初中数学人教版八年级下册第十八章 平行四边形综合与测试单元测试课时作业

这是一份初中数学人教版八年级下册第十八章 平行四边形综合与测试单元测试课时作业，共37页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

人教版初中数学八年级下册第十八章《平行四边形》单元测试卷
考试范围：第十八章； 考试时间：100分钟；总分120分，
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。


第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=45°，AB=22，点P为BC上任意一点，连结PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连结PQ，则PQ的最小值为(    )
A. 2 B. 2 C. 22 D. 4
2. 如图，在平行四边形ABCD中，点F是BC上一点，BF=6，CF=2，点E是CD的中点，AE平分∠DAF，EF=22，则△AEF的面积是(    )
A. 82 B. 47 C. 102 D. 246
3. 如图，▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠ADE=15°，BD=22，将△ABC沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B的落点记为B′，恰好BE⊥B′E，若点F为BC上一点，则B′F的最短距离是(    )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
4. 如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，联结EF、CF，那么下列结论中一定成立的个数是(    )
①∠DCF=12∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5. 平行四边形一边的长是10cm，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是(    )
A. 4cm，6cm B. 6cm，8cm C. 8cm，12cm D. 20cm，30cm
6. 如图，在平行四边形ABCD中，若点E是BD的中点，点M是AD上一动点，连接MB，MC，ME，并延长ME交BC于点N，设MD=tAM，有以下结论：1.若△ABM≌△NMC，则MN⊥BD; 2.当t=1时，则BM=CM；3.当t=2时，则S△MNC=S△EBM；4. AB=DC，AD=BC。其中正确有(    )个
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB上且BE=1，F为对角线AC上一动点，则△BFE周长的最小值为(    )
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
8. 如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE=4，EC=8，将正方形边AB沿AE折叠到AF，延长EF交DC于G，连接CF，现在有如下4个结论：
①∠EAG=45°；②FG=FC；③FC//AG；④S△GFC=14．
其中正确结论的个数是(    )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9.  如图，先有一张矩形纸片ABCD，AB=4，BC=8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM.下列结论：①CQ=CD；②四边形CMPN是菱形；③P，A重合时，MN=25；④△PQM的面积S的取值范围是3≤S≤5.其中正确的是(       )


A. ①③ B. ①② C. ②③ D. ②④
10. 如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC=12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF=9的点P的个数是(    )
A. 0
B. 4
C. 6
D. 8
11. 如图，在△ABC中，∠BAC=90∘，AB=3，AC=4，D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连接CE，则线段CE的长为(    )
A. 2 B. 54 C. 53 D. 75
12. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,0)，四边形OABC是菱形，∠AOC=60°，以OB为边作菱形OBB1C1，使顶点B1在OC的延长线上，再以OB1为边作菱形OB1B2C2，使顶点B2在OC1的延长线上，再以OB2为边作菱形OB2B3C3，使顶点B3在OC2的延长线上，按照此规律继续下去，则B2021的坐标是(    )
A. (−31011,0) B. (−(3)20212,310112)
C. (−(3)2021,0) D. (−320232,310112)
第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 如图，在正方形ABCD中，AB=8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=6.P为对角线BD上一点，则PM−PN的最大值为______．



14. 如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则线段A′C长度的最小值是______．
15. 如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，四边形BEFD周长为14，则AB+BC的长为______．

16. 如图，在平行四边形ABCD中，∠A=90°，AD=10，AB=8，点P在边AD上，且BP=BC，点M在线段BP上，点N在线段BC的延长线上，且PM=CN，连接MN交CP于点F，过点M作ME⊥CP于E，则EF=______．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）
17. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD=2AD，点E在线段OC上，且OE=CE．
(1)求证：；
(2)若F，G分别是OD，AB的中点，且BC=10，
①求证：是等腰三角形；
②当时，求▱ABCD的面积．







18. 已知：如图▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形．








19. 已知：在平行四边形ABCD中，过点C作CH⊥AB，过点B作AC的垂线，分別交CH、AC、AD于点E、F、G，且∠ABC=∠BEH，BG=BC．

(1)若BE=10，BC=25，求DG的值；
(2)连接HF，证明：HA=2HF−HE．







20. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB=3cm，BC =5cm.点P从A点出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s，连结PO并延长交BC于点Q.设运动时间为t(s)(0 (1)当t为何值时，四边形ABQP是平行四边形?
(2)当t=3时，四边形OQCD的面积为多少?
(3)是否存在某一时刻，使点O在线段AP的垂直平分线上?若存在，求出t的值;若不存在，请说明理由．







