高中数学人教B版 (2019)必修 第一册1.1.2 集合的基本关系第2课时同步练习题

第2课时　补集与集合的综合运算

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.(2021全国乙,文1)已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},则∁U(M∪N)=(　　)

A.{5} B.{1,2}

C.{3,4} D.{1,2,3,4}

答案A

解析(方法一)∵M∪N={1,2,3,4},

∴∁U(M∪N)={5}.

(方法二)∵∁UM={3,4,5},∁UN={1,2,5},

∴∁U(M∪N)=(∁UM)∩(∁UN)={5}.

2.(2021江苏苏州高三开学考试)如图,阴影部分所表示的集合为(　　)

A.A∩(∁UB) B.B∩(∁UA)

C.A∪(∁UB) D.B∪(∁UA)

答案B

解析图中的阴影部分表示的是集合B与A的补集的交集,即为B∩(∁UA).故选B.

3.已知全集U={x|-2 019≤x≤2 019},A={x|0<x<a},若∁UA≠U,则实数a的取值范围是(　　)

A.(-∞,2 019) B.(-∞,2 019]

C.[2 019,+∞) D.(0,2 019]

答案D

解析由题意知A≠⌀,且A⊆U,因此a>0,且a≤2019.故a的取值范围是(0,2019].

4.(2021江西景德镇高三期末)已知集合A={x|x2-4x+3<0,x∈R},B={x||x|>2,x∈R},则∁R(A∪B)=(　　)

A.[-2,1) B.[-2,1]

C.[-2,3] D.(1,2]

答案B

解析由题得A={x|x2-4x+3<0,x∈R}={x|1<x<3},B={x||x|>2,x∈R}={x|x>2,或x<-2}.∴A∪B={x|x<-2,或x>1},∴∁R(A∪B)={x|-2≤x≤1}.故选B.

5.设全集U(U≠⌀)和集合M,N,P,且M=∁UN,N=∁UP,则M与P的关系是(　　)

A.M=∁UP B.M=P

C.M⫌P D.M⊈P

答案B

解析∵M=∁UN,N=∁UP,

∴M=∁UN=∁U(∁UP)=P.

6.(2020河北高一月考)设全集U={-3,-2,-1,0,1,2,3},集合A={x|x2+x-2=0},则∁UA=　　　　　. 

答案{-3,-1,0,2,3}

解析∵A={x|x2+x-2=0}={x|(x+2)(x-1)=0}={-2,1},∴∁UA={-3,-1,0,2,3}.

7.(2020甘肃高一月考)已知全集U={2,4,a2-a+1},A={a+1,2},∁UA={7},则a=　　　　　. 

答案3

解析因为∁UA={7},U={2,4,a2-a+1},

所以解得a=3.

8.设全集为R,A={x|x<0,或x≥1},B={x|x≥a},若∁RA⊆∁RB,则a的取值范围是　　　　　　. 

答案[1,+∞)

解析∁RA={x|0≤x<1},∁RB={x|x<a}.

又∁RA⊆∁RB,结合数轴(如下图),可得a≥1.

9.已知全集U=R,A={x|-3≤x≤1},B={x|-1<x≤5},P={x|x≤1,或x≥2}.

求:(1)∁UA,∁UB,∁UP;

(2)∁UA∩∁UB,B∪∁UP,P∩∁UA.

解(1)借助数轴(数轴略)可知,∁UA={x|x<-3或x>1},∁UB={x|x≤-1或x>5},∁UP={x|1<x<2}.

(2)由(1)知∁UA∩∁UB={x|x<-3或x>5}.

B∪∁UP={x|-1<x≤5},P∩∁UA={x|x<-3或x≥2}.

10.已知集合A={x|4x2-11ax+8b=0}和B={x|x2-ax+b=0},满足∁UA∩B={2},A∩∁UB={4},U=R,求实数a,b的值.

解由条件∁UA∩B={2}知,2∈B,且2∉A.

由A∩∁UB={4}知,4∈A,且4∉B.将2,4分别代入集合B,A中的方程,得

即解得

经检验知a,b符合题意,所以a=,b=-.

等级考提升练

11.(多选题)设全集U={0,1,2,3,4},集合A={0,1,4},B={0,1,3},则(　　)

A.A∩B={0,1}

B.∁UB={4}

C.A∪B={0,1,3,4}

D.集合A的真子集个数为8

答案AC

解析选项A:由题意,A∩B={0,1},正确;选项B:∁UB={2,4},不正确;选项C:A∪B={0,1,3,4},正确;选项D:集合A的真子集个数为23-1=7,不正确.

12.设集合U={1,2,3,4,5},A={1,2,5},B={2,3,5},则图中阴影部分表示的集合的非空真子集的个数为(　　)

A.2 B.6 C.4 D.8

答案B

解析因为U={1,2,3,4,5},A={1,2,5},B={2,3,5},所以A∩B={2,5}.因为图中阴影部分表示的集合为∁U(A∩B)={1,3,4},所以图中阴影部分表示的集合的非空真子集的个数为23-2=6.

13.(多选题)设全集U={1,3,5,7,9},A={1,|a-5|,9},∁UA={5,7},则a的值可能是(　　)

A.2 B.8 C.-2 D.-8

答案AB

解析∵∁UA={5,7},∴A={1,3,9},

∴|a-5|=3,解得a=2或8.

