高中数学人教B版 (2019)必修 第一册1.1.2 集合的基本关系课时练习

1.1.2　集合的基本关系

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.集合{x∈N|x=5-2n,n∈N}的子集的个数是(　　)

A.16 B.8 C.7 D.6

答案B

解析∵x∈N,n∈N,∴集合{x∈N|x=5-2n,n∈N}={1,3,5}.∴其子集的个数是23=8.

2.(2020山东济南高一检测)已知集合A={(x,y)|y=x},M=(x,y),则下列结论中正确的是 (　　)

A.M=A B.M⊆A

C.(1,1)⊆A D.M∈A

答案B

解析因为M=(x,y)={(1,1)},

所以M⊆A.

3.(多选题)设集合A={x∈Z|x<-1},则下列说法正确的是(　　)

A.⌀⊆A B.∈A

C.0∈A D.{-2}⫋A

答案AD

解析B中∉A,C中0∉A.

4.已知集合A=,集合B={m2,m+n,0},若A=B,则(　　)

A.m=1,n=0 B.m=-1,n=1

C.m=-1,n=0 D.m=1,n=-1

答案C

解析由A=B,得m2=1,且=0,m=m+n,解得m=±1,n=0.又m≠1,∴m=-1,n=0.

5.已知集合A={x|x2=4},①2⊆A;②{-2}∈A;③⌀⊆A;④{-2,2}=A;⑤-2∈A.则上列式子表示正确的有 (　　)

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 

答案C

解析∵A={x|x2=4|={-2,2},故④正确,∴2∈A,故①错误;-2∈A,故⑤正确;{-2}⊆A,故②错误;⌀⊆A,故③正确.所以正确的有3个.故选C.

6.(2020宁夏平罗中学高一月考)设集合A={x|-3≤x≤2},B={x|2k-1≤x≤2k+1},且A⊇B,则实数k的取值范围是　　　　. 

答案-1,

解析因为集合A={x|-3≤x≤2},B={x|2k-1≤x≤2k+1},且A⊇B,B≠⌀,所以解得-1≤k≤,所以实数k的取值范围是-1,.

7.已知A={y|y=x2-2x-6,x∈R},B={x|4x-7>5},那么集合A与B的关系为　　　　　　. 

答案B⫋A

解析对于二次函数y=x2-2x-6,x∈R,ymin==-7,所以A={y|y≥-7}.

又B={x|x>3},由图知B⫋A.

8.已知集合A={x|x=1+a2,a∈R},B={y|y=a2-4a+5,a∈R},试判断这两个集合之间的关系.

解因为x=1+a2,a∈R,所以x≥1.

因为y=a2-4a+5=(a-2)2+1,a∈R,所以y≥1,

故A={x|x≥1},B={y|y≥1},所以A=B.

9.设集合A={-1,1},集合B={x|x2-2ax+b=0},若B≠⌀,B⊆A,求a,b的值.

解由B⊆A,知B中的所有元素都属于集合A.

又B≠⌀,故集合B有三种情形:B={-1}或B={1}或B={-1,1}.

当B={-1}时,解得

当B={1}时,解得

当B={-1,1}时,解得

综上所述,a,b的值为

等级考提升练

10.(2020江西高一检测)已知集合A=a∈N∈N,B={3,4},集合C满足B⊆C⊆A,则所有满足条件的集合C的个数为(　　)

A.8 B.16 C.15 D.32

答案B

解析∵a∈N,∈N,

∴a-2=1或a-2=2或a-2=3或a-2=4或a-2=6或a-2=12,

即a=3或a=4或a=5或a=6或a=8或a=14,

∴A={3,4,5,6,8,14},

又因为B={3,4}且集合C满足B⊆C⊆A,

所以集合C中一定含有元素3和4,可能含有5,6,8,14,因此所有满足条件的集合C的个数为24=16.

11.集合A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=4k±1,k∈Z},则(　　)

A.A=B B.A⫋B

C.B⫋A D.不能确定

答案A

解析∵A={x|x=2k-1,k∈Z},

∴当k=2n,n∈Z时,x=4n-1,n∈Z;

当k=2n+1,n∈Z时,x=2(2n+1)-1=4n+1,n∈Z.

∴A={x|x=2k-1,k∈Z}={x|x=4n±1,n∈Z}.

∵B={x|x=4k±1,k∈Z},∴A=B.

12.(多选题)若集合A={x|ax2-2x-1=0}恰有两个子集,则a的值可能是(　　)

A.0 B.-1 C.1 D.0或1

答案AB

解析集合A恰有两个子集,则A中只有一个元素,a=0时,A=,满足题意;a≠0时,Δ=4+4a=0,即a=-1时,A={-1},满足题意.