21. 在正方形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E、F分别是边CD、BC上的中点，点P是一动点.记∠DEP=∠1，∠BFP=∠2，∠EPF=∠α．

(1)如图1，若点P运动到线段AD中点时，∠α= _________，∠1+∠2=______ ．
(2)如图2，若点P在线段AD上运动时，∠1、∠2和∠α之间有何关系?
(3)当点P在直线AD上(在线段AD之外且PE与PF不重合)运动时，∠1、∠2、和∠α之间又有何关系?说明理由．







22. 定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径.如图1，∠ABC=∠ADC=90º，四边形ABCD是损矩形，则该损矩形的直径是线段AC.同时我们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点：在公共边的同侧的两个角是相等的.如图1中：△ABC和△ABD有公共边AB，在AB同侧有∠ADB和∠ACB，此时∠ADB=∠ACB；再比如△ABC和△BCD有公共边BC，在CB同侧有∠BAC和∠BDC，此时∠BAC=∠BDC．

(1)请在图1中再找出一对这样的角来：__________=___________．
(2)如图2，△ABC中，∠ABC=90º，以AC为一边向外作菱形ACEF，D为菱形ACEF对角线的交点，连接BD，当BD平分∠ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由．
(3)在第(2)题的条件下，若此时AB=6，BD=82，求BC的长．







23. 阅读以下短文，然后解决下列问题：
如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”，如下图 ①所示，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”，显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”，只有一个．
(1)仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”;
(2)若△ABC为直角三角形，且∠C=90∘，在图 ②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；
(3)若△ABC是锐角三角形，且BC>AC>AB，在下图 ③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明．








24. 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，OF⊥BC，CE⊥BD，OE∶BE=1∶3，OF=4，求∠ADB的度数和BD的长．







答案和解析

1.【答案】A

【解析】
【分析】
本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是得到当P与P′重合时，OP的值最小，则PQ的值最小．
设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′.首先求出OP′，当P与P′重合时，PQ的值最小，PQ的最小值=2OP′，从而求解．
【解答】
解：设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′.如图所示：

∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=45°，AB=22，
∴AC=AB=22，
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴OA=OC=12AC=2，
OP=OQ=12PQ，
∵∠ACB=45°，
∴△OP′C为等腰直角三角形，
设OP′=CP′=x，
∴22=x2+x2，
解得x=1，
∴OP′=1，
当P与P′重合时，OP的值最小，则PQ的值最小，
∴PQ的最小值=2OP′=2．
故选：A．  
2.【答案】D

【解析】解：如图，延长AE和BC交于点G，

在平行四边形ABCD中，
∵AD//BC，AD=BC，
∴∠D=∠ECG，∠DAE=∠G，
∵点E是CD的中点，
∴DE=CE，
在△ADE和△GCE中，
∠D=∠ECGDE=CE∠DEA=∠CEG，
∴△ADE≌△GCE(ASA)，
∴AE=EG，
∵AE平分∠DAF，
∴∠DAE=∠FAE，
∴∠G=∠FAE，
∴FA=FG，
∴FE⊥AG，
∵BF=6，CF=2，
∴AD=CG=BC=BF+FC=6+2=8，
∴FG=FC+CG=2+8=10，
∵EF=22，
∴AE=EG=FG2−EF2=100−8=223，
∴△AEF的面积=12×AE⋅EF=12×223×22=246．
故选：D．
延长AE和BC交于点G，证明△ADE≌△GCE(ASA)，可得AE=EG，然后根据等腰三角形的性质证明FE⊥AG，再根据勾股定理即可解决问题．
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．解决本题的关键是掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

3.【答案】C

【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BE=12BD=2，AD//BC，
∴∠CBD=∠ADE=15°，
如图，连接BB′，过点B′作B′F⊥BC于点F，

由折叠性质可知：
∠AEB=∠AEB′，BE=B′E．
∵BE⊥B′E，
∴∠BEB′=90°．
∴∠AEB=∠AEB′=45°，
∴△B′BE是等腰直角三角形．
∴BB′=2BE=2．
∵∠AEB=∠CBD+∠BCE，
∴∠BCE=45°−15°=30°，
由折叠性质可知：∠BCB′=2∠BCE=60°，BC=B′C，
∴△BCB′是等边三角形，
∴∠B′BF=60°，
∴B′F=32BB′=32×2=3．
则B′F的最短距离是3．
故选：C．
连接BB′，过点B′作B′F⊥BC于点F，由翻折的性质可证明△B′BE是等腰直角三角形．可得BB′=2BE=2.然后证明△BCB′是等边三角形，可得∠B′BF=60°，进而可以解决问题．
本题主要考查了折叠的对称性以及平行四边形的性质，解决折叠问题的关键是找到对应相等的边和角，构造新的三角形求解．

