增后减.

故选A.

4.解析　(1)由题图可知A=2,T=2×=2,所以ω==π,所以f(x)=2sin(πx+φ).

又点在f(x)的图象上,

所以2sin=2,所以+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=.

故f(x)=2sin.

(2)如图,易得f(x)在[0,4]上的图象与直线y=-有4个交点,则方程f(x)=-在[0,4]上有4个实数根,设这4个实数根分别为x1,x2,x3,x4(x1<x2<x3<x4).

将方程的根的问题转化为对应函数的图象的交点问题,结合图象分析解决问题.

由图可得x1,x2关于直线x=对称,x3,x4关于直线x=对称,所以x1+x2=,x3+x4=,所以x1+x2+x3+x4=.

思想方法　解决与三角函数有关的问题时,常通过数形结合实现图象与性质的有机结合,如解决函数的零点、方程的根的问题,一方面,利用图象确定函数零点或方程根的范围、个数,另一方面,利用图象的对称性寻求函数零点、方程根间的关系,进而解决相关问题.

5.解析　(1)f(x)=sin ωx-cos ωx=sin,因为f(x)的最小正周期为π,所以=π,即ω=2,因此f(x)=sin.

(2)由(1)知g(x)=2sin2-4λsin-1.

令t=sin,

则y=2t2-4λt-1=2(t-λ)2-2λ2-1.

因为x∈,所以2x-∈,所以t∈[0,1].

求y=2t2-4λt-1在t∈[0,1]上的最小值,要对给定区间与其图象的对称轴的位置关系进行分类讨论.

当λ<0时,y=2t2-4λt-1在t∈[0,1]上单调递增,所以当t=0时,ymin=-1≠-,不合题意.

当λ>1时,y=2t2-4λt-1在t∈[0,1]上单调递减,所以当t=1时,ymin=2-4λ-1=1-4λ,

所以1-4λ=-,解得λ=(舍去).

当0≤λ≤1时,ymin=-2λ2-1,所以-2λ2-1=-,解得λ=(负值舍去).

综上所述,λ=.

思想方法　在三角函数中,有关角所在的象限,参数的取值范围等,解题时要依据题意对其进行分类讨论.

6.C　由已知得sin A=sin(B+C)=sin B·cos C+cos Bsin C

=2sin Bcos C,

将角A的三角函数转化为角B、C的三角函数,通过恒等变形解决问题.

于是sin Bcos C-cos Bsin C=0,即sin(B-C)=0,所以B=C,故此三角形一定是等腰三角形.故选C.

7.答案　

解析　因为cos α=,α∈,所以sin α=.因为α,β∈,所以α+β∈(0,π),又cos(α+β)=-,所以sin(α+β)=.

将所求角β的正弦转化为已知角的差的正弦.

所以sin β=sin(α+β-α)=sin(α+β)cos α-cos(α+β)·sin α=×+×=.

8.解析　方程2sin+m-1=0在x∈ 上有两个不同的实数根等价于方程-m+1=2sin2x+ 在x∈ 上有两个不同的实数根,即函数y=2sin 在上的图象与直线y=-m+1有两个交点.

将方程根的个数转化为函数图象交点的个数,数形结合解决问题.

如图,需满足1≤-m+1<2,解得-1<m≤0,即实数m 的取值范围为(-1,0].

思想方法　转化与化归思想在三角函数中常见的运用:将任意角的三角函数化为锐角三角函数进行求值;将y=Asin(ωx+φ)的图象化为y=Asin t的图象研究其图象和性质;将未知角的三角函数化为已知角的三角函数;进行恒等变形或者条件的等价转化等.

9.解析　(1)当t=时,∠xOA=+=,∠xOB=.作AD⊥BO交BO的延长线于点D,则∠AOD=.

∵|OA|=1,∴|OD|=,|AD|=.

∵|OB|=2,∴|BD|=2+=,∴|AB|2=|AD|2+|BD|2=+=7,

∴|AB|=.

故A,B两点间的距离为.

(2)依题意知y1=sin,y2=-2sin 2t,

∴y=y1+y2=sin-2sin 2t

=cos 2t-sin 2t=cos.

结合已知条件,构造三角函数模型,利用三角函数知识解决相关问题.

∴函数关系式为y=cos(t>0).

当t∈时,2t+∈,

∴cos∈,∴y∈.

思想方法　在三角函数中,与周期性相关的实际问题,常用三角函数模型进行解决.