13.(2020浙江高一检测)已知集合P={x|x2=9},集合Q={x|ax=3},若Q⊆P,那么-3　　　　　P(用适当的符号填空),a的值组成的集合为　　　　　. 

答案∈　{1,-1,0}

解析P={x|x2=9}={x|x=3或x=-3},

所以-3∈P.

Q={x|ax=3},若Q⊆P,则a=0时,Q=⌀,满足题意;

当a≠0时,Q={x|ax=3}=xx=,则=3或=-3,解得a=1或a=-1.

14.设S为实数集R的非空子集,若对任意x,y∈S,都有x+y,x-y,xy∈S,则称S为封闭集.下列结论:

①集合S={a+b|a,b为整数}为封闭集;②若S为封闭集,则一定有0∈S;③封闭集一定是无限集;④若S为封闭集,则满足S⊆T⊆R的任意集合T也是封闭集.其中正确的是　　　　　(写出所有正确结论的序号) 

答案①②

解析对于整数a1,b1,a2,b2,有a1+b1+a2+b2=(a1+a2)+(b1+b2)∈S,a1+b1-(a2+b2)=(a1-a2)+(b1-b2)∈S,(a1+b1)(a2+b2)=(a1a2+3b1b2)+(a1b2+a2b1)∈S,所以①正确.易知②正确.当S={0}时,S为封闭集,所以③错误.取S={0},T={0,1,2,3}时,显然2×3=6∉T,所以④错误.

15.已知A={1,1+a,1+2a},B={1,b,b2},若A=B,求a,b.

解因为A=B,则b=1+a,b2=1+2a,或b=1+2a,b2=1+a.

①若b=1+a,b2=1+2a,则(1+a)2=1+2a,解得a=0.

则A中三个元素都是1,不符合集合元素的互异性,舍去.

②若b=1+2a,b2=1+a,则(1+2a)2=1+a,

即4a2+3a=0,解得a=0,a=-.

由①知a=0不成立,

故a=-,则b=1+2a=-.

16.已知集合A={a,a-1},B={2,y},C={x|1<x-1<4}.

(1)若A=B,求y的值;

(2)若A⊆C,求a的取值范围.

解(1)若a=2,则A={1,2},所以y=1.若a-1=2,则a=3,A={2,3},所以y=3.综上,y的值为1或3.

(2)由条件,A为非空集合.

因为C={x|2<x<5},所以

解得3<a<5.

所以a的取值范围是(3,5).

17.已知集合P={x∈R|x2+b=0},Q={x∈R|(x+1)(x2+3x-4)=0}.

(1)若b=4,存在集合M使得P⫋M⫋Q,求这样的集合M;

(2)若集合P是集合Q的一个子集,求b的取值范围.

解(1)当b=4时,方程x2+4=0无实根,

所以P=⌀,又Q={x∈R|(x+1)(x2+3x-4)=0}={-4,-1,1},所以P⫋Q.

由已知,得M应是一个非空集合,且是Q的一个真子集,用列举法可得这样的集合M共有6个,分别为{-4},{-1},{1},{-4,-1},{-4,1},{-1,1}.

(2)当P=⌀时,P是Q的一个子集,此时b>0.

当P≠⌀时,因为Q={-4,-1,1},

若P⊆Q,则b=-1.

综上,满足条件的b的取值范围是(0,+∞)∪{-1}.

新情境创新练

18.已知集合A={x||x-a|=4},集合B={1,2,b}.

(1)是否存在实数a,使得对于任意实数b都有A⊆B?若存在,求出相应的a值;若不存在,试说明理由;

(2)若A⊆B成立,求出相应的实数对(a,b).

解(1)不存在.理由如下:

若对任意的实数b都有A⊆B,则当且仅当集合B中元素1和2也是A中的元素时才有可能.

因为A={a-4,a+4},

所以这都不可能,所以这样的实数a不存在.

(2)由(1)易知,当且仅当时A⊆B.

解得

所以所求的实数对为(5,9),(6,10),(-3,-7),(-2,-6).

19.我们把以集合A的全体子集为元素的集合称为集合A的幂集,记作P(A),即P(A)={x|x⊆A},

(1)试写出集合A1={a},A2={a,b},A3={a,b,c},A4={a,b,c,d}的幂集;

(2)猜想若集合An有n个元素,那么P(An)的元素的个数是多少?

解(1)P(A1)={⌀,{a}};

P(A2)={⌀,{a},{b},{a,b}};

P(A3)={⌀,{a},{b},{c},{a,b},{a,c}{b,c},{a,b,c}};

P(A4)={⌀,{a},{b},{c},{d},{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d},{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d},{a,b,c,d}}.

(2)猜想:若An有n个元素,则P(An)有2n个元素.