4.【答案】C

【解析】解：①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在▱ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD//BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF=12∠BCD，故此选项正确；
②延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
∠A=∠FDMAF=DF∠AFE=∠DFM，
∴△AEF≌△DMF(ASA)，
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FM，故②正确；
③∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM，
∵MC>BE，
∴S△BEC<2S△EFC
故S△BEC=2S△CEF错误；
④设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°−x，
∴∠EFC=180°−2x，
∴∠EFD=90°−x+180°−2x=270°−3x，
∵∠AEF=90°−x，
∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．
故选C．
由在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，易得AF=FD=CD，继而证得①∠DCF=12∠BCD；然后延长EF，交CD延长线于M，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF(ASA)，得出对应线段之间关系进而得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF≌△DME是解题关键．

5.【答案】D

【解析】
【分析】
此题主要考查了平行四边形的性质、三角形的三边关系，关键是掌握平行四边形的对角线互相平分．平行四边形的这条边和两条对角线的一半构成三角形，应该满足第三边大于两边之差小于两边之和才能构成三角形．
【解答】
解：∵四边形是平行四边形，
∴对角线互相平分，两对角线的一半与一边必须能构成三角形
A.∵2+3<10，不能够成三角形，故此选项错误；
B.4+3<10，不能够成三角形，故此选项错误；
C.4+6=10，不能构成三角形，故此选项错误；
D.15−10<10<15+20，能构成三角形，故此选项正确；
故选D．
  
6.【答案】B

【解析】
【分析】
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质是解答本题的关键．根据平行四边形的性质，再由“ASA”可证△DME≌△BNE，可得DM=BN，ME=NE，由线段垂直平分线的性质和三角形的面积关系依次判断可求解．
【解答】
解：①若△ABM≌△NMC，则BM=MC，但BM不一定等于BN，即BM不一定等于DM，
∴MN⊥BD不一定成立，故①错误，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠BDA=∠DBC，
∵点E是BD的中点，
∴DE=BE，
在△DME和△BNE中，
∠EDM=∠EBMDE=BE∠DEM=∠BEN,
∴△DME≌△BNE(ASA)，
∴DM=BN，ME=NE，
∵t=1，
∴AM=DM=12AD，
∴BN=12BC=CN，
∴只有当MN⊥BC时，CM=BM，
∴②错误，
当t=2时，则DM=2AM，
∴BN=2CN，
∴S△BMN=2S△MNC，
∵ME=EN，
∴S△EBM=12S△BMN，
∴S△EBM=S△MNC，故③正确；
在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，故④正确．  
7.【答案】B

【解析】解：如图，连接ED交AC于一点F，连接BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于AC对称，
∴BF=DF，
∴△BFE的周长=BF+EF+BE=DE+BE，此时△BEF的周长最小，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AD=AB=4，∠DAB=90°，
∵点E在AB上且BE=1，
∴AE=3，
∴DE=AD2+AE2=5，
∴△BFE的周长=5+1=6，
故选：B．
连接ED交AC于一点F，连接BF，根据正方形的对称性得到此时△BFE的周长最小，利用勾股定理求出DE即可得到答案．
连接DE交AC于点F时△BFE的周长有最小值，这是解题的关键．

8.【答案】B

【解析】解：如图，连接DF．

∵四边形ABCD都是正方形，
∴AB=AD=BC=CD，∠ABE=∠BAD=∠ADG=∠ECG=90°，
由翻折可知：AB=AF，∠ABE=∠AFE=∠AFG=90°，BE=EF=4，∠BAE=∠EAF，
∵∠AFG=∠ADG=90°，AG=AG，AD=AF，
∴Rt△AGD≌Rt△AGF(HL)，
∴DG=FG，∠GAF=∠GAD，设GD=GF=x，
∴∠EAG=∠EAF+∠GAF=12(∠BAF+∠DAF)=45°，故①正确，
在Rt△ECG中，∵EG2=EC2+CG2，
∴(4+x)2=82+(12−x)2，
∴x=6，
∵CD=BC=BE+EC=12，
∴DG=CG=6，
∴FG=GC，
易知△GFC不是等边三角形，显然FG≠FC，故②错误，
∵GF=GD=GC，
∴∠DFC=90°，
∴CF⊥DF，
∵AD=AF，GD=GF，
∴AG⊥DF，
∴CF//AG，故③正确，
∵S△ECG=12×6×8=24，FG：FE=6：4=3：2，
∴FG：EG=3：5，
∴S△GFC=35×24=725，故④错误，
故选：B．
①正确．证明∠GAF=∠GAD，∠EAB=∠EAF即可．
②错误．可以证明DG=GC=FG，显然△GFC不是等边三角形，可得结论．
③正确．证明CF⊥DF，AG⊥DF即可．
④错误．证明FG：EG=3：5，求出△ECG的面积即可．

