人教B版 (2019)必修 第一册1.1.2 集合的基本关系导学案

这是一份人教B版 (2019)必修 第一册1.1.2 集合的基本关系导学案，共8页。

1.1.2　集合的基本关系

素养目标·定方向
课程标准
学法解读
1．理解集合之间包含与相等的含义．
2．能识别给定集合的子集．
3．了解空集与其他集合的关系．
4．能使用Venn图表达集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用.
1．本节的学习重点是子集、真子集、集合相等的概念；难点是集合之间关系的应用．
2．注意辨析元素与集合、集合与集合的关系，正确使用数学符号．
3．注意空集在解题时有特殊的“地位”，合理讨论，防止漏解．
4．注意运用图形法来研究集合间的关系，培养直观想象方面的学科素养.

必备知识·探新知

基础知识　　
1．维恩图
用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合的示意图．
2．子集和真子集
概念
定义
符号表示
示意图
子集
如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集
__A⊆B__(或__B⊇A__)读作__“A包含于B”__(或__“B包含A”__)

真子集
如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集
AB(或BA)读作“A真包含于B”(或“B真包含A”)

思考：(1)符号“∈”与“⊆”有什么区别？
(2)∅与{∅}的关系如何？
提示：(1)①“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，－1∉N.
②“⊆”是表示集合与集合之间的关系，比如N⊆R，{1,2,3}⊆{3,2,1}．
③“∈”的左边是元素，右边是集合，而“⊆”的两边均为集合．
(2)∅{∅}与∅∈{∅}的写法都是正确的，前者是从两个集合间的关系来考虑的，后者则把∅看成集合{∅}中的元素来考虑．
3．关于子集和真子集的结论
(1)空集是任意一个集合A的子集，即∅⊆A.
(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C.
(3)对于集合A，B，C，如果AB，BC，则AC.
4．集合相等与子集的关系
(1)如果A⊆B且B⊆A，则A＝B.
(2)如果A＝B，则A⊆B且B⊆A.

基础自测　　
1．已知A＝{1,2}，则A的子集共__4__个．
解析：∵A＝{1,2}，∴A的子集有∅，{1}，{2}，{1,2}，共4个．
2．若集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1,2,3}，则集合A与B的最准确的关系是__AB__.
3．若M＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，N＝{1，－2}，P＝{(x，y)|y＝(x－1)(x＋2)}，则这三个集合中具有相等关系的是__M和N__.
解析：M＝{－2,1}，N＝{1，－2}，P表示的为在函数y＝(x－1)(x＋2)图像上的点构成的集合，故M＝N.
4．设a∈R，若集合{2,9}＝{1－a,9}，则a＝__－1__.
解析：由题意知1－a＝2，∴a＝－1.
5．若A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，D＝{x|x是正方形}，试用Venn图表示它们之间的关系．

解析：根据几何图形的相关知识明确各元素所在集合之间的关系，再画Venn图．如图所示．

关键能力·攻重难
类型　集合间关系的判断
┃┃典例剖析__■
典例1　(1)下列各个关系式中，正确的是(　D　)
A．∅＝{0}　 B．∈Q
C．{3,5}≠{5,3}　 D．{1}⊆{x|x2＝x}
(2)已知集合A＝{x|x<－2或x>0}，B＝{x|0 A．A＝B　 B．AB　　
C．BA　 D．A⊆B
(3)判断下列各组中集合之间的关系：
①A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}；
②A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x∈R|x2＋1＝0}；
③A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x是正方形}；
(4)M＝{x|x＝，n∈Z}，N＝{x|x＝＋n，n∈Z}．
思路探究：判断两集合的关系关键是看它们是否具有包含关系，若有包含关系就是子集关系，包括相等和真子集两种关系．
解析：(1)因为∅{0}，∉Q，{3,5}＝{5,3}，所以A，B，C错误，{x|x2＝x}＝{0,1}，所以{1}⊆{x|x2＝x}成立．
(2)由数轴知BA.