14.已知全集U=Z,A={x|x=4k-1,k∈Z},B={x|x=4k+1,k∈Z},则A与∁UB的关系为　. 

答案A⫋∁UB

解析对于集合A,元素x=4k-1,k∈Z,

即x为被4除余3的整数.

整数集Z中还有被4除余数是0(整除),1,2的三类整数,分别记为x=4k(k∈Z),x=4k+1(k∈Z),x=4k+2(k∈Z).

因此,∁UB={x|x=4k-1或x=4k或x=4k+2,k∈Z}.

由子集的定义知,A是∁UB的真子集,即A⫋∁UB.

15.设全集U={1,2,3,4,5,6},且U的子集可表示为由0,1组成的6位字符串,如:{2,4}表示的是自左向右的第2个字符为1,第4个字符为1,其余字符均为0的6位字符串010100,并规定空集表示的字符串为000000.

(1)若M={2,3,6},则∁UM表示的6位字符串为　　　　　; 

(2)已知A={1,3},B⊆U,若集合A∪B表示的字符串为101001,则满足条件的集合B的个数是　　　　　. 

答案(1)100110　(2)4

解析(1)由已知得,∁UM={1,4,5},

则∁UM表示的6位字符串为100110.

(2)由题意可知A∪B={1,3,6},而A={1,3},B⊆U,

则B可能为{6},{1,6},{3,6},{1,3,6},故满足条件的集合B的个数是4.

16.已知集合U={1,2,3,4,5},若A∪B=U,A∩B≠⌀,且A∩∁UB={1,2},试写出满足上述条件的集合A,B.

解由A∩∁UB={1,2},知1∈A,2∈A,且1∉B,2∉B.

∵A∩B≠⌀,A∪B=U,

∴A,B的可能情形有

A={1,2,3},B={3,4,5};A={1,2,4},B={3,4,5};A={1,2,5},B={3,4,5};A={1,2,3,4},B={3,4,5};A={1,2,3,5},B={3,4,5};A={1,2,4,5},B={3,4,5};A={1,2,3,4,5},B={3,4,5}.

17.(2020江西赣州高一月考)已知集合M={x|1<x<2},集合N={x|3<x<4}.

(1)求∁RN,M∩∁RN;

(2)设A={x|a<x<a+2},若A∪∁RN=R,求实数a的取值范围.

解(1)由题得,∁RN={x|x≤3,或x≥4},M∩∁RN={x|1<x<2}.

(2)由题意得解得即2≤a≤3.

故实数a的取值范围是[2,3].

18.设U=R,集合A={x|x2-x-2=0},B={x|x2+mx+m-1=0}.

(1)当m=1时,求(∁RB)∩A;

(2)若(∁UA)∩B=⌀,求实数m的值.

解解方程x2-x-2=0,即(x+1)(x-2)=0,

解得x=-1或x=2.故A={-1,2}.

(1)当m=1时,方程x2+mx+m-1=0为x2+x=0,解得x=-1或x=0.

故B={-1,0},∁RB={x|x≠-1,且x≠0}.

所以(∁RB)∩A={2}.

(2)由(∁UA)∩B=⌀可知,B⊆A.

方程x2+mx+m-1=0的判别式Δ=m2-4×1×(m-1)=(m-2)2≥0.

①当Δ=0,即m=2时,方程x2+mx+m-1=0为x2+2x+1=0,解得x=-1,故B={-1}.

此时满足B⊆A.

②当Δ>0,即m≠2时,方程x2+mx+m-1=0有两个不同的解,故集合B中有两个元素.

又因为B⊆A,且A={-1,2},所以A=B.

故-1,2为方程x2+mx+m-1=0的两个解,

由根与系数之间的关系可得解得m=-1.

综上,m的取值为2或-1.

新情境创新练

19.设全集U=R,对集合A,B,定义:A-B=A∩∁RB,AΔB=(A-B)∪(B-A).若集合A={x|1<x≤5},B={x|3≤x≤7},求A-B,AΔB.

解∵∁RB={x|x<3或x>7},

∴A-B=A∩∁RB={x|1<x<3}.

∵∁RA={x|x≤1或x>5},

∴B-A=B∩∁RA={x|5<x≤7},

∴AΔB={x|1<x<3或5<x≤7}.

20.我们知道,如果集合A⊆U,那么U的子集A的补集为∁UA={x|x∈U,且x∉A}.类似地,对于集合A,B,我们把集合{x|x∈A,且x∉B}叫做A与B的差集,记作A-B.例如,A={1,2,3,5,8},B={4,5,6,7,8},则A-B={1,2,3},B-A={4,6,7}.

据此,回答以下问题:

(1)若U是高一(1)班全体同学的集合,A是高一(1)班女同学组成的集合,求U-A及∁UA;

(2)在图中,分别用阴影表示集合A-B;

(3)如果A-B=⌀,那么A与B之间具有怎样的关系?

解(1)U-A={x|x是高一(1)班的男生},∁UA={x|x是高一(1)班的男生}.

(2)阴影部分如下图所示.

(3)若A-B=⌀,则A⊆B.