本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

9.【答案】C

【解析】
【分析】
此题是四边形综合题，主要考查了折叠问题与菱形的判定与性质、勾股定理的综合应用，熟练掌握菱形的判定定理和性质定理、勾股定理是解本题的关键．
先判断出四边形CNPM是平行四边形，再根据翻折的性质可得CN=NP，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出②正确；假设CQ=CD，得Rt△CMQ≌△CMD，进而得∠DCM=∠QCM=∠BCP=30°，这个不一定成立，判断①错误；点P与点A重合时，设BN=x，表示出AN=NC=8−x，利用勾股定理列出方程求解得x的值，进而用勾股定理求得MN，判断出③正确；当MN过D点时，求得四边形CMPN的最小面积，进而得S的最小值，当P与A重合时，S的值最大，求得最大值即可．
【解答】
解：如图1，

∵PM//CN，
∴∠PMN=∠MNC，
∵∠MNC=∠PNM，
∴∠PMN=∠PNM，
∴PM=PN，
∵NC=NP，
∴PM=CN，
∵PM//CN，
∴四边形CNPM是平行四边形，
∵CN=NP，
∴四边形CNPM是菱形，故②正确；
∴CP⊥MN，∠BCP=∠MCP，
∴∠MQC=∠D=90°，
∵CP=CP，
若CQ=CD，则Rt△CMQ≌Rt△CMD(HL)，
∴∠DCM=∠QCM=∠BCP=30°，这个不一定成立，
故①错误；
点P与点A重合时，如图2所示：

设BN=x，则AN=NC=8−x，
在Rt△ABN中，AB2+BN2=AN2，
即42+x2=(8−x)2，
解得x=3，
∴CN=8−3=5，AC=AB2+BC2=42+82=45，
∴CQ=12AC=25，
∴QN=CN2−CQ2=5，
∴MN=2QN=25．
故③正确；
当MN过点D时，如图3所示：

此时，CN最短，四边形CMPN的面积最小，则S最小为S=14S菱形CMPN=14×4×4=4，
当P点与A点重合时，CN最长，四边形CMPN的面积最大，则S最大为S=14S菱形CMPN=14×5×4=5，
∴4≤S≤5，
故④错误．
故选C．  
10.【答案】D

【解析】
【分析】
本题考查了正方形的性质，最短路径问题，在BC上找到点H，使点H到点E和点F的距离之和最小是本题的关键．
作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，交BC于点H，可得点H到点E和点F的距离之和最小，可求最小值，即可求解．
【解答】
解：如图，作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，交BC于点H，

∵点E，F将对角线AC三等分，且AC=12，
∴EC=8，FC=4=AE，
∵点M与点F关于BC对称，
∴CF=CM=4，∠ACB=∠BCM=45°，
∴∠ACM=90°，
∴EM=EC2+CM2=45，
则在线段BC存在点H到点E和点F的距离之和最小为45<9，
在点H右侧，当点P与点C重合时，
则PE+PF=12，
∴点P在CH上时，
45 在点H左侧，当点P与点B重合时，
BF=FN2+BN2=210，
∵AB=BC，CF=AE，∠BAE=∠BCF，
∴△ABE≌△CBF(SAS)，
∴BE=BF=210，
∴PE+PF=410，
∴点P在BH上时，45 ∴在线段BC上点H的左右两边各有一个点P使PE+PF=9，
同理在线段AB，AD，CD上都存在两个点使PE+PF=9．
即共有8个点P满足PE+PF=9，
故选：D．  
11.【答案】D

【解析】解：如图，连接BE交AD于点O，过点A作AH⊥ BC于点H．

在Rt△ABC中，由勾股定理，可得BC=5，
∵ D是BC的中点
∴ED=DC=DB=52，
此时△CEB为直角三角形．
由S△ABC=12BC⋅AH=12AB⋅AC，
得AH=125．
根据折叠的特征，得AD垂直平分线段BE．
由S△ABD=12AD⋅BO= 12BD⋅AH，
得OB=125，
∴BE=2OB=245．
∴在Rt△BEC中，由勾股定理，得CE=75．
故选：D．