(3)①因为若x是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以AB.
②因为A＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}，B＝{x∈R|x2＋1＝0}＝∅，所以BA.
③由图形的特点可画出维恩图如图所示，

从而CABD.
(4)方法一：对于集合M，其组成元素是，分子部分表示所有的整数；对于集合N，其组成元素是＋n＝，分子部分表示所有的奇数．由真子集的概念知，NM.
方法二：用列举法表示集合如下：
M＝{…，－，－1，－，0，，1，，…}．
N＝{…，－，－，，，…}，
由真子集的概念知NM.
归纳提升：1.判断集合间关系的常用方法

2．已知集合相等求参数的方法
从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系．首先分析一个集合中的元素与另一个集合中哪个元素相等，共有几种情况，然后通过列方程或方程组求解．当集合中未知元素不止一个时，往往要分类讨论．求出参数值后要注意检验是否满足集合中元素的互异性．
┃┃对点训练__■
1．(1)能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2)和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是(　B　)

(2)设a，b∈R，若集合{1，a＋b，a}＝{0，，b}，则a－b＝__－2__.
解析：(1)解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，易得NM，其对应的Venn图如选项B所示．
(2)因为{1，a＋b，a}中含有元素0，a≠0，所以a＋b＝0，所以{0，，b}＝{0，－1，b}．由已知{1，a＋b，a}＝{0，，b}，得{1,0，a}＝{0，－1，b}，所以a＝－1，b＝1，所以a－b＝－2.
类型　确定集合的子集、真子集
┃┃典例剖析__■
典例2　(1)集合A＝{x|0≤x<3，且x∈N}的真子集的个数是(　C　)
A．16　 B．8　　
C．7　 D．4
(2)求满足条件{x|x2＋5＝0}M⊆{x|x2－1＝0}的集合M.
思路探究：(2)M是集合{x|x2－1＝0}的子集，又{x|x2＋5＝0}是空集，它是M的真子集，所以M不是空集．因此问题归结为求{x|x2－1＝0}的非空子集．
解析：(1)因为0≤x<3，x∈N，所以x＝0,1,2，即A＝{0,1,2}，所以A的真子集的个数为23－1＝7.
(2)因为{x|x2＋5＝0}＝∅，{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，其非空子集为{－1}，{1}，{－1,1}，所以M为{－1}或{1}或{－1,1}．
归纳提升：求解有限集合的子集的三个关键点
(1)确定所求集合．
(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出．
(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．
另外，一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有(2n－1)个，非空真子集有(2n－2)个．
┃┃对点训练__■
2．(1)已知集合A＝{－1,0,1}，则含有元素0的A的子集的个数为(　B　)
A．2　 B．4　　
C．6　 D．8
(2)已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集及真子集．
解析：(1)根据题意，含有元素0的A的子集为{0}，{0,1}，{0，－1}，{－1,0,1}，共4个．
(2)∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x∈N，y∈N}，
∴A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}，
∴A的子集有∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．
A的真子集有∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}．
易混易错警示　混淆集合间的属于和包含关系
┃┃典例剖析__■
典例3　已知集合A＝{1,2}，B＝{x|x⊆A}，则集合A与B之间的关系正确的是(　D　)
A．A⊆B　 B．AB
C．BA　 D．A∈B
错因探究：本题容易忽略集合B中的元素是集合，而错选B．
解析：因为x⊆A，所以B＝{∅，{1}，{2}，{1,2}}，则集合A＝{1,2}是集合B中的元素，所以A∈B.
误区警示：判断集合之间的关系不能仅凭表面的理解，应当注意观察集合中元素之间的关系．集合之间一般为包含或相等关系，但当以集合为元素组成集合时，集合间也可能为属于关系．解题时要思考两个问题：(1)两个集合中的元素分别是什么；(2)两个集合中元素之间的关系是什么．
学科核心素养　根据子集的关系，确定参数的值
┃┃典例剖析__■
对于两个集合A、B，若A或B中含有待确定的参数(字母)，且A⊆B或A＝B，则集合B中的元素与集合A中的元素具有“包含关系”，解决这类问题时常采用分类讨论和数形结合的方法．
1．分类讨论是指：
(1)A⊆B在未指明集合A非空时，应分A＝∅和A≠∅两种情况来讨论．
(2)因为集合中的元素是无序的，由A⊆B或A＝B得出的两个集合中的元素对应相等的情况可能有多种，因此需要分类讨论．
2．数形结合是指对A≠∅这种情况，在确定参数时，需要借助数轴来完成，将两个集合在数轴上表示出来，分清实心点与空心点，确定两个集合之间的包含关系，列不等式(组)求出参数．
3．解决集合中含参数问题时，最后结果要注意验证．
验证是指：(1)分类讨论求得的参数的值，还需要代入原集合中看是否满足集合元素的互异性．(2)所求参数的取值范围能否取到端点值．
1．由集合相等求参数
典例4　已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}，若A＝B，求c的值．
思路探究：集合A与集合B中除公共元素a外，另外两个元素应分别对应相等．
解析：∵A＝B，∴或
当时，消去b得ac2＋a－2ac＝0.
若a＝0，则a＝ac＝ac2＝0，不满足集合中元素的互异性，
∴a≠0，∴c2－2c＋1＝0，∴c＝1，
此时a＝ac＝ac2＝a，不满足集合中元素的互异性，舍去．
当时，消去b得2ac2－ac－a＝0.
∵a≠0，∴2c2－c－1＝0.
而c≠1，∴c＝－.
将c＝－代入得b＝－a.
从而可得A＝{a，，－}，B＝{a，－，}，满足题意．
故c的值为－.
2．已知包含关系求参数
典例5　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．
(1)若BA，求实数m的取值范围；
(2)若A⊆B，求实数m的取值范围．
思路探究：两个集合都是连续型的无限集，可考虑用数轴来表示．
解析：(1)①当B≠∅时，如图所示．