12.【答案】A

【解析】解：连接AC、BC1，分别交OB、OB1于点D、D1，
∵A的坐标为(1,0)，
∴OA=1，
∵四边形OABC是菱形，∠AOC=60°，
∴OC=OA=1，OB=2OD，∠COD=30°，∠CDO=90°，
∴CD=12OC=12，
∴OD=12+(12)2=32，
∴OB=3，
∵∠AOC=60°，
∴∠B1OC1=90°−60°=30°，
∵四边形OBB1C1是菱形，
∴∠C1D1O=90°，OC1=OB=3，OB1=2OD1，
在Rt△OC1D1中，C1D1=12OC1=32，
∴OD1=(3)2−(32)2=32，
∴OB1=2OD1=3，
过点B1作B1M⊥x轴于点M，

在Rt△OMB1中，OM=12OB1=32，
∴B1M=32−(32)2=323，
∴B1(32,323)，
同理可得：B2(0,33)，B3(−92,932)，B4(−272,932)，B5(−27,0)，
B6(−812,−2732)，B7(−812,−8132)，B8(0,−813)，
B9(2432,−24332)，B10(7292,−24332)，B11(729,0)，
B12(72932,7292)，
由此可以发现规律“每经过12次作图后点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次菱形的边长变成原来的3倍，即OBn=(3)n+1，
∵2021÷12=168……5，
∴B2021的纵坐标符号与B5的相同，则B2021在y轴的负半轴上，
又OB2021=(3)2022=31011，
∴B2021的坐标为(−31011,0)，
故选：A．
连接AC、BC1，分别交OB、OB1于点D、D1，利用菱形的性质及勾股定理即可得OB的长，进一步在菱形OBB1C1计算出OB1，过点B1作B1CM⊥x轴于M，利用勾股定理计算出B1M，OM，从而得B1的坐标，同理可得B2，B3，B4，B5，B6，B7，B8，B9，B10，B11，B12，根据循环规律可得B2021的坐标．
本题考查平面直角坐标系找规律，利用菱形的性质处理条件，掌握循环规律的处理方法是解题的关键．

13.【答案】2

【解析】解：如图所示，以BD为对称轴作N的对称点N′，连接PN′，MN′，

根据轴对称性质可知，PN=PN′，
∴PM−PN=PM−PN′≤MN′，
当P，M，N′三点共线时，取“=”，
过O做OE⊥BC于点E，
∴MN′为△OEC的中位线，
∴MN′//OE//AB//CD，∠CMN′=90°，
∵∠N′CM=45°，
∴△N′CM为等腰直角三角形，CM=MN′，
∵正方形边长为8，BM=6，
∴CM=BC−BM=8−6=2，
∴CM=MN′=2，
即PM−PN的最大值为2，
故答案为：2．
以BD为对称轴作N的对称点N′，连接PN′，MN′，依据PM−PN=PM−PN′≤MN′，可得当P，M，N′三点共线时，取“=”，过O做OE⊥BC于点E，即可得出MN′//OE//AB//CD，∠CMN′=90°，得到△N′CM为等腰直角三角形，即可得到CM=MN′=2．
本题主要考查了正方形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决即可．

14.【答案】27−2

【解析】解：如图所示：
∵在N的运动过程中A′在以M为圆心，MA的长为半径的圆上，
∴MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，
过点M作MF⊥DC于点F，
∵在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点，
∴MD=2，∠FDM=60°，
∴∠FMD=30°，
∴FD=12MD=1，
∴FM=22−11=3，
∴MC=FM2+CF2=27，
∴A′C=MC−MA′=27−2．
故答案为：27−2．
根据题意，在N的运动过程中A′在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当A′C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、A′、C三点共线，得出A′的位置，进而利用锐角三角函数关系求出A′C的长即可．
此题主要考查了菱形的性质及翻折变换等知识，得出A′点位置是解题关键．

15.【答案】14

【解析】解：∵D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，
∴DF//BC，EF//AB，DF=12BC，EF=12AB，
∴四边形BEFD为平行四边形，
∵四边形BEFD周长为14，
∴DF+EF=7，
∴AB+BC=14．
故答案为14．
根据三角形的中位线可得DF=12BC，EF=12AB，判定四边形BEFD为平行四边形，利用平行四边形的性质可求解．
本题主要考查三角形的中位线，平行四边形的判定与性质，判定四边形BEFD为平行四边形是解题的关键．

16.【答案】25

【解析】解：如图，过点M作MH//BC交CP于H，
则∠MHP=∠BCP，∠NCF=∠MHF，
∵BP=BC，
∴∠BCP=∠BPC，
∴∠BPC=∠MHP，
∴PM=MH，
∵PM=CN，
∴CN=MH，
∵ME⊥CP，
∴PE=EH，
在△NCF和△MHF中，
∠NCF=∠MHF∠CFN=∠HFMCN=MH，
∴△NCF≌△MHF(AAS)，
∴CF=FH，
∴EF=EH+FH=12CP，
∵矩形ABCD中，AD=10，
∴BC=AD=10，
∴BP=BC=10，
在Rt△ABP中，AP=BP2−AB2=102−82=6，
∴PD=AD−AP=10−6=4，
在Rt△CPD中，CP=CD2+PD2=82+42=45，
∴EF=12CP=12×45=25．
故答案为：25．
过点M作MH//BC交CP于H，根据两直线平行，同位角相等可得∠MHP=∠BCP，两直线平行，内错角相等可得∠NCF=∠MHF，根据等边对等角可得∠BCP=∠BPC，然后求出∠BPC=∠MHP，根据等角对等边可得PM=MH，根据等腰三角形三线合一的性质可得PE=EH，利用“角边角”证明△NCF和△MHF全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=FH，从而求出EF=12CP，根据矩形的对边相等可得BC=AD=10，再利用勾股定理列式求出AP，然后求出PD，再次利用勾股定理列式计算即可求出CP，从而得解．
本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形和等腰三角形是解题的关键．

17.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，DO=BO=12BD，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD=2AD，
∴AD=DO，
∴BC=BO，
∵E是CO中点，
∴∠OBE=12∠OBC，
∴∠OBE=12∠ADO；
(2)①证明：∵BC=BO，
∴△BOC是等腰三角形，
∵E是CO中点，
∴EB⊥CO，
∴∠BEA=90°，
∵G为AB中点，
∴EG=12AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EF=12CD，
∴EG=EF，
∴△EFG是等腰三角形；
②由①得EF//AB，
∵EF⊥EG，
∴EG⊥AB，
∵G是AB的中点，
∴AE=BE，
设CE=x，则AO=CO=2CE=2x，
∴BE=AE=3x，
在Rt△BEC中，BC=10，
∴EC2+BE2=BC2，
即x2+(3x)2=102，
解得x=10，
∴AC=410，BE=310，
∴S▱ABCD=2S△ABC=2×12×410×310=120．

【解析】此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、三角形中位线的性质、等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形三线合一的性质．
(1)根据平行四边形的性质可得∠ADB=∠DBC，再证明△BOC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得∠OBE=12∠OBC，进而可证明结论；
(2)①首先证明EG=12AB，再根据三角形中位线的性质可得EF=12CD，进而得到EG=EF，可证明结论；
②由①得EF//AB，由EF⊥EG，G是AB的中点，可证得AE=BE，设CE=x，则AO=CO=2CE=2x，利用勾股定理可求解x值，进而可求解AC，BE，再利用平行四边形的面积公式可求解．

18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．
又∵AE=CF，
∴OE=OF．
∴四边形BFDE是平行四边形．

【解析】由平行四边形的性质可求得AO=CO，再结合条件可求得OE=OF，利用对角线互相平分的四边形为平行四边形可证得结论．
本题主要考查平行四边形的判定和性质，利用平行四边形的性质求得OE=OF是解题的关键．

19.【答案】(1)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=25，∠ABC+∠BAG=180°，
∵∠ABC=∠BEH，
∴∠CEB+∠ABC=180°，
∴∠BAG=∠CEB，
∵∠ABG+∠BEH=90°，∠ECB+∠ABC=90°，
∴∠ABG=∠ECB，
在△BAG和△CEB中，∠BAG=∠CEB∠ABG=∠ECBBG=BC,
∴△BAG≌△CEB(AAS)，
∴BE=AG=10，
∴DG=AD−AG=25−10=15；
(2)证明：过点F作FN⊥HF，交BA延长线于N，如图所示：

∵△BAG≌△CEB，
∴CE=AB，
∵∠ABG+∠BAC=∠ECB+∠ABC=90°，∠ABG=∠ECB，
∴∠BAC=∠ABC，
∴AC=BC，
∵CH⊥AB，
∴∠ACH=∠ECB=∠ABG，
在△ABF和△ECF中，∠CFE=∠BFA=90°∠ABF=∠ECFAB=CE,
∴△ABF≌△ECF(AAS)，
∴AF=EF，
∵∠HFN=∠EFA=90°，
∴∠AFN=∠EFH，
∵∠BAC=∠ABC，∠ABC=∠BEH，
∴∠NAF=∠HEF，
在△ANF和△EHF中，∠NAF=∠HEFAF=EF ∠AFN=∠EFH    ,
∴△ANF≌△EHF(ASA)，
∴HE=AN，HF=NF，
∴△HFN是等腰直角三角形，
∴HN=2HF，
∴HA+AN=HA+HE=2HF，
∴HA=2HF−HE．