∴或
解这两个不等式组，得2≤m≤3.
②当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2.
综上可得，m的取值范围是m≤3.
(2)当A⊆B时，如图所示，此时B≠∅.

∴即∴m不存在．
即不存在实数m使A⊆B.

课堂检测·固双基
1．设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，则2x＋y等于(　C　)
A．0　 B．1　　
C．2　 D．－1
解析：由已知得解得符合题意．所以2x＋y＝2.
2．设集合A＝{x|1 A．a≥2　 B．a≤1　　
C．a≥1　 D．a≤2
解析：结合数轴(如下图)．

∵A⊆B，∴a≥2.
3．已知集合A＝(－∞，3)，集合B＝(－∞，m)且A⊆B，则实数m的取值集合是__[3，＋∞)__.
解析：将集合A在数轴上表示出来，如图所示，

要满足A⊆B，表示数m的点必须在表示3的点处或在其右边，故m≥3.
4．有下面5个命题：
①空集没有子集；
②任意集合至少有两个子集；
③空集是任何集合的真子集；
④若∅A，则A≠∅；
⑤集合A⊆B，就是集合A中的元素都是集合B中的元素，集合B中的元素也都是集合A中的元素．
其中不正确命题的序号有__①②③⑤__.
解析：①错误，因为空集是任意一个集合的子集；②错误，因为空集只有一个子集；③错误，因为空集是任意一个非空集合的真子集，空集并不是它本身的真子集；④正确；⑤错误，因为其叙述不符合子集的定义，若A⊆B，则只需要集合A中的元素都是集合B中的元素即可．
5．已知集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，Q＝{x|ax＋1＝0}，满足QP，求a的取值．
解析：P＝{x|x2＋x－6＝0}＝{2，－3}．
当a＝0时，Q＝{x|ax＋1＝0}＝∅，QP成立．
当a≠0时，Q＝{x|ax＋1＝0}＝{－}，
要使QP成立，则有－＝2或－＝－3，
即a＝－或a＝.
综上所述，a＝0或a＝－或a＝.