【解析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识．
(1)证明∠BAG=∠CEB，∠ABG=∠ECB，由AAS证得△BAG≌△CEB得出BE=AG=10，即可得出结果；
(2)过点F作FN⊥HF，交BA延长线于N，由△BAG≌△CEB，得出CE=AB，由AAS证得△ABF≌△ECF得出AF=EF，由ASA证得△ANF≌△EHF得出HE=AN，HF=NF，则△HFN是等腰直角三角形，得出HN=2HF，即可得出结论．

20.【答案】解：(1)当t=2.5时，四边形ABQP是平行四边形．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AO=CO，
∴∠PAO=∠QCO，
∵∠AOP=∠COQ，
∴△APO≌△CQO(ASA)，
∴CQ=AP=tcm，
∴BQ=(5−t)cm，
若四边形ABQP是平行四边形，则AP=BQ，
∴t=5−t，
∴t=2.5，
即当t=2.5时，四边形ABQP是平行四边形．
(2)如图 ①，过O作OG⊥BC于G．
在Rt△ABC中，AB=3cm，BC=5cm，
∴AC=4cm．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB//DC，CD=AB=3cm，OA=OC=2cm，
∴∠DCA=∠BAC=90∘，
∴S△ACD=12AC⋅CD=12×4×3=6cm2，
∵OA=OC，
∴S△OCD=12S△ACD=12×6=3cm2．
在Rt△ABO中，AB=3cm，OA=2cm，
∴OB=AB2+OA2=13cm．
设BG=xcm，则CG=(5−x)cm，
在Rt△OBG与Rt△OCG中，
OG2=OB2−BG2=OC2−CG2，
∴(13)2−x2=22−(5−x)2，
解得x=3.4，
即BG=3.4cm，
∴OG=OB2−BG2=(13)2−(3.4)2=1.2cm．
当t=3时，由(1)知CQ=AP=tcm=3cm，
∴S△OQC=12QC⋅OG=12×3×1.2=1.8cm2，
∴S四边形OQCD=S△OCD+S△OQC=3+1.8=4.8cm2．
(3)存在.如图 ②，过O作直线EF，使EF⊥AD，交AD于E，交BC于F，
∵AD//BC，
∴EF⊥BC．
若OE垂直平分AP，
则AE=12AP=t2cm，
由(2)知AO=2cm，OF=1.2cm，
易证△OFB≌△OED，
∴OE=OF=1.2cm，
由勾股定理得AE2+OE2=AO2，
∴(12t)2+(1.2)2=22，
∴t2=25625
∴t=165(负值舍去)，
∴当t=165时，点O在线段AP的垂直平分线上．



【解析】见答案．

21.【答案】解：(1)45°；135°  ．
(2)∠1、∠2和∠α之间的关系是∠1+∠2=∠α+90°．
理由：如图2中，连接PC．

∵∠1=∠EPC+∠ECP，∠2=∠FPC+∠FCP，
∴∠1+∠2=∠EPC+∠FPC+∠ECP+∠FCP=∠α+90°．
(3)如图：分三种情况讨论：

①如图所示：当点P在线段DA的延长线上时，

∵∠1=∠EPC+∠ECP，∠2=∠FPC+∠FCP，
∴∠1+∠2=∠EPC+∠FPC+∠ECP+∠FCP=∠α+90°．
∴∠1+∠2=∠α+90°．
②如图所示：当点P在线段AD的延长线上且在直线EF的上方时，

∵∠2=∠α+∠PKF，∠PKF=90°+∠KEC=90°+∠1，
∴∠2=∠α+∠1+90°．
∴∠2−∠1=∠α+90°
③当点P在直线EF的下方时，设PF交CD于K.连接PC，

∵∠1是△PEC外角，
∴∠1=∠EPC+∠PCE，
同理∠2=∠FPC+∠PCF，
∠2−∠1=∠FPC+∠PCF−∠EPC−∠PCE=∠ECF−∠EPF，
∵∠EPF=∠α，∠ECF=90°，
∴∠2−∠1=90°−∠α．

【解析】
【分析】
本题考查正方形的性质、平行线的判定和性质、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题．
(1)只要证明△PDE是等腰直角三角形，四边形CDPF是长方形即可解决问题；
(2)连接PC.利用三角形的外角的性质即可解决问题；
(3)分三种情形分别利用三角形的外角的性质求解即可．
【解答】
解：(1)如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠C=90°，AD=BC=DC，AD//BC，
∵点E、F、P分别是边CD、BC、AD上的中点，
∴PA=PD=12AD，DE=EC=12CD，BF=FC=12BC，
∴PF//DC，PD=DE，
∴∠1=45°，
∴△PDE是等腰直角三角形，∠PFC=90°，
∴∠α=∠1=45°，∠2=90°，
∠1+∠2=135°。
故答案为45°；135°．
(2)见答案．
(3)见答案．  
22.【答案】解：(1)∠ABD；∠ACD；
(2)四边形ACEF为正方形，理由是：
∵∠ABC=90°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=45°，
∵四边形ACEF是菱形，
∴AE⊥CF，
∴∠ADC=90°，
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是损矩形，
由(1)得∠ACD=∠ABD=45°
∴∠ACE=2∠ACD=90°
∴菱形形ACEF为正方形.    
(3)如图2，过D作DG⊥BC于G，过E作EH⊥BC，交BC的延长线于H，
∵∠DBG=45°，
∴△BDG是等腰直角三角形，
∵BD=82，
∴BG=8，
∵四边形ACEF是正方形，
∴AC=CE，∠ACE=90°，AD=DE，
∵∠ABC=∠H=∠ACE=90°，
∴∠ACB=∠CEH=90°−∠ECH，
∴△ABC≌△CHE，
∴CH=AB=6，
∵AB//DG//EH，AD=DE，
∴BG=GH=8，
∴CG=GH−CH=8−6=2，
∴BC=BG+CG=8+2=10．

【解析】
【分析】
本题是四边形的综合题，也是新定义问题，考查了损矩形和损矩形的直径的概念，菱形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，认真阅读理解新定义，第3问有难度，作辅助线构建全等三角形是关键．
(1)以AD为公共边，有∠ABD=∠ACD；
(2)证明四边形ACEF是菱形，根据AE⊥CF，由(1)得∠ACD=∠ABD=45°，从而得到结论；
(3)过D作DG⊥BC于G，过E作EH⊥BC，交BC的延长线于H，证明△ABC≌△CHE，得CH=AB=6，根据题意可得BG=GH=8，从而得结论．
【解答】
解：(1)由图1得：四边形ABCD是损矩形，△ABD和△ADC有公共边AD，在AD同侧有∠ABD和∠ACD，此时∠ABD=∠ACD；
(2)(3)见答案．  
23.【答案】解：(1)如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”．
(2)如图，此时共有2个“友好矩形”，矩形BCAD和矩形ABEF．
易知矩形BCAD和矩形ABEF的面积都等于△ABC面积的2倍，
∴△ABC的“友好矩形”的面积相等．

(3)如图，此时共有3个“友好矩形”，矩形BCDE、矩形CAFG及矩形ABHK，其中矩形ABHK的周长最小．

证明：易知这三个矩形的面积相等，令其为S，设矩形BCDE、矩形CAFG及矩形ABHK的周长分别为L1，L2，L3，△ABC中BC=a，CA=b，AB=c，
则L1=2Sa+2a，L2=2Sb+2b，L3=2Sc+2c，
∴L1−L2=(2Sa+2a)−(2Sb+2b)=−2Saba−b+2a−b=2a−bab−Sab，
易知ab>S，且a>b，
∴L1−L2>0，即L1>L2，同理可得，L2>L3，
∴L3最小，即矩形ABHK的周长最小．


【解析】略

24.【答案】解：由矩形的性质可知OD=OC，
∵OE：BE=1：3，
∴E是OD的中点．
又∵CE⊥OD，
∴OC=CD，
∴OC=CD=OD，
即△OCD是等边三角形，
故∠CDB=60°，
∴∠ADB=∠ADC−∠CDB=30°；
∴BD=2AB=2CD，
∵OF⊥BC，
∴CD=2OF=8，
∴BD=2CD=16．

【解析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，主要利用了矩形的对角线互相平分且相等的性质，矩形的轴对称性.根据矩形的对角线互相平分且相等可得OD=OC，再求出E是OD的中点，然后判断出△OCD是等边三角形，根据等边三角形的性质求出∠CDB=60°，再根据∠ADC=90°列式计算即可求出∠ADB；再根据OF⊥BC得到CD=2OF，然后进行计算即可得解